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2019-2020年高三下學期開學檢測 數(shù)學（理）試題 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 1. 設(shè)集合，，若，則實數(shù)的值為（ ） A. －4 B. 4 C. －6 D. 6 2. 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，，與垂直，則是（ ） A. 1 B. 2 C. －2 D. －1 4. 若某空間幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. 2 D. 6 5. 設(shè)直線與的方程分別為與，則“”是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 6. 下列命題中（ ） ①三點確定一個平面； ②若一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線與平面垂直； ③同時垂直于一條直線的兩條直線平行； ④底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐的表面積為12。 正確的個數(shù)為（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 雙曲線的漸近線與圓相切，則等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 8. 已知集合， 。若存在實數(shù)，使得成立，稱點為“￡”點，則“￡”點在平面區(qū)域內(nèi)的個數(shù)是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 無數(shù)個 第Ⅱ卷 二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分。 9. 的展開式中的系數(shù)是 。（用數(shù)字作答） 10. 在平面直角坐標系中，不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積是16，則實數(shù)的值為 。 11. 某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值是8，則從集合中所有滿足條件的值為 。 12. 對于數(shù)列，如果存在最小的一個常數(shù)，使得對任意的正整數(shù)恒有成立，則稱數(shù)列是周期為的周期數(shù)列。 設(shè)，周期為的數(shù)列前項的和分別記為，則三者的關(guān)系式是 。 13. 已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域均為，且它們在上的圖像如圖所示，則不等式的解集是 。 14. 設(shè)函數(shù)，，，，則方程有 個實數(shù)根。 三、解答題：本大題共6個小題，共80分。解答題寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 15. 已知函數(shù)。 （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）若是的內(nèi)角的對邊，，，且是函數(shù)在上的最大值，求：角，角及邊的大小。 16. 如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱底面，且，分別是線段的中點。 （1）求證：平面； （2）求證：平面； （3）求二面角的大小。 17. 有甲、乙等7名選手參加一次講演比賽，采用抽簽的方式隨機確定每名選手的演出順序（序號為1，2，…，7）。 （1）甲選手的演出序號是1的概率； （2）求甲、乙兩名選手的演出序號至少有一個為奇數(shù)的概率； （3）求甲、乙兩名選手之間的演講選手個數(shù)的分布列與期望。 18. 已知函數(shù)，在點處的切線與直線平行。 （1）求函數(shù)的解析式； （2）求函數(shù)在上的最小值。 19. 橢圓：的左、右焦點分別是，，過斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點，且，，成等差數(shù)列。 （1）求證：； （2）設(shè)點在線段的垂直平分線上，求橢圓的方程。 20. 正數(shù)列的前項和滿足：，，常數(shù) （1）求證：是一個定值； （2）若數(shù)列是一個周期數(shù)列，求該數(shù)列的周期； （3）若數(shù)列是一個有理數(shù)等差數(shù)列，求。 參考答案 一、選擇題 1-5 BDDCB 6-8 BAA 二、填空題 9. 5 10. 2 11. 0 12. 13. 14. 三、解答題 15. 解：（1）， （2）∵.∴，∴的最大值為3。 ∴，∵為三角形內(nèi)角，∴ 又，得，∵，∴ 由，得，∴ 16. 解法一：（1）證明：∵，分別是線段，的中點，∴。 又∵平面，平面， ∴平面。 （2）解，∵為的中點，且，∴， 又∵底面，底面，∴。 又∵四邊形為正方形，∴。 又∵，∴平面。 又∵平面，∴。 又∵，∴平面。 （3）∵平面，平面，∴平面平面， ∵平面，平面平面=，， ∴平面，∵分別是線段的中點， ∴，∴平面。∵平面，平面， ∴，∴， ∴就是二面角的平面角。 在中，， ∴，所以二面角的大小為。 解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系， ∴。 （1）證明：∵，， ∴ ∵平面，且平面， ∴平面。 （2）解：，，， ， 。 ∴ 又∵∴平面。 （3） 設(shè)平面的法向量為， 因為，， 則取。 又因為平面的法向量為， 所以， ∴，所以二面角的大小為。 17. 解：（1）設(shè)表示“甲選手的演出序號是1”， 所以。所以甲選手的演出序號是1的概率為。 （2）設(shè)表示“甲、乙兩名選手的演出序號至少有一個為奇數(shù)”， 表示“甲、乙兩名選手的演出序號都是偶數(shù)”。 所以。 所以甲、乙兩名選手的演出序號至少有一個為奇數(shù)的概率為。 （3）的可能取值為0，1，2，3，4，5， 所以，，， ，，。 所以的分布列為 0 1 2 3 4 5 所以 18. 解：（1）因為函數(shù)， 所以定義域為，。 因為在點處的切線與直線平行， 所以，即。 所以。所以。 （2）由（Ⅰ），令，得。 當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增。 所以①若時，函數(shù)的最小值是； ②若時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值是。 19. 解：（1）由題設(shè)，得， 由橢圓定義，所以，。 設(shè)，，，，代入橢圓的方程，整理得 則 于是有，化簡，得，故，。 （2）由（1）有，方程可化為 設(shè)中點為，則， 又，于是。 由知為的中垂線，， 由，得，解得， 故，橢圓的方程為。 20. 解：證明：（1） （1） （2） （2）－（1）： ∵ ∴ （2）計算，∴ 根據(jù)數(shù)列是隔項成等差，寫出數(shù)列的前幾項： 當時，奇數(shù)項和偶數(shù)項都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列，所以時，寫出數(shù)列的前幾項： 所以當且時，該數(shù)列的周期是2， 當時，該數(shù)列的周期是1， （3）因為數(shù)列是一個有理數(shù)等差數(shù)列，所以化簡，是有理數(shù) 設(shè)，是一個完全平方數(shù)，設(shè)為，，均是非負整數(shù) 時， 時可以分解成8組，其中只有，符合要求，此時， 解法二 ， 等差數(shù)列的前幾項： 因為數(shù)列是一個有理等差數(shù)列 是一個自然數(shù)， 此時 如果沒有理由，猜想：，解答 得2分 得2分