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,返回總目錄,,,振動理論與應(yīng)用,第1章 振動的基本理論,,Theory of Vibration with Applications,Theory of Vibration with Applications,,,引 言,振動是一種運動形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運動。 物理學(xué)知識的深化和擴展－物理學(xué)中研究質(zhì)點的振動；工程力學(xué)研究研究系統(tǒng)的振動，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動。 振動屬于動力學(xué)第二類問題－已知主動力求運動。,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,振動理論與應(yīng)用,,,振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題相類似：,選擇合適的廣義坐標(biāo)； 分析運動； 分析受力； 選擇合適的動力學(xué)定理； 建立運動微分方程； 求解運動微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。,返回首頁,引 言,Theory of Vibration with Applications,振動理論與應(yīng)用,,,振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點。,研究振動問題所用的動力學(xué)定理：,矢量動力學(xué)基礎(chǔ)中的－動量定理； 動量矩定理； 動能定理； 達(dá)朗伯原理。 分析動力學(xué)基礎(chǔ)中的－拉格朗日方程。,返回首頁,引 言,Theory of Vibration with Applications,振動理論與應(yīng)用,,,振動概述,所考察的系統(tǒng)既有慣性又有彈性。 運動微分方程中，既有等效質(zhì)量，又有等效剛度。,振動問題的共同特點,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,振動理論與應(yīng)用,,,Theory of Vibration with Applications,返回首頁,Theoretical Mechanics,第1章 振動的基本理論,1.1 振動系統(tǒng) 1.2 簡諧振動 1.3 周期振動的諧波分析 1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,目 錄,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.1 振動系統(tǒng),第1章 振動的基本理論,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.1 振動系統(tǒng),振動系統(tǒng)一般可分為連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)。 具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性的系統(tǒng)，稱為連續(xù)彈性體系統(tǒng)。彈性體是具有無限多自由度的系統(tǒng)，它的振動規(guī)律要用時間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運動方程是偏微分方程。,在一般情況下，要對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行簡化，用適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)“凝縮”成有限個離散的參數(shù)，這樣便得到離散系統(tǒng)。所建立的振動方程是常微分方程。由于所具有的自由度數(shù)目上的區(qū)別，離散系統(tǒng)又稱為多自由度系統(tǒng)。,,,按系統(tǒng)的自由度劃分：,振動問題的分類,單自由度振動－一個自由度系統(tǒng)的振動。 多自由度振動－兩個或兩個以上自由度系統(tǒng)的 振動。 連續(xù)系統(tǒng)振動－連續(xù)彈性體的振動。這種系統(tǒng) 具有無窮多個自由度。,返回首頁,振動概述,Theory of Vibration with Applications,1.1 振動系統(tǒng),,,按系統(tǒng)特性或運動微分方程類型劃分：,振動問題的分類,線性振動－系統(tǒng)的運動微分方程為線性方程的振動。,非線性振動－系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時，將得到非線性運動微分方程，這種系統(tǒng)的振動稱為非線性振動。,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.1 振動系統(tǒng),,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.1 振動系統(tǒng),線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 線性振動的一個重要特性是線性疊加原理成立。 非線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。 非線性振動的疊加原理不成立。,,,按激勵特性劃分：,振動問題的分類,自由振動－沒有外部激勵，或者外部激勵除去后，系統(tǒng)自身的振動。 受迫振動－系統(tǒng)在作為時間函數(shù)的外部激勵下發(fā)生的振動，這種外部激勵不受系統(tǒng)運動的影響。 自激振動－系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運動所誘發(fā)和控制的激勵下發(fā)生的振動。 參激振動－激勵源為系統(tǒng)本身含隨時間變化的參數(shù)，這種激勵所引起的振動。,返回首頁,振動概述,Theory of Vibration with Applications,1.1 振動系統(tǒng),,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,第1章 振動的基本理論,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.1簡諧振動的表示,1. 用正弦函數(shù)表示簡諧振動 用時間t的正弦（或余弦）函數(shù)表示的簡諧振動。其一般表達(dá)式為,一次振動循環(huán)所需的時間T 稱為周期；單位時間內(nèi)振動循環(huán)的次數(shù)f 稱為頻率。,周期T的單位為秒（s），頻率f的單位為赫茲（Hz），,圓頻率 的單位為弧度/秒（rad/s）。,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.1簡諧振動的表示,圖描述了用正弦函數(shù)表示的簡諧振動，它可看成是該圖中左邊半徑為A的圓上一點作等角速度 的運動時在x軸上的投影。,如果視x為位移，則簡諧振動的速度和加速度就是位移表達(dá)式關(guān)于時間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.1簡諧振動的表示,可見，若位移為簡諧函數(shù)，其速度和加速度也是簡諧函數(shù)，具有相同的頻率。,在相位上，速度和加速度分別超前位移 和 。,重要特征:簡諧振動的加速度大小與位移成正比，但方向總是與位移相反，始終指向平衡位置。,可得到加速度與位移有如下關(guān)系,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.1簡諧振動的表示,旋轉(zhuǎn)矢量OM 的模為振幅A，角速度為圓頻率 ，任一瞬時OM 在縱軸上的投影ON 即為簡諧振動表達(dá)式,2. 用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧振動,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.1簡諧振動的表示,記 , 復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)Z的實部和虛部可分別表示為,簡諧振動的位移x與它的復(fù)數(shù)表示z的關(guān)系可寫為,3. 用復(fù)數(shù)表示簡諧振動,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.1簡諧振動的表示,由于,用復(fù)數(shù)表示的簡諧振動的速度加速度為,也可寫成,是一復(fù)數(shù)，稱為復(fù)振幅。它包含了振動的振幅和相角兩個信息。用復(fù)指數(shù)形式描述簡諧振動將給運算帶來很多方便。,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.2簡諧振動的合成,1. 兩個同頻率振動的合成,有兩個同頻率的簡諧振動,由于A1 、A2的角速度相等，旋轉(zhuǎn)時它們之間的夾角( )保持不變，合矢量A也必然以相同的角速度 作勻速轉(zhuǎn)動,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.2簡諧振動的合成,由矢量的投影定理,A =A1 +A2,即兩個同頻率簡諧振動合成的結(jié)果仍然是簡諧振動，其角頻率與原來簡諧振動的相同，其振幅和初相角用上式確定。,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.2簡諧振動的合成,2、兩個不同頻率振動的合成 有兩個不同頻率的簡諧振動,,,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.2簡諧振動的合成,當(dāng)頻率比為有理數(shù)時，合成為周期振動，但不是簡諧振動，合成振動的周期是兩個簡諧振動周期的最小公倍數(shù)。,若 與 之比是無理數(shù)，則無這樣一個周期。其合成振動是非周期的。,若 ，對于 ，則有,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.2簡諧振動的合成,令,式中的正弦函數(shù)完成了幾個循環(huán)后，余弦函數(shù)才能完成一個循環(huán)。這是一個頻率為 的變幅振動，振幅在2A與零之間緩慢地周期性變化。,它的包絡(luò)線,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.2 簡諧振動,1.2.2簡諧振動的合成,這種特殊的振動現(xiàn)象稱為“拍”，或者說“拍”是一個具有慢變振幅的振動,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動的諧波分析,第1章 振動的基本理論,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動的諧波分析,周期振動,展成傅氏級數(shù),n=1,2,3,……,n=1,2,3,……,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動的諧波分析,一個周期振動可視為頻率順次為基頻 及整倍數(shù)的若干或無數(shù)簡諧振動分量的合成振動過程。,在振動力學(xué)中將傅氏展開稱為諧波分析,周期函數(shù)的幅值頻譜圖，相位頻譜圖。,周期函數(shù)的譜線是互相分開的，故稱為離散頻譜。,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動的諧波分析,函數(shù)的頻譜，說明了組成該函數(shù)的簡諧成分，反映了該周期函數(shù)的特性。 這種分析振動的方法稱為頻譜分析。 由于自變量由時間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實際上是由時間域轉(zhuǎn)入頻率域。 這是將周期振動展開為傅里葉級數(shù)的另一個物理意義。,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動的諧波分析,周期振動的諧波分析以無窮級數(shù)出現(xiàn)，但一般可以用有限項近似表示周期振動。 例1.1 已知一周期性矩形波如圖所示，試對其作諧波分析。,解∶矩形波一個周期內(nèi)函數(shù)F (t)可表示為,表示F(t)的波形關(guān)于t軸對稱，故其平均值為零。,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動的諧波分析,n=1，2，3……,于是，得F(t)的傅氏級數(shù),F(t)是奇函數(shù)，在它的傅氏級數(shù)中也只含正弦函數(shù)項。在實際的振動計算中，根據(jù)精度要求，級數(shù)均取有限項。F(t)的幅值頻譜如圖所示。,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,第1章 振動的基本理論,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,函數(shù)f ( t )的傅氏積分公式,f ( t )的傅氏變換,又稱非周期函數(shù)f ( t )的頻譜函數(shù)。頻譜函數(shù)的值一般是復(fù)數(shù)。,連續(xù)頻譜,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,例1-2 試求圖所示的單個矩形脈沖的頻譜圖形。,,可求得頻譜函數(shù),f (t)的傅氏積分為,解: f ( t )可表示為,,,返回首頁,Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,其振幅頻譜,頻譜圖,傅氏積分和變換，是研究瞬態(tài)振動與隨機振動的重要工具。實際應(yīng)用時，可使用計算機運算或應(yīng)用各種快速傅氏分析儀器(FFT)。,謝謝,