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成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數(shù),第二章,§1 生活中的變量關(guān)系,第二章,我們撥打國內(nèi)長途電話時，要在撥打的號碼前加上區(qū)號，每個區(qū)號對應(yīng)著一個確定的地區(qū)，每個地區(qū)也對應(yīng)著一個確定的區(qū)號，如北京的區(qū)號是010,0591是福州的區(qū)號．那么二者之間是一種什么樣的關(guān)系呢？這種關(guān)系可以用兩個變量來表示．這就是生活中的變量關(guān)系.,1.變量間的依賴關(guān)系 變量及變量之間的________在生活中隨處可見，初中學習過的函數(shù)就描述了________隨________而變化的依賴關(guān)系． 2．兩個變量間的函數(shù)關(guān)系 (1)并非具有依賴關(guān)系的兩個變量都有________關(guān)系； (2)函數(shù)關(guān)系是指滿足對于其中一個變量的________，另一個變量都有________的值與之對應(yīng)．,依賴關(guān)系,因變量,自變量,函數(shù),每一個值,唯一確定,1.下列說法不正確的是( ) A．依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系 B．函數(shù)關(guān)系是依賴關(guān)系 C．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n也是變量m的函數(shù) D．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n不一定是變量m的函數(shù),[答案] C [解析] 根據(jù)依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別可知A，B正確．若變量m是變量n的函數(shù)，因為滿足函數(shù)關(guān)系的自變量n對因變量m可以是多對一，此時若把m換成自變量，n換成因變量，顯然對于m的每一個取值，會有多個n與之對應(yīng)，所以變量n不是變量m的函數(shù)．,2．李明騎車上學，一開始以某一速度前進，途中車子發(fā)生故障，只好停下來修車，車修好后，因怕耽誤上學時間，于是就加快了車速，在下面給出的四個函數(shù)示意圖中(s為距離，t為時間)符合以上情況的是( ),,[答案] C [解析] 因為李明騎車上學路上停留了一段時，故該段圖像平行于橫軸，所以只有C符合條件．,3．給出下列關(guān)系： ①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關(guān)系； ②拋物線上的點的縱坐標與該點的橫坐標之間的關(guān)系； ③橘子的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系； ④某同學在6次考試中的數(shù)學成績與他的考試號之間的關(guān)系． 其中不是函數(shù)關(guān)系的有________(只填序號) [答案] ①③④,4．下圖是我國2013年某地降雨量的統(tǒng)計情況，圖中橫軸為月份(單位：月)，縱軸為降雨量(單位：cm)． 由圖中曲線可判斷該地2013年的降雨量與時間是否具有函數(shù)關(guān)系？ [解析] 因為對于2013年的每一個月都有唯一的降雨量與之對應(yīng)，故可得2013年的降雨量與時間具有函數(shù)關(guān)系，且自變量是時間，因變量是降雨量．,,一輛汽車由南京駛往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/時，則汽車距上海的路程s(千米)與行駛時間t(時)的關(guān)系是s＝300－100t，在這里，常量是________，變量是________． [規(guī)范解答] 判斷常量與變量的關(guān)鍵是看它是否發(fā)生了變化，在這里，常量是南京與上海的距離300千米和汽車行駛的平均速度100千米/時，變量是汽車在行駛過程中距上海的路程s和行駛時間t. [答案] 300，－100 s，t,正確理解常量與變量,[規(guī)律總結(jié)] 常量與變量必須存在于某一個變量過程中，判斷一個量是常量還是變量，需看它在這個變化過程中的取值情況．常量與變量不是絕對的，而是對于某一個變化過程而言的．,關(guān)于x的一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，常量是________，變量是________． [答案] k，b x，y [解析] 根據(jù)一次函數(shù)的概念，可知x是自變量，y是x的函數(shù)，而系數(shù)k，b是常數(shù)，屬于常量.,依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的判斷,下列過程中，各變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？ (1)將保溫瓶中的熱水倒人茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計放入茶杯中，每隔一段時間，觀察溫度計示數(shù)的變化，冷卻時間與溫度計示數(shù)的關(guān)系； (2)商品的銷售額與廣告費之間的關(guān)系； (3)家庭的食品支出與電視機價格之間的關(guān)系； (4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關(guān)系．,[思路分析] 兩個變量中的一個變量發(fā)生變化時，如果另一個變量也發(fā)生變化，則它們具有依賴關(guān)系；如果另一個變量發(fā)生變化且取值唯一，則它們具有函數(shù)關(guān)系． [規(guī)范解答] (1)冷卻時間與溫度計示數(shù)具有依賴關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的定義知，二者之間存在函數(shù)關(guān)系，且冷卻時間是自變量，溫度計示數(shù)是因變量．反之不行． (2)商品的銷售額與廣告費這兩個變量在現(xiàn)實生活中存在依賴關(guān)系，但商品的銷售額還受其他因素的影響，比如產(chǎn)品的質(zhì)量、價格、售后服務(wù)等，所以商品的銷售額與廣告費之間是不確定性關(guān)系，即不是函數(shù)關(guān)系．,(3)家庭的食品支出與電視機價格之間沒有依賴關(guān)系，更不具有函數(shù)關(guān)系． (4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間這兩個變量存在依賴關(guān)系，且對于每一個時間的值，路程是唯一確定的，因此它們之間存在函數(shù)關(guān)系，且時間是自變量，路程是因變量．反之也是． 綜上可知，(1)(4)中的變量間具有依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；(2)中變量間存在依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系；(3)中兩個變量不存在依賴關(guān)系，也不具有函數(shù)關(guān)系．,[規(guī)律總結(jié)] 1.判斷兩個變量之間是否具有依賴關(guān)系，只需分析當其中一個變量變化時，另一個變量是否也發(fā)生變化即可，如果發(fā)生變化，則它們具有依賴關(guān)系，如果不發(fā)生變化，則它們不具有依賴關(guān)系． 2．判斷兩個具有依賴關(guān)系的變量是否具有函數(shù)關(guān)系時，可分以下兩個步驟： (1)確定因變量和自變量． (2)判斷對于自變量的每一個確定值，因變量是否有唯一確定的值與之對應(yīng)．若滿足，則是函數(shù)關(guān)系，否則不是函數(shù)關(guān)系．,下列變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是( ) A．光照時間與果樹畝產(chǎn)量 B．臺風的級數(shù)與交通事故的次數(shù) C．水稻的產(chǎn)量與施肥量 D．正方形的面積與邊長 [答案] D,通過圖像反映兩變量之間的關(guān)系,如圖所示為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖．,,(1)上午8時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？ (2)大約在什么時刻，氣溫為0℃？ (3)大約在什么時刻，氣溫在0℃以上？兩個變量有什么特點，它們具有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？ [思路分析] 此題是一個通過圖像來反映兩個變量之間關(guān)系的問題，所以回答問題時應(yīng)充分利用圖像所反映出的關(guān)系．,[規(guī)范解答] (1)上午8時氣溫約是0℃，全天最高氣溫大約是9℃，全天最低氣溫大約是－2℃. (2)大約在0時、8時和22時，氣溫為0℃. (3)在8時到22時之間，氣溫在0℃以上，變量0≤t≤24，變量－2≤T≤9，由于圖像是連續(xù)的，可知它們之間具有隨著時間的增加，氣溫先降再升再降的變化趨勢． [規(guī)律總結(jié)] 用圖像反映兩變量間的關(guān)系是一種常用的表示兩變量關(guān)系的方法．在解此類題時要能從圖中找到兩個變量，并能判斷它們之間的相互依賴關(guān)系是如何變化的．,一天，亮亮發(fā)燒了，早晨燒得很厲害，吃過藥后，感覺好多了，中午時亮亮的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜亮亮才感覺身上不那么燙了．下面各圖基本上反映出亮亮這一天(0～24時)體溫的變化情況的是( ),,[答案] C,下面的變量與變量之間是否具有依賴關(guān)系？是否具有函數(shù)關(guān)系？ ①一天中溫度與時間的關(guān)系； ②汽車在行駛過程中的耗油量與時間的關(guān)系； ③油菜在生長期內(nèi)株高與施肥量的關(guān)系； ④人的身高與體重之間的關(guān)系； ⑤一枚炮彈發(fā)射后，飛行高度與時間的關(guān)系．,[錯解] ①②③④⑤中變量與變量之間都具有依賴關(guān)系，其中②④是函數(shù)關(guān)系． [辨析] 變量與變量之間的依賴關(guān)系在生活中隨處可見，但并不是所有的依賴關(guān)系都是函數(shù)關(guān)系，只有對其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應(yīng)時，它們才具有函數(shù)關(guān)系．因此，判斷兩個變量是否存在函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵是確定變量與變量間的這種唯一的確定關(guān)系．,[正解] ①②③④⑤中變量與變量之間都具有依賴關(guān)系．其中①②⑤中兩個變量之間的依賴關(guān)系都具有一個共同的特點，即任給一個時間的值，該時的溫度、汽車的耗油量、炮彈飛行的高度就唯一確定，也就是說，對于一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以它們之間的關(guān)系是確定性關(guān)系，即是函數(shù)關(guān)系．其中①中的自變量是時間，因變量是溫度，反之不行，②中的自變量是時間，因變量是耗油量，反之也是，⑤中的自變量是時間，因變量是飛行高度，反之不行．而③④中兩個變量盡管具有依賴關(guān)系，但油菜生長期內(nèi)的株高除與施肥量有關(guān)外，還與灌水、光照等因素有關(guān)，人的身高越高，其體重不一定越重，所以它們之間的關(guān)系不具有確定性，不是函數(shù)關(guān)系．,