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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修3,概 率,第三章,§1 隨機事件的概率,第三章,我們都知道成語“杞人憂天”的故事，傳說古代齊國有一個人總是擔(dān)心天會塌下來，于是整天吃不好飯、睡不好覺，后來有人用這個成語來比喻總是為沒有必要的事而擔(dān)憂的人．你可曾想過：“明天太陽是否真的一定能夠升起？”事實上，我們沒有必要為明天太陽是否升起而“杞人憂天”．那么如何來確定呢？,1．頻率與概率 (1)在相同的條件下，大量重復(fù)進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在_________附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有________．這時這個常數(shù)叫作_________________，記作_____． (2)頻率反映了一個事件出現(xiàn)的___________，但頻率是________，而概率是__________的值，因此，人們用概率反映____________________________．,某個常數(shù),穩(wěn)定性,隨機事件A的概率,P(A),頻繁程度,隨機的,一個確定,隨機事件發(fā)生的可能性的大小,(3)在實際問題中，某些隨機事件的概率往往難以確切得到，因此我們常常通過做大量的___________，用隨機事件發(fā)生的________作為它的概率的估計值． 2．生活中的概率 概率和日常生活有著密切的聯(lián)系，對于生活中的隨機事件，我們可以利用概率知識作出合理的________與________．,重復(fù)試驗,頻率,判斷,決策,[特別提示] 概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個常用的詞匯，任何事件的概率是0～1之間的一個數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少發(fā)生，而大概率事件(概率接近1)則經(jīng)常發(fā)生.,1．下列說法中，正確的個數(shù)是( ) ①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率是反映事件發(fā)生的可能性的大??； ②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生的頻率就是事件的概率； ③頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值； ④在條件不變的情況下，隨機事件的概率不變． A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C,[解析] 頻率是概率的一個近似，對于一個具體事件而言，概率是一個常數(shù)，而頻率則隨著試驗次數(shù)的變化而變化，試驗次數(shù)越多，頻率就越接近事件的概率．因而②說法錯誤，①③④說法正確．故選C.,2．有下列現(xiàn)象： ①早晨太陽從東方升起． ②連續(xù)拋擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面向上． ③異性電荷相互吸引． ④在標(biāo)準大氣壓下，水在0℃結(jié)冰． 其中是隨機現(xiàn)象的有( ) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 [答案] B,[解析] 依據(jù)隨機現(xiàn)象的特點判斷：當(dāng)在相同條件下多次觀察同一現(xiàn)象，每次觀察到的結(jié)果不一定相同，事先很難預(yù)料哪一種結(jié)果會出現(xiàn). 因此②是隨機現(xiàn)象．①、③、④是必然現(xiàn)象．,3．下列結(jié)論錯誤的有( ) ①如果一件事發(fā)生的機會只有十萬分之一，那么它就不可能發(fā)生； ②如果一件事發(fā)生的機會達到99.999%，那么它就必然發(fā)生； ③如果一件事不是不可能發(fā)生的，那么它就必然發(fā)生； ④如果一件事不是必然發(fā)生的，那么它就不可能發(fā)生． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 [答案] D,[解析] 一件事發(fā)生的機會只有十萬分之一，說明概率很小，但是也有可能發(fā)生，故①錯誤；一件事發(fā)生的機會達到99.999%，說明概率很大，但是也有可能不發(fā)生，故②錯誤；如果一件事不是不可能發(fā)生的，那么這件事是隨機事件或必然事件，故③錯誤；如果一件事不是必然發(fā)生的，那么這件事是隨機事件或不可能事件，故④錯誤．故選D.,4．已知隨機事件A發(fā)生的頻率是0.02，事件A出現(xiàn)了10次，那么可能共進行了________次試驗． [答案] 500 [解析] 隨機事件A發(fā)生的頻率為0.02，若事件A出現(xiàn)10次，則可能進行試驗的次數(shù)為10÷0.02＝500.,[答案] 70%,隨機事件的有關(guān)概念,[思路分析] 必然事件與不可能事件反映的是在一定條件下的確定性現(xiàn)象，而隨機事件反映的是在一定條件下的隨機現(xiàn)象．解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意明確條件，正確判斷在此條件下事先能否判定出現(xiàn)某種結(jié)果．,[規(guī)范解答] ①隨機事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪. ②隨機事件，函數(shù)y＝ax當(dāng)a1時在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)0a1時在定義域上是減函數(shù). ③必然事件，實數(shù)的絕對值非負． ④不可能事件，在標(biāo)準大氣壓下，水在0℃結(jié)冰. ⑤必然事件，若a、b∈R，則ab＝ba恒成立． [答案] ③⑤ ④ ①② [規(guī)律總結(jié)] 準確理解各類事件的定義，能夠根據(jù)定義和生活常識，分析一些簡單的綜合問題．,下列事件中，隨機事件的個數(shù)為( ) ①明天是陰天； ②方程x2＋2x＋5＝0有兩個不相等的實根； ③明年長江武漢段的最高水位是29.8 m； ④一個三角形的大邊對小角，小邊對大角． A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] B [解析] ①③是隨機事件；②④是不可能事件．,頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別,[規(guī)范解答] 本題考查概率和頻率之間的聯(lián)系與區(qū)別，隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，它雖然不是一個固定的數(shù)值，會在某一個常數(shù)附近擺動，但是隨著試驗次數(shù)的增加，這種擺動幅度越來越小，也即逐漸接近概率． [答案] ①③,[規(guī)律總結(jié)] 頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系： 區(qū)別：頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，是隨機的；概率是一個確定的值，它反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大?。?聯(lián)系：頻率是概率的估計值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率．,某人將一枚硬幣連續(xù)拋擲了10次，事件“正面朝上”出現(xiàn)了6次，則事件“正面朝上”的( ) A．概率為0.6 B．頻率為0.6 C．頻率為6 D．概率接近0.6 [答案] B [解析] 由頻率的計算公式知選B.,用頻率估算概率,[思路分析] 解答本題可先分析兩個地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的頻率，然后根據(jù)頻率的穩(wěn)定值估計兩個地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率，進而分析貧富差距為什么會帶來人的智力的差別. [規(guī)范解答] (1)貧困地區(qū)：,[規(guī)律總結(jié)] 頻率本身是隨機變量，當(dāng)n很大時，頻率總在一個穩(wěn)定值附近，這個穩(wěn)定值就是概率，因此，我們常通過這個穩(wěn)定值來求概率．,[解析] (1)優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率依次為0.900，0.920，0.970,0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率在0.95附近擺動，所以任抽一個乒乓球檢測，結(jié)果為優(yōu)等品的概率估計為0.95.,[思路分析] 某射擊選手擊中靶心的概率為0.9，這只是說明他每次射擊擊中靶心的可能性的大?。鋼?0次，擊中的次數(shù)有可能小于9次，有可能等于9次，也有可能大于9次． [規(guī)范解答] 從概率的統(tǒng)計定義來看，擊中靶心的概率是0.9并不意味著射擊10次就一定能擊中靶心9次，只有進行大量射擊試驗時，擊中靶心的次數(shù)約為0.9n，其中n為射擊次數(shù)，而且n越大，擊中靶心的次數(shù)就越接近于0.9n.,概率的意義,[規(guī)律總結(jié)] 本題中擊中靶心的概率為0.9，這個值是經(jīng)過大量的重復(fù)試驗得出的一個統(tǒng)計值，但對于單獨的一次或多次試驗而言，該事件很有可能不發(fā)生或發(fā)生的可能性與大量試驗得到的值相差很大，因而不能將概率值當(dāng)作是必然發(fā)生的值來理解．,已知使用一劑某種藥物治愈某種疾病的概率為90%，則下列說法正確的是( ) A．如果有100個這種病人各使用一劑這樣的藥物，則有90人會治愈 B．如果一個患有這種疾病的病人使用兩劑這樣的藥物就一定會治愈 C．說明使用一劑這種藥物治愈這種疾病的可能性是90% D．以上說法都不對 [答案] C,[解析] 概率是指一個事件發(fā)生的可能性的大?。斡撤N疾病的概率為90%，說明使用一劑這種藥物治愈這種疾病的可能性是90%，但不能說明使用一劑這種藥物一定可以治愈這種疾病，只能說是治愈的可能性較大，故選C.,用概率解釋公平性,,(1)你認為這個游戲公平嗎？為什么？ (2)如果他們約定只用轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動兩次做這個游戲(即如果兩次指針對準的字母相同則小明獲勝；如果不同，則小剛獲勝)，你認為這樣公平嗎？ (3)請在此題基礎(chǔ)上，設(shè)計一個對雙方公平的游戲． [思路分析] 游戲是否公平，關(guān)鍵要看每次試驗兩人獲勝的機會是否相等．相等，則公平；不相等，則不公平．,[規(guī)律總結(jié)] (1)在各類游戲中，如果每人獲勝的概率相等，那么游戲就是公平的．也就是說是否公平只要看獲勝的概率是否相等． (2)要使不公平的游戲變成公平的游戲，可有兩種方法：一是修改游戲規(guī)則，使每次游戲兩人獲勝的機會均等；二是修改游戲工具，即選擇或設(shè)計使每次游戲兩人獲勝的機會均等的工具．,有一個拋兩枚硬幣的游戲，規(guī)則是：若出現(xiàn)兩個正面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反，則乙贏；若出現(xiàn)兩個反面，則甲、乙都不贏． (1)這個游戲是否公平？請說明理由． (2)如果你認為這個游戲不公平，那么請你改變游戲規(guī)則，設(shè)計一個公平的游戲；如果你認為這個游戲公平，那么請你改變游戲規(guī)則，設(shè)計一個不公平的游戲．,(2)游戲規(guī)則一：若出現(xiàn)兩個相同面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反(一反一正)，則乙贏； 游戲規(guī)則二：若出現(xiàn)兩個正面，則甲贏；若出現(xiàn)兩個反面，則乙贏；若出現(xiàn)一正一反，則甲、乙都不贏，,[錯解] (1)是指抽出100個燈泡，能亮1000小時以上的燈泡有85個；(2)是指明天一定下雨；(3)是指參加45場比賽，其中有22場獲勝． [辨析] 沒有正確理解概率的概念，混淆概率和頻率．,[規(guī)律總結(jié)] 概率可以看作頻率在理論上的期望值，而隨機事件的頻率可以看作是其概率的隨機表現(xiàn)，隨機事件的概率是固有的，客觀存在的，可以在相同條件下通過大量重復(fù)試驗予以識別和檢驗，而不能以一次或少數(shù)次的試驗結(jié)果作判斷．,