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1、萊布尼茨數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)一性 戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（１６４６～１７１６）對數(shù)學(xué)有兩項突出貢獻(xiàn)：發(fā)明了符號邏輯和微積分。由于這兩項成就分屬不同的數(shù)學(xué)分支，人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作，忽視了它們之間的一致性，這為研究萊布尼茨的數(shù)學(xué)思想、完整地理解數(shù)學(xué)史和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律帶來不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。 　　一、符號邏輯：　"通用數(shù)學(xué)語言"; 萊布尼茨對數(shù)學(xué)問題的最早探索和最初貢獻(xiàn)是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構(gòu)所謂的"通用語言";。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言，它通過字母和符號

2、進(jìn)行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規(guī)則改變?yōu)檠菟阋?guī)則，以便更精確更敏捷地進(jìn)行推理。（［１］，ｐ．８）或者說，"通用語言";是一套表達(dá)思想和事物的符號系統(tǒng)，利用這些符號可以進(jìn)行演算并推出各種知識。在《論組合術(shù)》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要創(chuàng)設(shè)"一個一般的方法，在這個方法中所有推理的真實性都要簡化為一種計算。同時，這會成為一種通用語言或文字，但與那些迄今為止設(shè)想出來的全然不同；因為它里面的符號甚至詞匯要指導(dǎo)推理；錯誤，除去那些事實上的錯誤，只會是計算上的錯誤。形成或者發(fā)明這種語言或者記號會是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它。";（［２］，ｐ．１２３）在１６７９年９月８日給惠更斯的

3、信中他又寫道，有一個"完全不同于代數(shù)的新符號語言，它對于精確而自然地在腦子里再現(xiàn)（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處。它的主要效用在于能夠通過記號〔符號〕的運算完成結(jié)論和推理，這些記號不經(jīng)過非常精細(xì)的推敲或使用大量的點和線會把它們混淆起來，因而不得不作出無窮多個無用的試驗；另一方面，這個方法會確切而簡單地導(dǎo)向〔所需要的〕結(jié)果。我相信力學(xué)差不多可以象幾何學(xué)一樣用這種方法去處理。";（［３］，ｐ．１５１～１５２） 綜合萊布尼茨零零碎碎的設(shè)想，他的宏偉規(guī)劃大體旨在創(chuàng)造兩種工具：其一是通用語言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現(xiàn)存語言的局限性和不規(guī)

4、則性，使新語言變成世界上人人會用的具有簡明符號、合理規(guī)則的語言，規(guī)定符號的演變規(guī)則與運算規(guī)則，使邏輯演變依照一條明確的道路進(jìn)行下去，進(jìn)而解決所有可用語言表達(dá)的問題。 為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認(rèn)作最根本的不可分析的符號；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯(lián)結(jié)等形式概念的設(shè)計。關(guān)于第一方面，萊布尼茨首次設(shè)想用數(shù)目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術(shù)中的乘或除來代替。他認(rèn)為用這種數(shù)字的不同方式排列組合，進(jìn)行各種運算，就可產(chǎn)生無窮多的復(fù)合概念。這一思想后來改進(jìn)為以素數(shù)代表基本概念，而復(fù)合詞項即可借分解相應(yīng)的數(shù)字成為它們的素數(shù)因子來加以分析。以

5、"人是理智動物";為例，用素數(shù)"３";代表"動物";、"５";代表"理智";，則"人";即以"１５＝３．５";代表。為了更好地構(gòu)設(shè)"通用語言";，萊布尼茨又以設(shè)想的"人類概念字母表";為語言詞匯基礎(chǔ)創(chuàng)制了一些邏輯符號，如"∪";（并）、"∩";（交）等，一直沿用下來。 關(guān)于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以１６７９、１６８６、１６９０三個年代為標(biāo)志劃分為三個階段。（［４］，ｐｐ．２７１～２７３） 第一階段，萊布尼茨改進(jìn)從數(shù)字代替概念以其演算，代之以對普通命題經(jīng)驗分析為基礎(chǔ)的代數(shù)邏輯。他以全稱肯定命題"ａ是ｂ";的形式開始，提出五條基本演算規(guī)則：（１）ａｂ是ｂａ（交換律）；（２

6、）ａ是ａａ（重言律）；（３）ａ是ａ（同一原則）；（４）ａｂ是ａ或ａｂ是ｂ（化簡原則）；（５）如ａ是ｂ且ｂ是ｃ，則ａ是ｃ（傳遞原則）。以此為據(jù)，他證明了同一和包含兩個邏輯系詞之間的重要關(guān)系，即，如ａ是ｂ且ｂ是ａ，則ａ與ｂ是同一的。進(jìn)而，他又提出四個定理：（１）如ａ是ｂ且ａ是ｃ，則ａ是ｂｃ；（２）如ａ是ｂｃ，則ａ是ｂ且ａ是ｃ；（３）如ａ是ｂ，則ａｃ是ｂｃ；（４）如ａ是ｂ且ｃ是ｄ，則ａｃ是ｂｄ。由此可見，萊布尼茨在第一階段的邏輯演算已相當(dāng)完善和科學(xué)化，為邏輯的系統(tǒng)化打下了堅實的基礎(chǔ)。 第二階段，萊布尼茨用等式符號作系詞符號，借公式Ａ＝ＢＹ表述全稱肯定命題（Ｙ為一未確定的系數(shù)，用以修飾Ｂ而使Ｂ成為Ａ

7、的一部分），同時提出雙重否定之為肯定，即"非非Ａ＝Ａ";，并由此演釋出一系列定理。為了進(jìn)一步發(fā)展演算，萊布尼茨還試圖通過與屬性組合的關(guān)系，用代數(shù)方法來描述四個直言命題，甚至對四個直言命題的表示法提出了九個方案。 第三個階段，萊布尼茨最有價值的工作是羅列了十四個基本命題：（１）Ａ＝Ａ＋Ａ"＋";表示邏輯相乘，下同）；（２）如Ａ＝Ｂ且Ｂ＝Ｃ，則Ａ＝Ｃ；（３）如Ａ＝Ｂ且Ｂ≠Ｃ，則Ａ≠Ｃ；（４）如Ａ＝Ｂ，且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＜Ｃ；（５）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＜Ｂ，則Ｃ＜Ａ；（６）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＝Ｄ；則Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ；（７）如Ａ＝Ｂ，則Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ；（８）Ａ＜Ｂ，則Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｃ；（９）如Ａ＋Ｂ＝Ａ，則Ｂ＜Ａ；（１０）如Ｂ＜Ａ，則Ａ＋Ｂ＝Ａ；（１１）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＜Ｃ；（１２）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ａ，則Ａ＝Ｂ；（１３）如Ａ＜Ｃ且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＋Ｂ＜Ｃ；（１４）如Ａ＜Ｂ且Ｃ＜Ｄ，則Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄ。為適應(yīng)邏輯相除，