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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修3,概 率,第三章,§3 模擬方法——概率的應(yīng)用,第三章,向一個圓面內(nèi)隨機(jī)地投一粒黃豆，如果該粒黃豆落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，那么這個試驗是古典概型嗎？因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)的所有點，試驗的所有結(jié)果是無限的．因此，盡管每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，但是這個試驗不是古典概型．本節(jié)課我們來研究此類試驗的特征及其概率．,1．模擬方法 雖然可以通過做大量重復(fù)試驗，用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計其概率，但是，人工進(jìn)行試驗費時、費力，并且有時是不可能實現(xiàn)的．因此，我們常常借助_________來估計某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率，用_________可以在短時間內(nèi)完成大量的重復(fù)試驗．對于某些無法確切知道概率的問題，模擬方法能幫助我們得到其概率的近似值．模擬方法在實際中有很多應(yīng)用．,模擬方法,模擬方法,形狀,位置,有限區(qū)域,體積之比,長度之比,1．幾何概型與古典概型的區(qū)別是( ) A．幾何概型的基本事件是等可能的 B．幾何概型的基本事件的個數(shù)是有限的 C．幾何概型的基本事件的個數(shù)是無限的 D．幾何概型的基本事件不是等可能的 [答案] C [解析] 幾何概型是無限多個等可能事件的情況，而古典概型中的等可能事件只有有限多個．,[答案] B,3．下列概率模型中是幾何概型的有( ) ①從區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個數(shù)，求取到1的概率； ②從區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個數(shù)，求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率； ③從區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個整數(shù)，求取到大于1而小于2的數(shù)的概率； ④向一個邊長為4 cm的正方形ABCD內(nèi)任投一點P，求點P離中心不超過1 cm的概率． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 [答案] B,[解析] ①不是幾何概型，雖然[－10,10]有無限多個數(shù)，但取到“1”只是一個數(shù)字，不能構(gòu)成區(qū)域長度；②是幾何概型，因為區(qū)間[－10,10]和[－1,1]上有無限多個數(shù)可取(滿足無限性)，且在這兩個區(qū)間內(nèi)每個數(shù)被取到的機(jī)會是相等的(滿足等可能性)；③不是幾何概型，因為區(qū)間[－10,10]上的整數(shù)只有21個(是有限的)，不滿足無限性特征；④是幾何概型，因為在邊長4 cm的正方形和半徑為1 cm的圓內(nèi)均有無數(shù)多個點，且這兩個區(qū)域內(nèi)的任何一個點都有可能被投到，且被投到的概率相等，故滿足無限性和等可能性．,[答案] 20,5．一個路口的紅綠燈，紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時，看見下列三種情況的概率各是__________、__________、__________. (1)紅燈；(2)黃燈；(3)不是紅燈,[思路分析] 從每一個位置上剪斷繩子是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3m的繩子上的任意一點，基本事件有無限多個且是等可能的，事件發(fā)生的概率只與剪斷位置所處的繩子的長度有關(guān)，符合幾何概型的條件．,長度模型的幾何概型,[規(guī)律總結(jié)] 在求解與長度有關(guān)的幾何概型時，首先找到幾何區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關(guān)鍵，但邊界點是否取到卻不影響事件A的概率．,一只螞蟻在三邊邊長分別為3,4,5的三角形邊上爬行，某時刻此螞蟻距離三角形三個頂點距離均超過1的概率為________．,[思路分析] 射線OC隨機(jī)地落在∠AOB內(nèi)部，故∠AOB為所有試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，作∠BOE＝∠AOD＝30°，當(dāng)射線OC落在∠DOE內(nèi)部時，∠AOC和∠BOC都不小于30°，故∠DOE為構(gòu)成事件的區(qū)域；這顯然是一個與角度有關(guān)的幾何概型．,角度的幾何概型,如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率．,[思路分析] 利用平面直角坐標(biāo)系化歸為平面點集求解．,面積模型的幾何概型,現(xiàn)向如圖所示的正方形內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率．,,[思路分析] 由于高個不抗風(fēng)型種子所在位置是隨機(jī)的，所以取得這粒種子的概率只與所取出的種子的體積有關(guān)，這符合幾何概型條件．,體積模型的幾何概型,[規(guī)律總結(jié)] 如果試驗的結(jié)果所成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確地找出基本事件所占的總體積及事件A所分布的體積．,在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，則取出的種子中含有帶麥銹病的種子的概率是多少？,[辨析] 錯在把等可能性理解為弦的中點H在直徑PQ上均勻分布，沒有弄清題意．,[規(guī)律總結(jié)] 計算幾何概型問題的概率，就要先計算基本事件總體與事件A所包含的基本事件對應(yīng)的區(qū)域的幾何度量(如長度、面積、體積等)，這往往是分析與理解的困難所在．此外對幾何概型問題中的等可能性的理解也特別重要．,