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高中數(shù)學 必修3,3. 3 幾何概型（2）,幾何概型的概念,對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域d 中的點 ．,這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等；用這樣的方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.,1.古典概型與幾何概型的對比.,,不同：古典概型要求基本事件有有限個， 幾何概型要求基本事件有無限多個.,2.幾何概型的概率公式.,相同：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；,,復習 與長度有關(guān)的幾何概型： 有一段長為10米的木棍,現(xiàn)要截成兩段,每段不小于3米 的概率有多大？從每一個位置剪斷都是一個基本事件,基本 事件有無限多個.但在每一處剪斷的可能性相等,故是幾何概型.,思維啟迪,,解 記“剪得兩段都不小于3米”為事件A,從木棍的兩端各度量 出3米,這樣中間就有10－3－3＝4(米).在中間的4米長的木棍處剪都 能滿足條件,所以,探究提高,從該題可以看出,我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點,該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣. 而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點,這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.,平面上有一組平行線,且相鄰平行線間的距離為3 cm,把一枚 半徑為1 cm的硬幣任意平拋在 這個平面上,則硬幣不與任何一條 平行線相碰的概率是 ( ) A. B. C. D.,B,解析 如圖所示,這是長度型幾何概型問題,當硬幣 中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相 碰,故所求概率為,例1.在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機取出10mL,含有麥銹病種子的概率是多少?,例題講解,與面積(或體積)有關(guān)的幾何概型,變式訓練 1.街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上, 擲一枚半徑為1 cm的小 圓板.規(guī)則如下：每擲一次交5角錢,若小圓板壓 在正方形的邊上,可重擲一次；若擲在正方形內(nèi),須再交5角錢可玩一次； 若擲在或壓在塑料板的頂點上,可獲 1元錢.試問： (1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？ (2)小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？,思維啟迪,應用幾何概型的概率計算公式P(A)＝ 即可解決此類問題.,(2)考慮小圓板的圓心在以塑料板頂點為圓心的 圓內(nèi), 因正方形有四個頂點,所以概率為,解 (1)考慮圓心位置在中心相同且邊長分別為7 cm和9 cm的正方形 圍成的區(qū)域內(nèi),所以概率為,探究提高,幾何概型的概率計算公式中的“測度”,既包含本例中的面積,也可以包含線段的長度、體積等,而且這個“測度”只與“大小”有關(guān),而與形狀和位置無關(guān).,知能遷移2 在邊長為2的正△ABC內(nèi)任取一點P, 則使點P到三個 頂點的距離至少有一個小于1的概率是 解析 以A，B，C為圓心,以1為半 徑作圓,與△ABC交出三個扇形, 當P落在其內(nèi)時符合要求.,例2 在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上 任取一點M，求AM小于AC的概率．,解： 在AB上截取AC′＝AC，,故AM＜AC的概率等于AM＜AC的概率．,記事件A為“AM小于AC”，,答：AM＜AC的概率等于,與角度有關(guān)的幾何概型,思考：在等腰直角三角形ABC中， 過點C在∠C內(nèi)作射線CM，交AB于M， 求AM小于AC的概率．,此時的測度是作射線是均勻的，就成 了角的比較了． P（A）＝,,,變式訓練 在Rt△ABC中,∠A＝30°,過直角頂點C作射線CM交線段AB于M, 求使|AM|＞|AC|的概率. 思維啟迪 如圖所示,因為過 一點作射線是均勻的,因而應把在 ∠ACB內(nèi)作射線CM看做是等可能 的,基本事件是射線CM落在∠ ACB 內(nèi)任一處,使 | AM || AC |的概率只 與∠BCC′的大小有關(guān),這符合幾 何概型的條件.,可化為幾何概型的概率問題 例4 甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面, 并約定先到者應等候另一人一刻鐘,過時即可離去. 求兩人能會面的概率. 思維啟迪 在平面直角坐標系內(nèi)用x軸表示甲到達 約會地點的時間,y軸表示乙到達約會地點的時間,用 0分到60分表示6時到7時的時間段,則橫軸0到60與縱 軸0到60的正方形中任一點的坐標(x,y)就表示甲、 乙兩人分別在6時到7時時間段內(nèi)到達的時間.而能會 面的時間由|x-y|≤15所對應的圖中陰影部分表示.,以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達 約定地點的時間,則兩人能夠會面的充要 條件是|x-y|≤15. 在如圖所示平面直角坐標系下,(x,y)的 所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域, 而事件A“兩人能夠會面”的可能結(jié)果 由圖中的陰影部分表示. 由幾何概型的概率公式得： 所以,兩人能會面的概率是,探究提高 (1)甲、乙兩人都是在6～7時內(nèi)的任意時 刻到達會面地點,故每一對結(jié)果對應兩個時間,分別用 x,y軸上的數(shù)表示,則每一個結(jié)果(x,y)就對應于圖中 正方形內(nèi)的任一點. (2)找出事件A發(fā)生的條件,并把它在圖中的區(qū)域找出 來,分別計算面積即可. (3)本題的難點是把兩個時間分別用x,y兩個坐標表 示,構(gòu)成平面內(nèi)的點(x,y),從而把時間是一段長度問 題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題,進而轉(zhuǎn)化成面積 型幾何概型的問題.,變式訓練：甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊 兩艘輪船 的碼頭,它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達是 等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時,求它們中 的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率； (2)如果甲船的停泊時間為4小時,乙船的停泊時間為 2小時,求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出 的概率.,解 (1)設甲、乙兩船到達時間分別為x，y, 則0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4. 作出區(qū)域 設“兩船無需等待碼頭空出”為事件A,,(2)當甲船的停泊時間為4小時，乙船的 停泊時間為2小時,兩船不需等待碼頭空出, 則滿足x-y≥2或y-x≥4, 設在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出” 為事件B,畫出區(qū)域,1．適當選擇觀察角度，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解； 2．把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域D； 3．把隨機事件A轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域d； 4．利用幾何概型概率公式計算．,總結(jié)：幾何概型問題的概率的求解方法,