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第二節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)命題: 用語言、符號或式子表達(dá)的,可以_________的陳述句叫做命題.其中 _________的語句叫做真命題,_________的語句叫做假命題.,判斷真假,判斷為真,判斷為假,(2)四種命題及其相互關(guān)系:,(3)充要條件:,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)四種命題中的等價關(guān)系: 原命題等價于_________,否命題等價于_______,在四種形式的命題 中真命題的個數(shù)只能是0或2或4. (2)等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件: p是q的充分不必要條件,等價于﹁q是﹁p的___________條件.其他 情況依次類推.,逆否命題,逆命題,充分不必要,(3)用集合的關(guān)系判斷充分條件、必要條件:,A?B,B?A,A B,B A,A=B,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:充分條件、必要條件的判斷方法:定義法、集合法、等價轉(zhuǎn)化法. (2)數(shù)學(xué)思想:化歸與轉(zhuǎn)化思想. (3)記憶口訣:真假能判是命題,條件結(jié)論很清楚. 命題形式有四種,分成兩雙同真假. 若p則q真命題,p是q充分條件, q是p必要條件,原逆皆真稱充要.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)語句x2-3x+2=0是命題.( ) (2)一個命題的逆命題與否命題,它們的真假沒有關(guān)系.( ) (3)命題“如果p不成立,則q不成立”等價于“如果q成立,則p成立”.( ) (4)“p是q的充分不必要條件”與“p的充分不必要條件是q”表達(dá)的意義相同.( ),【解析】(1)錯誤.無法判斷真假,故不是命題. (2)錯誤.一個命題的逆命題與否命題是互為逆否命題,它們的真假性 相同. (3)正確.一個命題與其逆否命題等價. (4)錯誤.“p是q的充分不必要條件”即為“p?q且q p”,“p的充 分不必要條件是q”即為“q?p且p q”. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-1P8T2(1)改編)命題“若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為 . 【解析】“a,b都是偶數(shù)”的否定為“a,b不都是偶數(shù),”“a+b是偶數(shù)”的否定為“a+b不是偶數(shù)”,故其逆否命題為“若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是偶數(shù)”. 答案:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是偶數(shù),(2)(選修2-1P10T3(2)改編)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 條件. 【解析】x=a?(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b) =0”是“x=a”的必要不充分條件. 答案:必要不充分,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·北京高考)設(shè)a,b是實數(shù),則“ab”是“a2b2”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題提示】驗證充分性與必要性. 【解析】選D.“ab”推不出“a2b2”, 例如,2-3,但4b2”也推不出“ab”, 例如,94,但-32.,(2)(2014·浙江高考)設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.“四邊形ABCD為菱形”?“AC⊥BD”,“AC⊥BD”推不出“四邊形ABCD為菱形”,所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件.,(3)(2015·焦作模擬)已知命題α:如果x3,那么x5;命題β:如果x≥3,那么x≥5;命題γ:如果x≥5,那么x≥3.關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系.下列三種說法正確的是( ) ①命題α是命題β的否命題,且命題γ是命題β的逆命題; ②命題α是命題β的逆命題,且命題γ是命題β的否命題; ③命題β是命題α的否命題,且命題γ是命題α的逆否命題. A.①③ B.② C.②③ D.①②③,【解析】選A.本題考查命題的四種形式,逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換,否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定,逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定然后互換所得,故①正確,②錯誤,③正確,選A.,考點1 四種命題及其真假判斷 【典例1】(1)已知命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù),則m≤1”,則下列結(jié)論正確的是( ) A.否命題是“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是減函數(shù),則m1”是真命題 B.逆命題是“若m≤1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù)”是假命題,C.逆否命題是“若m1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是減函數(shù)”是真命題 D.逆否命題是“若m1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”是真命題,(2)(2014·陜西高考)原命題為“若z1,z2互為共軛復(fù)數(shù),則|z1|= |z2|”,關(guān)于逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確 的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,【解題提示】(1)先判斷否命題,逆命題、逆否命題是否正確,再判斷其真假. (2)寫出逆命題,利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題等價來判斷.,【規(guī)范解答】(1)選D.f′(x)=ex-m,由f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)知f′(x)≥0,即m≤ex在x∈(0,+∞)上恒成立,又ex1,從而m≤1,則原命題是真命題.對于A,否命題寫錯,故A錯;對于B,逆命題寫對,但逆命題是真命題,故B錯;對于C,逆否命題寫錯,故C錯;對于D.逆否命題寫對,且為真命題,故選D. (2)選B.由已知條件可以判斷原命題為真,所以它的逆否命題也是真;而它的逆命題為假,所以它的否命題亦為假,故選B.,【易錯警示】解答本例題(1)有兩點容易出錯: (1)根據(jù)f(x)是增函數(shù)求錯m的取值范圍. (2)把“f(x)是增函數(shù)”的否定錯誤地認(rèn)為是“f(x)是減函數(shù)”.,【規(guī)律方法】 1.書寫否命題和逆否命題的關(guān)注點 (1)一些常見詞語及其否定表示:,(2)構(gòu)造否命題和逆否命題的方法、注意點: ①方法:首先要把條件和結(jié)論分清楚,其次把其中的關(guān)鍵詞搞清楚. ②注意點:注意其中易混的關(guān)鍵詞,如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一個也不是,“不都是”指的是其中有些不是. 2.命題真假的判斷方法 (1)聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進行正面直接判斷. (2)利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題的等價關(guān)系進行判斷.,【變式訓(xùn)練】命題“若f(x)是奇函數(shù),則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是( ) A.若f(x)是偶函數(shù),則f(-x)是偶函數(shù) B.若f(x)不是奇函數(shù),則f(-x)不是奇函數(shù) C.若f(-x)是奇函數(shù),則f(x)是奇函數(shù) D.若f(-x)不是奇函數(shù),則f(x)不是奇函數(shù),【解析】選B.條件的否定是“f(x)不是奇函數(shù)”,結(jié)論的否定是“f(-x)不是奇函數(shù)”,故該命題的否命題是“若f(x)不是奇函數(shù),則f(-x)不是奇函數(shù)”.,【加固訓(xùn)練】1.命題“若α= ,則tanα=1”的逆否命題是( ) A.若α≠ ,則tanα≠1 B.若α= ,則tanα≠1 C.若tanα≠1,則α≠ D.若tanα≠1,則α= 【解析】選C.原命題的逆否命題是“若tanα≠1,則α≠ ”, 故選C.,2.關(guān)于命題“若拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,則{x|ax2+bx+c0} ≠?”的逆命題、否命題、逆否命題的真假性,下列結(jié)論成立的是 ( ) A.都真 B.都假 C.否命題真 D.逆否命題真 【解析】選D.原命題為真命題,則其逆否命題為真命題.,考點2 充分條件、必要條件的判斷 知·考情 充分條件、必要條件的判斷是高考命題的熱點,常以選擇題的形式出現(xiàn),作為一個重要載體,考查的知識面很廣,幾乎涉及數(shù)學(xué)知識的各個方面,如函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、平面向量、解析幾何、立體幾何等知識.,明·角度 命題角度1:定義法判斷充分條件、必要條件 【典例2】(2014·湖北高考)設(shè)U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( ) A.充分而不必要的條件 B.必要而不充分的條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件,【解題提示】考查集合與集合的關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷. 【規(guī)范解答】選C.依題意,若A?C,則?UC??UA,當(dāng)B??UC,可得A∩B=?;若A∩B=?,不妨令C=A,顯然滿足A?C,B??UC,故滿足條件的集合C是存在的.,命題角度2:集合法判斷充分條件、必要條件 【典例3】(2014·安徽高考)“x0”是“l(fā)n(x+1)0”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題提示】分清條件和結(jié)論,根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷. 【解析】選B.由ln(x+1)0,得0x+11,即-1x0, 由于{x|-1x0} {x|x0}, 故“x0”是“l(fā)n(x+1)0”的必要不充分條件.,命題角度3:等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件 【典例4】(2013·山東高考)給定兩個命題p,q.若﹁p是q的必要而不充分條件,則p是﹁q的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題提示】借助原命題與逆否命題等價判斷. 【規(guī)范解答】選A.因為﹁p是q的必要不充分條件,則q?﹁p但﹁p q,其逆否命題為p?﹁q但﹁q p,所以p是﹁q的充分不必要條件.,悟·技法 充要條件的三種判斷方法 (1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進行判斷. (2)集合法:根據(jù)p,q成立的對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷. (3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何種條件,即可轉(zhuǎn)化為判斷“x=1且y=1”是“xy=1”的何種條件.,通·一類 1.(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在,若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的極值點,則( ) A.p是q的充分必要條件 B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 C.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件,【解析】選C.因為若f′(x0)=0,則x0不一定是極值點, 所以命題p不是q的充分條件; 因為若x0是極值點,則f′(x0)=0,所以命題p是q的必要條件.,2.(2013·湖南高考)“1x2”是“x2”成立的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.因為集合(1,2)是集合(-∞,2)的真子集,所以“1x2”是“x2”成立的充分不必要條件,故選A.,3.(2013·上海高考)錢大姐常說“便宜沒好貨”,她這句話的意思是:“不便宜”是“好貨”的( ) A.充分條件 B.必要條件 C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件 【解析】選B.“便宜?沒好貨”等價于“好貨?不便宜”,故選B.,考點3 充分條件、必要條件的應(yīng)用 【典例5】(1)函數(shù)f(x)= 有且只有一個零點的充分不 必要條件是( ) A.a1 (2)設(shè)條件p:2x2-3x+1≤0;條件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是 ﹁q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是 .,【解題提示】(1)先找出充要條件,再根據(jù)集合之間的關(guān)系確定答案. (2)先解不等式把條件p,q具體化,再由互為逆否命題的等價性確定p,q之間的關(guān)系,最后根據(jù)集合間的關(guān)系列不等式組求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.因為函數(shù)f(x)過點(1,0),所以函數(shù)f(x)有且只 有一個零點?函數(shù)y=-2x+a(x≤0)沒有零點?函數(shù)y=2x(x≤0)與直線 y=a無公共點.由數(shù)形結(jié)合,可得a≤0或a1. 觀察選項,根據(jù)集合間關(guān)系{a|a1},故選A.,(2)由2x2-3x+1≤0得 ≤x≤1, 由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得a≤x≤a+1. 由﹁p是﹁q的必要不充分條件知,p是q的充分不必要條件,則有 {x| ≤x≤1} {x|a≤x≤a+1}, 所以 解得0≤a≤ . 答案:[0, ],【規(guī)律方法】 1.與充要條件有關(guān)的參數(shù)問題的求解方法 解決此類問題一般是根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,并由此列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解. 提醒:求解時要注意區(qū)間端點值的檢驗.,2.充要條件的證明方法 在解答題中證明一個論斷是另一個論斷的充要條件時,其基本方法是分“充分性”和“必要性”兩個方面進行證明.這類試題一般有兩種設(shè)置格式. (1)證明:A成立是B成立的充要條件,其中充分性是A?B,必要性是B?A. (2)證明:A成立的充要條件是B,此時的條件是B,故充分性是B?A,必要性是A?B.,提醒:在分充分性與必要性分別進行證明的試題中,需要分清命題的條件是什么,結(jié)論是什么;在一些問題中充分性和必要性可以同時進行證明,即用等價轉(zhuǎn)化法進行推理證明.,【變式訓(xùn)練】已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在實數(shù)m,使x∈P是x∈S的充要條件,若存在,求出m的取值范圍. (2)是否存在實數(shù)m,使x∈P是x∈S的必要條件,若存在,求出m的取值范圍.,【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10, 所以P={x|-2≤x≤10}, (1)因為x∈P是x∈S的充要條件,所以P=S, 所以 所以 這樣的m不存在. (2)由題意x∈P是x∈S的必要條件,則S?P, 當(dāng)S=?時,1-m1+m,解得m0,當(dāng)S≠?時,由題意可得 所以m≤3. 綜上,可知m≤3時,x∈P是x∈S的必要條件.,【加固訓(xùn)練】1.若“x21”是“x1得x1或x1或x-1}, 所以a≤-1,從而a的最大值為-1. 答案:-1,2.已知ab≠0,證明a+b=1成立的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 【證明】先證充分性:若a3+b3+ab-a2-b2=0, 則(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 所以(a+b-1) =0,由ab≠0得 a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得證. 再證必要性:若a+b=1,則由以上對充分性的證明知a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得證. 綜上知,a+b=1成立的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.,自我糾錯1 充分條件、必要條件的判斷 【典例】(2015·天津模擬)設(shè)a,b∈R,且a≠0,則“(a-b)a20”是 “ab”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:(1)忽略a≠0這一條件. (2)只考慮了ab?(a-b)a20是否成立,忽略了反推.,【規(guī)避策略】 1.判斷思路:判斷充分條件、必要條件必須從正、反兩個方面進行推理論證,缺一不可,最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義進行判斷. 2.關(guān)注大前提:進行正、反兩個方面推理時,大前提都要利用好,是推理的條件.,【自我矯正】選C.因為a≠0,所以a20. 由(a-b)a20. 因為ab,即a-b0,所以(a-b)a20. 所以“(a-b)a20”是“ab”的必要條件. 綜上,應(yīng)選C.,