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2019-2020年高三四模（5月） 數(shù)學(xué) 含答案 一、填空題：(共14題，總分70分) 1．已知集合，，則等于 ▲ ． 2．已知虛數(shù)滿足，則 ▲ ． 3．對一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進行抽樣檢測，樣本容量為400，右圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)產(chǎn)品標準，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間[25，30)的為一等品，在區(qū)間[20，25)和[30，35)的為二等品，其余均為三等品．則樣本中三等品的件數(shù)為 ▲ ． 10 15 20 25 30 40 35 （第3題） 0.0125 0.0500 0.0625 0.0250 0.0375 長度/毫米 4.在平面直角坐標系xOy中，“雙曲線的標準方程為”是“雙曲線的漸近線方程為”成立的 ▲ 條件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一種) 5. 下圖是一個算法流程圖，則輸出的的值是 ▲ 。 6．如果實數(shù)滿足線性約束條件，則的最小值等于 ▲ ． 7. 為強化安全意識，某校擬在周一至周五的五天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好為連續(xù)2天的概率是 ▲ ． 8． 設(shè)，，為三條不同的直線，給出如下兩個命題： ①若，，則；②若，，則． 試類比以上某個命題，寫出一個正確的命題：設(shè)，，為三個不同的平面， ▲ ． 9..若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，k稱為公比和．已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，則 　▲　 ． 10．函數(shù)的所有零點之和為 ▲ ． 11．已知，，則的值為 ▲ ． 12．如果將直線：向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得直線與圓：相切，則實數(shù)的值構(gòu)成的集合為 ▲ ． 13．已知點為△的重心，且，，則的值為 ▲ ． 14．若冪函數(shù)(a)及其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性一致(同為增函數(shù)或同為減函數(shù))，則實數(shù)a的取值范圍是 ▲ ． 二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15. (本小題滿分14分) 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝，A＋3C＝π. (1) 求cosC的值； (2) 求sinB的值； (3) 若b＝3，求△ABC的面積． 16. (本小題滿分14分) 如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D、E分別為A1B1、C1C的中點．求證： (1) BC1⊥平面AB1C； (2) DE∥平面AB1C. 17.(本小題滿分14分) 如圖，某水域的兩直線型岸邊l1，l2 成定角120o，在該水域中位于該角角平分線上且與頂點A相距1公里的D處有一固定樁．現(xiàn)某漁民準備經(jīng)過該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC（B，C分別在l1和l2上），圍出三角形ABC養(yǎng)殖區(qū)，且AB和AC都不超過5公里．設(shè)AB＝x公里，AC＝y(tǒng)公里． （1）將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域； （2）該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)？ 18．（本題滿分16分） 定義：如果一個菱形的四個頂點均在一個橢圓上，那么該菱形叫做這個橢圓的內(nèi)接菱形，且該菱形的對角線的交點為這個橢圓的中心． 如圖，在平面直角坐標系中，設(shè)橢圓的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為． （1）求中菱形的最小的面積； （2）是否存在定圓與中的菱形都相切?若存在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由； （3）當菱形的一邊經(jīng)過橢圓的右焦點時，求這條 邊所在的直線的方程． 19．（本題滿分16分） 設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， 其中為自然對數(shù)的底數(shù). （1）求，的表達式； （2）設(shè)，，，證明：. 20. 己知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列． （1）若（n∈N*），求證：為等比數(shù)列； （2）設(shè)（n∈N*），其中是公差為2的整數(shù)項數(shù)列，，若 ，且當時，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項公式； （3）若數(shù)列使得是等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為，且數(shù)列滿足：對任意，N*,或者恒成立或者存在正常數(shù)，使恒成立，求證：數(shù)列為等差數(shù)列． 附加題 1. （本小題滿分10分）已知矩陣 （1）求； （2）滿足AX=二階矩陣X 2. （本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），且曲線上的點對應(yīng)的參數(shù)，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． （1）求曲線的普通方程； （2）若是曲線上的兩點，求的值． 3、（本小題滿分10分）某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項目，根據(jù)市場分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，，；如果投資乙項目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β(α＋β＝1)． (1) 如果把10萬元投資甲項目，用X表示投資收益(收益＝回收資金－投資資金)，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)； (2) 若10萬元資金投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，求α的取值范圍． 4．（本小題滿分10分） 設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)． （1）證明：； （2）結(jié)合等式“”證明： ． 江蘇省揚州中學(xué)高三數(shù)學(xué)五月質(zhì)量檢測參考答案 一、填空題：(共14題，總分70分) 1．已知集合，，則等于 ▲ ． 1． 2．已知虛數(shù)滿足，則 ▲ ． 2． 3． 對一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進行抽樣檢測，樣本容量為400，右圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)產(chǎn)品標準，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間[25，30)的為一等品，在區(qū)間[20，25)和[30，35)的為二等品，其余均為三等品．則樣本中三等品的件數(shù)為 ▲ ． 3. 【答案】100 4.在平面直角坐標系xOy中，“雙曲線的標準方程為”是“雙曲線的漸近線方程為”成立的 ▲ 條件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一種) 4.【答案】充分非必要 5. 下圖是一個算法流程圖，則輸出的的值是 5.59 6．如果實數(shù)滿足線性約束條件，則的最小值等于 ． 6. 7. 為強化安全意識，某校擬在周一至周五的五天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好為連續(xù)2天的概率是 ．[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K] 7. 8． 設(shè)，，為三條不同的直線，給出如下兩個命題： ①若，，則；②若，，則． 試類比以上某個命題，寫出一個正確的命題：設(shè)，，為三個不同的平面， ▲ ． 8.若，，則 9..若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，k稱為公比和．已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，則 ． 9. 10．函數(shù)的所有零點之和為 ． 10.答案：8 方程即，令，，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于點對稱，在區(qū)間內(nèi)共有8個零點，從左往右記為，則，故所有零點和為8． 11．已知，，則的值為 ▲ ． 11.【解析】 ． 12．如果將直線：向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得直線與圓：相切，則實數(shù)的值構(gòu)成的集合為 ▲ ． 12.易得直線：，即，圓：的圓心到直線：的距離，解得或． 13．如圖，點為△的重心，且，，則的值為 ▲ ． 13.以AB的中點M為坐標原點，AB為x軸建立 平面直角坐標系，則，， 設(shè)，則， 因為OAOB，所以，從而， 化簡得，， 所以． 14．若冪函數(shù)(a)及其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性一致(同為增函數(shù)或同為減函數(shù))，則實數(shù)a的取值范圍是 ▲ ． 14．【答案】 【解析】易得，，當時，，；當時，，；當時，，；當時，， ；當時，，，綜上得，． 二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15. (本小題滿分14分) 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝，A＋3C＝π. (1) 求cosC的值； (2) 求sinB的值； (3) 若b＝3，求△ABC的面積． 15. 解：(1) 因為A＋B＋C＝π，A＋3C＝π，所以B＝2C.(2分) 又由正弦定理，得＝，＝，＝，化簡，得cosC＝.(5分) (2) 因為C∈(0，π)，所以sinC＝＝＝. 所以sinB＝sin2C＝2sinCcosC＝2××＝.(8分) (3) 因為B＝2C，所以cosB＝cos2C＝2cos2C－1＝2×－1＝－.(10分) 因為A＋B＋C＝π， 所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.(12分) 因為＝，b＝3，所以c＝. 所以△ABC的面積S＝bcsinA＝×3××＝.(14分) 16. (本小題滿分14分) 如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D、E分別為A1B1、C1C的中點．求證： (1) BC1⊥平面AB1C； (2) DE∥平面AB1C. 16. 證明：(1) ∵ 四邊形AA1C1C為矩形，∴ AC⊥C1C.(1分) 又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1， ∴ AC⊥平面CC1B1B.(3分) ∵ C1B平面CC1B1B, ∴ AC⊥C1B.(4分) 又四邊形CC1B1B為菱形，∴ B1C⊥BC1.(5分) ∵ B1C∩AC＝C，AC平面AB1C, B1C平面AB1C，∴ BC1⊥平面AB1C.(7分) (2) 取AA1的中點F，連結(jié)DF，EF. ∵ 四邊形AA1C1C為矩形，E，F(xiàn)分別為C1C，AA1的中點，∴ EF∥AC. 又EF平面AB1C，AC平面AB1C，∴ EF∥平面AB1C.(9分) ∵ D，F(xiàn)分別為邊A1B1，AA1的中點，∴ DF∥AB1. 又DF平面AB1C，AB1平面AB1C，∴ DF∥平面AB1C. ∵ EF∩DF＝F，EF平面DEF，DF平面DEF， ∴ 平面DEF∥平面AB1C.(12分) ∵ DE平面DEF, ∴ DE∥平面AB1C.(14分) 17.(本小題滿分14分) 如圖，某水域的兩直線型岸邊l1，l2 成定角120o，在該水域中位于該角角平分線上且與頂點A相距1公里的D處有一固定樁．現(xiàn)某漁民準備經(jīng)過該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC（B，C分別在l1和l2上），圍出三角形ABC養(yǎng)殖區(qū)，且AB和AC都不超過5公里．設(shè)AB＝x公里，AC＝y(tǒng)公里． （1）將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域； （2）該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)？ 試題解析：解：(1)由SΔABD＋SΔACD＝SΔABC 得xsin60o＋ysin60o＝xysin120o …………… 2分 所以x+y=xy，所以y＝ …………… 4分 又0＜y≤5，0＜x≤5，所以≤x≤5 所以定義域為{x|≤x≤5} ……………… 6分 18．（本題滿分16分） 定義：如果一個菱形的四個頂點均在一個橢圓上，那么該菱形叫做這個橢圓的內(nèi)接菱形，且該菱形的對角線的交點為這個橢圓的中心． 如圖，在平面直角坐標系中，設(shè)橢圓的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為． （1）求中菱形的最小的面積； （2）是否存在定圓與中的菱形都相切?若存在， 求出定圓的方程；若不存在，說明理由； （3）當菱形的一邊經(jīng)過橢圓的右焦點時，求這條 邊所在的直線的方程． 18.解：（1）如圖，設(shè)，， 當菱形的對角線在坐標軸上時，其面積為； 當菱形的對角線不在坐標軸上時，設(shè)直線的方程為：，① 則直線的方程為：， 又橢圓， ② 由①②得，，， 從而， 同理可得，，（3分） 所以菱形的面積為 (當且僅當時等號成立), 綜上得，菱形的最小面積為；（6分） （2）存在定圓與中菱形的都相切，設(shè)原點到菱形任一邊的距離為， 下證：， 證明：由(1)知，當菱形的對角線在坐標軸上時，， 當菱形的對角線不在坐標軸上時， ，即得， 綜上，存在定圓與中的菱形都相切；（12分） （3）設(shè)直線的方程為，即， 則點到直線的距離為， 解得， 所以直線的方程為．（16分） 19．（本題滿分16分） 設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， 其中為自然對數(shù)的底數(shù). （1）求，的表達式； （2）設(shè)，，，證明：. 解：（1）由得，， 因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， 所以， 從而，(4分) （2）當時，， 所以，.(6分) 由（1）得，，，(8分) 當時，， ， 設(shè)函數(shù)，(10分) 則，(12分) 若，，則，故為上增函數(shù)， 所以， 若，，則，故為上減函數(shù)， 所以， 綜上知，.（16分） 20. 己知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列． （1）若（n∈N*），求證：為等比數(shù)列； （2）設(shè)（n∈N*），其中是公差為2的整數(shù)項數(shù)列，，若 ，且當時，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項公式； （3）若數(shù)列使得是等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為，且數(shù)列滿足：對任意，N*,或者恒成立或者存在正常數(shù)，使恒成立，求證：數(shù)列為等差數(shù)列． （1）證明：，設(shè)公差為且，公比為， =常數(shù)， 為等比數(shù)列………3分 （2）由題意得：對恒成立且對恒成立，…5分 對恒成立 …… ……7分 對恒成立 ………… ……9分 而 或或. ………… ……10分 （3）證明：設(shè) 不妨設(shè)， ，即. ………… ……13分 若，滿足， 若，則對任給正數(shù)M，則取內(nèi)的正整數(shù)時， ，與矛盾. 若，則對任給正數(shù)T=，則取內(nèi)的正整數(shù)時=，與矛盾. ，而是等差數(shù)列，設(shè)公差為， 為定值，為等差數(shù)列. ………… ……16分 附加題答案 1.已知矩陣 （1）求； （2）滿足AX=二階矩陣X 1.解：(1) ………4分 (2) ………10分 2.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），且 曲線上的點對應(yīng)的參數(shù)，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． （1）求曲線的普通方程； （2）若是曲線上的兩點，求的值． (1) (2) 3、某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項目，根據(jù)市場分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，，；如果投資乙項目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β(α＋β＝1)． (1) 如果把10萬元投資甲項目，用X表示投資收益(收益＝回收資金－投資資金)，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)； (2) 若10萬元資金投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，求α的取值范圍． 3. 解：(1) 依題意，X的可能取值為1，0，－1，(2分) X的分布列為 X 1 0 －1 P (4分) E(X)＝1×－1×＝.(5分) (2) 設(shè)Y表示10萬元投資乙項目的收益，則Y的分布列為 Y 2 －2 P α β (8分) E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依題意要求4α－2≥，∴ ≤α≤1.(10分) 23．（本小題滿分10分） 設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)． （1）證明：； （2）結(jié)合等式“”證明： ． 證明：（1）①當時，，即證； ②假設(shè)當時，成立， 則當時， ， 故命題對時也成立， 由①②得，；（5分） （2）由（1）知，， 其實部為； ， 其實部為， 根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等，其實部也相等可得： ．（10分）