高考數學大一輪總復習 第5篇 第4節(jié) 數列求和課件 理 新人教A版 .ppt
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,第4節(jié) 數列求和,,基 礎 梳 理,na1,,,,,,,2.倒序相加法 如果一個數列{an}滿足與首末兩項等“距離”的兩項的和相等(或等于同一常數),那么求這個數列的前n項和,可用倒序相加法. 3.裂項相消法 把數列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.,4.分組求和法 一個數列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數列的通項公式組成,求和時可用分組求和法,分別求和而后相加. 5.并項求和法 一個數列的前n項和中,若項與項之間能兩兩結合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用并項法求解.,6.錯位相減法 如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,那么這個數列的前n項和可用此法來求,如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的.,1.首項為1,公比為2的等比數列的前4項和S4為( ) A.-15 B.15 C.16 D.-16 答案:B,3.(2014山東省青島市高三期中考試)已知函數f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n),則a1+a2+a3+…+a100等于( ) A.0 B.100 C.5050 D.10200,答案:C,4.設數列{an}的通項公式為an=22n-1,令bn=nan,則數列{bn}的前n項和Sn為________.,,考 點 突 破,分組轉化求和,[思維導引] (1)用an、q表示等式3(an+2+an)-10an+1=0,求出q,即可得出{an}的通項公式. (2)先求出{bn}的通項公式,再分組求和. [解] (1)∵3(an+2+an)-10an+1=0, ∴3(anq2+an)-10anq=0, 即3q2-10q+3=0. ∵公比q>1, ∴q=3. 又首項a1=3, ∴數列{an}的通項公式為an=3n.,即時突破1 (2014包頭模擬)已知數列{xn}的首項x1=3,通項xn=2np+nq(n∈N*,p,q為常數),且x1,x4,x5成等差數列.求: (1)p,q的值; (2)數列{xn}前n項和Sn. 解:(1)由x1=3, 得2p+q=3, 又因為x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4, 即3+25p+5q=25p+8q, 解得p=1,q=1.,裂項相消法求和,所以Sn=n2+n. 于是a1=S1=2, n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n. 綜上,數列{an}的通項an=2n.,(2)利用裂項相消法求和時要注意 正負相消時,消去了哪些項,保留了哪些項,保留的項有前后對稱的特點,不可漏掉未消去的項,導致計算結果錯誤.,錯位相減法求和,[思維導引] (1)由4Sn=(an+1)2及an+1=Sn+1-Sn可得an+1與an的關系,即可證明求解; (2)求出{bn}的通項公式后,利用錯位相減法求和. (1)[證明] 令n=1,4S1=4a1=(a1+1)2?a1=1, 由4Sn=(an+1)2, 得4Sn+1=(an+1+1)2, 兩式相減得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2, 整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,,∵an>0,∴an+1-an=2, 則數列{an}是首項為1,公差為2的等差數列, an=1+2(n-1)=2n-1.,(1)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式. (2)在應用錯位相減法求和時,若等比數列的公比為參數,應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.,即時突破3 (2014北京市東城區(qū)高三期末)已知{an}為等比數列,其前n項和為Sn,且Sn=2n+a(n∈N*). (1)求a的值及數列{an}的通項公式; (2)若bn=(2n-1)an,求數列{bn}的前n項和Tn. 解:(1)當n=1時,S1=a1=2+a. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1. 因為{an}是等比數列,a2=2,公比q=2. 所以a1=2+a=21-1=1,即a1=1,a=-1. 所以數列{an}的通項公式為an=2n-1(n∈N*).,(2)由(1)得bn=(2n-1)an=(2n-1)·2n-1. 則Tn=1×1+3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1.① 2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,② ①-②得-Tn=1×1+2×2+2×22+…+2×2n-1-(2n-1)·2n=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n =1+4(2n-1-1)-(2n-1)·2n =-(2n-3)·2n-3. 所以Tn=(2n-3)·2n+3.,特殊數列{|an|}的求和策略 [典例] (12分)(2013年高考浙江卷,理18,文19)在公差為d的等差數列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數列. (1)求d,an; (2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.,滿分展示:(1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2, 由a1=10,{an}為公差為d的等差數列得,d2-3d-4=0, 2分 解得d=-1或d=4. 3分 所以an=-n+11(n∈N*)或an=4n+6(n∈N*).4分,- 配套講稿:
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