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成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修1-1,常用邏輯用語,第一章,章末歸納總結,第一章,1．命題 一般地，在數學中，我們用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫作命題．其中判斷為真的語句叫作真命題，判斷為假的語句叫作假命題．,,5．簡單的邏輯聯結詞 (1)命題的三種形式：p∧q，p∨q和?p. (2)真值表,1．原命題與其逆否命題同真同假，原命題的逆命題與其否命題同真同假，但原命題與其逆命題的真假沒有關系，我們只研究“若p，則q”型命題的逆命題、否命題、逆否命題． 2．只有在“若p，則q”為真命題時，才稱p是q的充分條件，q是p的必要條件． 3．注意區(qū)分“p的充分條件是q”與“p是q的充分條件”，前者q?p，后者p?q. 4．命題的否定與否命題是兩個不同的概念，命題的否定只否定命題的結論，否命題既否定原命題的結論，也否定原命題的條件．,設原命題為“若ab，則a＋cb＋c”．(其中a、b、c∈R) (1)寫出它的逆命題、否命題、逆否命題； (2)判斷這四個命題的真假； (3)寫出原命題的否定． [解析] (1)逆命題：若a＋cb＋c，則ab. 否命題：若a≥b，則a＋c≥b＋c. 逆否命題：若a＋c≥b＋c，則a≥b.,四種命題的關系,(2)∵ab，∴a＋cb＋c，∴原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題． ∵a≥b，∴a＋c≥b＋c，∴其否命題是真命題，則其逆命題是真命題. (3)原命題的否定是：?a、b、c∈R，當ab時，a＋c≥b＋c. [點評] 命題的否定形式與命題的否命題不同，前者只否定原命題的結論，而后者同時否定條件和結論．,若m≤0或n≤0，則m＋n≤0，寫出其逆命題、否命題、逆否命題，同時分別指出它們的真假． [答案] 逆命題：若m＋n≤0，則m≤0或n≤0，逆命題為真． 否命題：若m0且n0，則m＋n0，否命題為真．(逆命題與否命題是等價的) 逆否命題：若m＋n0，則m0且n0，逆否命題為假．(逆否命題與原命題等價),根據復合命題的真假，求參數的值或取值范圍,已知命題p：x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根，命題q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實數根，若p、q一真一假，求實數m的取值范圍．,[點評] 此種類型的題目往往是先假設命題p和q都是真命題，求出參數的取值范圍．若有假命題，則參數的范圍就是使之為真命題時的補集．該題中p、q一真一假，則需分類討論：p真q假、p假q真，分別求出參數m的范圍，最后取并集．,(2014·邢臺一中第二次月考)已知命題p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命題q：只有一個實數x滿足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命題“p或q”是假命題，求實數a的取值范圍．,充要條件的應用與等價轉化思想,已知p：實數x滿足x2－4ax＋3a20，其中a0；q：實數x滿足x2－x－6≤0.若?p是?q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍． [分析] 解決本題可先求出命題p和q成立的條件，再得到?p，利用?p是?q的必要不充分條件，則?q??p，求出a的取值范圍，或利用等價條件p?q求得a.,[點評] 根據充分條件、必要條件、充要條件求參數的取值范圍時，可以先把p、q等價轉化，利用充分條件、必要條件、充要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．,含有一個量詞的命題的否定,已知兩個命題：r(x)：sinx＋cosxm，s(x)：x2＋mx＋10，如果對?x∈R，r(x)與s(x)有且僅有一個為真命題，求實數m的取值范圍． [分析] 若?x∈R，f(x)為真命題，則m(sinx＋cosx)的最小值即可；若?x∈R，s(x)為真命題，則Δ＝m2－40.,已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命題q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命題“p且q”是真命題，則實數a的取值范圍是( ) A．[e,4] B．[1,4] C．(4，＋∞) D．(－∞，1] [答案] A,1．命題“任意x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( ) A．存在x0∈R，x－2x0＋10 D．任意x∈R，x2－2x＋10 [答案] A [解析] 全稱命題的否定是特稱命題，故選A.,2．命題“若x、y都是偶數，則x＋y也是偶數”的逆否命題是( ) A．若x＋y是偶數，則x與y不都是偶數 B．若x＋y是偶數，則x與y都不是偶數 C．若x＋y不是偶數，則x與y不都是偶數 D．若x＋y不是偶數，則x與y都不是偶數 [答案] C [解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命題是：“若x＋y不是偶數，則x與y不都是偶數”．,3．已知a、b、c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是( ) A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c23 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c23 C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3 [答案] A [解析] a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c23.,[答案] D,5．(2014·湖南理，5)已知命題p：若xy，則－xy，則x2y2.在命題①p且q；②p或q；③p且(?q)；④(?p)或q中，真命題是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ [答案] C [解析] 當xy時，兩邊乘以－1可得－x－y，所以命題p為真命題，當x＝1，y＝－2時，因為x2y2，所以命題q為假命題，所以②③為真命題，故選C.,6．(2014·遼寧省協(xié)作校聯考)有下列說法：①“p且q”為真是“p或q”為真的充分不必要條件；②“p且q”為假是“p或q”為真的充分不必要條件；③“p或q”為真是“?p”為假的必要不充分條件；④“?p”為真是“p且q”為假的必要不充分條件，其中正確的個數為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] B,