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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數(shù),第二章,第二章,§2 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識,2.3 映 射,1.映射的概念 兩個________集合A與B之間存在著對應(yīng)關(guān)系f，而且對于A中的________元素x，B中總有________的一個元素y與它對應(yīng)，就稱這種對應(yīng)為從A到B的________，記作________． 2．像與原像 給定一個從集合A到集合B的映射f：A→B，A中的元素____稱為原像，B中的__________稱為x的像，記作f：x→y.,非空,每一個,唯一,映射,f：A→B,x,對應(yīng)元素y,3．一一映射 如果映射f：A→B滿足：A中每一個元素在B中都有_______ 與之對應(yīng)，A中的________的像也不同，B中的每一個元素都有____．我們把這種映射叫一一映射，也叫一一對應(yīng)． 4．映射與函數(shù) 設(shè)A，B是兩個________，f是A到B的一個映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的________．在函數(shù)中，________的集合稱為定義域，________的集合稱為值域．,唯一的像,不同元素,原像,非空數(shù)集,函數(shù),原像,像,1.給出下列四個對應(yīng)，其中是映射的是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ [答案] B [解析] 在②中元素2沒有像，④中元素1在像的集合中有兩個元素和它對應(yīng)，故②④不是映射．,,[答案] D,3．在從集合A到集合B的映射中，下列說法正確的是( ) A．集合B中的某一個元素b的原像可能不止一個 B．集合A中的某一個元素a的像可能不止一個 C．集合A中的兩個不同元素所對應(yīng)的像必不相同 D．集合B中的兩個不同元素的原像可能相同 [答案] A [解析] 根據(jù)映射的概念可知：A中元素必有唯一確定的像，但在像集中一個像可以有不同的原像，故A正確．,5．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，則從A到B的不同映射有________個． [答案] 4 [解析] 集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，從A到B的不同映射為：,,映射、一一映射與函數(shù)的判斷,[思路分析] 解答時可先從映射的定義出發(fā)，觀察A中任何一個元素在B中是否都有唯一的元素與之對應(yīng)，然后再根據(jù)一一映射的定義及映射與函數(shù)的關(guān)系確定該對應(yīng)關(guān)系是否為一一映射及是否是函數(shù)．,[規(guī)范解答] (1)是映射，且是函數(shù)，但不是一一映射，因?yàn)锳中的任何一個元素，在B中都能找到唯一的元素與之對應(yīng)，又A、B均為非空數(shù)集，所以此映射是函數(shù)．因?yàn)閤以及x的相反數(shù)在B中的對應(yīng)元素相同，所以不是一一映射． (2)不是從集合A到集合B的映射，更不是函數(shù)和一一映射．因?yàn)锳中的元素0在集合B中沒有對應(yīng)的元素．,(3)不是從集合A到集合B的映射，更不是函數(shù)和一一映射．因?yàn)槿魏握龜?shù)的平方根都有兩個值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有兩個元素與之對應(yīng)． (4)是映射，是函數(shù)，也是一一映射．因?yàn)閷中的任一個元素，其倒數(shù)是唯一的，即在B中有唯一的元素與之對應(yīng)．又由于A，B都是非空數(shù)集，故此映射也是函數(shù)．又因?yàn)閷τ诓煌恼龜?shù)，其倒數(shù)也是不同的，且B中每個正數(shù)都是A中某個正數(shù)的倒數(shù)，故這個映射也是一一映射．,[規(guī)律總結(jié)] 判斷一個對應(yīng)是否構(gòu)成從A到B的映射時，先看集合A中每一個元素在集合B中是否均有對應(yīng)元素．若有，看對應(yīng)元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影響映射的成立．想說明一個對應(yīng)不是映射，只需尋找一個反例即可．若進(jìn)一步判斷該映射是否是函數(shù)，只需看兩個集合A，B是否是非空數(shù)集即可．若進(jìn)一步判斷是否為一一映射，還需注意B中的每一個元素在A中都有原像，集合A中不同元素對應(yīng)的像不同．,[解析] (1)集合A＝N中元素1在對應(yīng)關(guān)系f的作用下為0，而0?N＋，即A中元素1在B中沒有元素與之對應(yīng)，故該對應(yīng)不是從A到B的映射． (2)集合A中元素6在對應(yīng)關(guān)系f的作用下為3，而3?B，故該對應(yīng)不是從A到B的映射． (3)集合A中的每一個元素在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，在集合B中都有唯一的一個元素與之對應(yīng)，所以此對應(yīng)是從A到B的映射，又B中每一個元素在A中都有唯一的原像與之對應(yīng)，故該對應(yīng)是一一映射．又A，B是非空數(shù)集，因此該對應(yīng)也是從集合A到集合B的函數(shù).,求映射中的像與原像,已知映射f：A→B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)． (1)求A中元素(5,5)的像； (2)求B中元素(5,5)的原像． [思路分析] 這兩個問題是一個互逆運(yùn)算過程，求像需代入對應(yīng)關(guān)系，而求原象需列方程組求得．,[規(guī)律總結(jié)] 1.解答此類問題，關(guān)鍵是：(1)分清原像和像；(2)搞清楚由原像到像的對應(yīng)法則． 2．一般已知原像求像時，常采用代入法，已知像求原像時，通常由方程組法求解，求解過程中要注意像與原像的區(qū)別和聯(lián)系．,若本例條件不變，問集合A中是否存在元素(a，b)使它的像仍是自身？若存在，求出這個元素，若不存在，請說明理由．,映射個數(shù)問題,已知集合A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}． (1)求從A到B的映射的個數(shù)； (2)若從A到B的映射f滿足f(a)＋f(b)－f(c)＝0，則這樣的映射有多少個？ [思路分析] (1)由于a，b，c對應(yīng)的像都可以是－1,0,1中的任一個，無論哪個元素都滿足題意，所以a，b，c都有三種可能的對應(yīng)． (2)首先要理解f(a)，f(b)，f(c)的含義，它們是指a，b，c在集合B中的像，可先由條件f(a)＋f(b)＝f(c)的分析入手，分情況找出滿足條件的映射．,[規(guī)范解答] (1)因?yàn)?×3×3＝27，所以從A到B的映射的個數(shù)為27. (2)①當(dāng)A中三個元素都對應(yīng)0時，f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，有一個映射． ②當(dāng)A中三個元素對應(yīng)B中兩個元素時滿足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4個，它們分別是 f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1； f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1； f(a)＝－1，f(b)＝0，f(c)＝－1； f(a)＝0，f(b)＝－1，f(c)＝－1.,③當(dāng)A中的三個元素對應(yīng)B中三個元素時，有兩個映射f(a)＝－1，f(b)＝1，f(c)＝0； f(a)＝1，f(b)＝－1，f(c)＝0. 綜上，滿足條件的映射有7個． [規(guī)律總結(jié)] 對于兩個集合間映射個數(shù)的問題，常見的題目有兩類，一類是給定兩個集合A，B，問由A→B可建立的映射的個數(shù)．這類問題與A，B中元素的個數(shù)有關(guān)系．一般地，若A中有m個元素，B中有n個元素，則從A→B共有nm個不同的映射．另一類是含條件的映射個數(shù)的確定．解決這類問題一定要注意對應(yīng)關(guān)系所滿足的條件，要采用分類討論的思想方法來解決．,已知集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b}．求： (1)A到B的不同映射f：A→B有多少個？ (2)B到A的不同映射f：B→A有多少個？ [解析] (1)1的像有2種情況，2的像有2種情況，3的像也有2種情況，結(jié)合映射定義知，對A中的每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)．允許多對一，故有2×2×2＝8(種)情況即8個映射． (2)a的像有1,2,3共3種情況，同時b的像也有3種情況，所以f：B→A的映射共有3×3＝9(種)情況即9個映射．,[錯解] 根據(jù)映射與函數(shù)的定義知①②③是映射也是函數(shù)，而④中，x＝0時y不存在，∴④既不是映射也不是函數(shù)． [辨析] 判斷對應(yīng)是否是A到B的映射，應(yīng)考查集合A中的每一個元素是否在集合B中都有對應(yīng)元素，且對應(yīng)元素唯一． [正解] ①對x∈A，在f：x→y＝3x＋1作用下在B中都有唯一的像，因此能構(gòu)成映射，又A、B均為數(shù)集，從而能構(gòu)成函數(shù)； ②當(dāng)x＝1時，y＝|x－1|＝|1－1|＝0?B，即A中的元素1在B中無像，因而不能構(gòu)成映射，從而不能構(gòu)成函數(shù)；,[答案]①③ ① [規(guī)律總結(jié)]判定映射、一一映射、函數(shù)必須根據(jù)定義，對所給對應(yīng)關(guān)系做出正確判斷，不能憑感覺．,