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成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數(shù),第二章,第二章,§5 簡單的冪函數(shù),第1課時 簡單的冪函數(shù),數(shù)學史上很早就使用“冪”字，起先用于表示面、面積，后來擴充為表示平方或立方.1859年我國清末大數(shù)學家李善蘭(1811～1882)譯成《代微積拾級》一書，創(chuàng)設了不少數(shù)學專有名詞 ，如函數(shù)、極限、微分、積分等，并把“Power”這個詞譯為“冪”．這樣“冪”就轉譯為若干個相同數(shù)之積.,1.冪函數(shù) 如果一個函數(shù)，底數(shù)是________，指數(shù)是________，即y＝xα，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù)．,,自變量x,常數(shù)α,3．冪函數(shù)性質(zhì)與圖像 所有的冪函數(shù)在_________上有定義，并且圖像都過點______，如果α0，則冪函數(shù)的圖像還過_____，并在區(qū)間[0，＋∞)上________；如果α0，則冪函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上________，在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向于原點時，圖像_____________；當x趨向于＋∞時，圖像______________．,(0，＋∞),(1,1),(0,0),遞增,遞減,與y軸無限接近,與x軸無限接近,2．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖像一定不經(jīng)過( ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 [答案] A [解析] ∵α∈R，x0，∴y＝xα0，∴圖像不可能經(jīng)過第四象限，故選A.,4．冪函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(4,2)，則f(8)的值等于__________．,函數(shù)f(x)＝(m2－m－5)xm－1是冪函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)是增加的，試確定m的值． [思路分析] 由已知f(x)是冪函數(shù)，且x0時是增加的，可先利用冪函數(shù)的定義求m的值，再利用單調(diào)性對求出的m值進行驗證．,對冪函數(shù)定義的理解,[規(guī)范解答] 根據(jù)冪函數(shù)的定義得m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2. 當m＝3時，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增加的； 當m＝－2時，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減少的， 不符合題意．故m＝3. [規(guī)律總結] 形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：①系數(shù)為1；②指數(shù)為一常數(shù)；③后面不加任何項．這是判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標準，對本例來說，還要根據(jù)單調(diào)性驗根，以免產(chǎn)生增根．,[答案] C [解析] A、B、D都是冪函數(shù)經(jīng)過變化得到的函數(shù)，C中，y＝x－1是冪函數(shù).,冪函數(shù)的圖像與性質(zhì),[思路分析] 把分數(shù)指數(shù)冪化為根式，并使根式有意義． [規(guī)范解答] (1)函數(shù)的定義域為R，值域為[0，＋∞)． 圖像如圖(1)所示． (2)函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，值域為[0，＋∞)． 其圖像如圖(2)所示．,[規(guī)律總結] 1.畫冪函數(shù)的圖像時，可先畫出其在第一象限內(nèi)的圖像，再由定義域、單調(diào)性得出在其他象限內(nèi)的圖像． 2．冪函數(shù)圖像的特征： (1)在第一象限內(nèi)，直線x＝1的右側，y＝xα的圖像由上到下，指數(shù)α由大變?。辉诘谝幌笙迌?nèi)，直線x＝1的左側，y＝xα的圖像由上到下，指數(shù)α由小變大． (2)當α0時，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(0,0)和(1,1)點，在第一象限內(nèi)，當0α≤1時，曲線上凸；當α≥1時，曲線下凸；當α0時，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(1,1)點，在第一象限內(nèi)，曲線下凸．,,[答案] B,冪函數(shù)單調(diào)性的應用,當x∈(1，＋∞)時，冪函數(shù)y＝xα的圖像恒在直線y＝x的下方，求α的取值范圍． [錯解] 如圖(1)所示，當0α1時，對于x∈(1，＋∞)，y＝xα的圖像在直線y＝x的下方． 如圖(2)所示，當α0時，也符合題意， 故α的取值范圍是α1且α≠0.,,[辨析] 忽略了α＝0這一特殊情況，在求取值范圍的題目時，一定要注意隱含條件的挖掘． [正解] 當0α1時，對于x∈(1，＋∞)，y＝xα的圖像在直線y＝x的下方，如圖(1)所示． 當α0時，對于x∈(1，＋∞)，y＝xα的圖像也在直線y＝x的下方，如圖(2)所示． 當α＝0時，對于x∈(1，＋∞)，y＝xα的圖像還在直線y＝x的下方，如圖(3)所示． 故α的取值范圍是α1. [規(guī)律總結] 分類討論題目要考慮全面，切不可丟掉情況．,