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小結,一、各種位置直線的投影特性(三大類七種位置直線),⒉ 投影面平行線（一斜兩平行）水平線、正平線、側平線 在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸。,⒊ 投影面垂直線（一點兩垂直）鉛垂線、正垂線、側垂線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應的投影軸。,⒈ 一般位置直線（三斜無實長）三個投影與各投影軸都傾斜。,,二、直線上的點,⒈ 從屬性：點的投影在直線的同名投影上。,⒉ 定比性：點分線段之比在投影中不變。 AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”,,,,三、兩直線的相對位置,⒈ 平行,⒉ 相交,⒊ 交叉,同面投影互相平行(注意投影面平行線)。,同面投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合點的投影特性。,同面投影可能相交，但“交點”不符合點的投影特性。所謂“交點”是兩直線上一對重影點的投影。,四、相互垂直的兩直線的投影特性,⒈ 兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。,⒉ 兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。,⒊ 兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影都不反映直角。,直角投影定理,即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。,1.4 平面的投影,,,一、平面的表示法,不在同一直線上的三個點,,,,,,兩平行直線,,兩相交直線*,,平面圖形,1、用幾何元素表示平面,直線及線外一點,,2.跡線表示法 空間平面與投影面的交線叫平面的跡線。 平面P與H面的交線為水平跡線PH，與V面的交線為正面跡線PV，與W面的交線為側面跡線PW。,a.一般位置平面的跡線表示法,b.特殊位置平面的跡線表示法,,實形性,類似性,積聚性,⒈ 平面對一個投影面的投影特性,二、平面的投影,平面//投影面 投影反映實形面,平面⊥投影面 投影積聚成直線,平面∠投影面 投影類似原平面,,,,⒉ 各種位置平面的投影(三類七種情況),投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面,平行于某一投影面， 垂直于另兩個投影面,與三個投影面都傾斜,,鉛垂面,投影特性： 1. abc積聚為一條線， 與OX、 OYH的夾角反映?、?角； 2 .a?b?c?、 a?b?c?為?ABC的類似形；,1） 投影面垂直面的投影,正垂面,投影特性： 1. a?b?c? 積聚為一條線，與OX、 OZ的夾角反映α、? 角； 2.abc、a?b?c?為? ABC的類似形。,側垂面,投影特性： 1、 a?b?c?積聚為一條線， 與OYW 、 OZ 的夾角反映α、β角； 2 、 abc、 a?b?c?為? ABC的類似形。,,,,,,,,a,b,c,a?,c?,b?,c?,b?,a?,,,,,,,,,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影特性：,1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,2.另兩個投影面上的投影有類似性。,是什么位置的平面？,投影特征：一斜兩類似,水平面,投影特性： 1.a?b?c?//OX、 a?b?c?//OYW，分別積聚為直線; 2 .水平投影abc反映? ABC實形。,,2） 投影面平行面的投影,正平面,投影特性： 1.abc//OX 、 a?b?c? //OZ，分別積聚為直線； 2 .正面投影a?b?c?反映? ABC實形。,,,投影特性： 1.abc//OYY、 a?b?c? //OZ，分別積聚為直線； 2.側平面投影a?b?c? 反映? ABC實形。,側平面,,積聚性,積聚性,實形性,水平面,投影特性：,1.在它所平行的投影面上的投影反映實形。,2.另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。,投影特征：兩線一實形,一般位置平面,投影特性 1. abc 、 a?b?c? 、 a?b?c? 均為? ABC的類似形； 2.不反映?、?、? 的真實角度。,3） 一般位置平面的投影（三類似）,,例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過直線AB的正垂面P；過點C的正平面Q；過直線DE的水平面R。,,,,,,a’,b’,a,b,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,投影面平行面:兩線一實形 投影面垂直面:一斜兩類似,,⒈平面上取任意直線,三、平面上的直線和點,,,,,,,,,a,b,c,b?,c?,a?,,,d?,,n?,,m?,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。,解法一,解法二,根據(jù)定理二,根據(jù)定理一,有無數(shù)解。,例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,,n?,m?,n,m,,,,,唯一解！,⒉ 平面上取點,若點在平面內的任一直線上，則此點一定在該平面上。,即：點在線上，則點在面上。,先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。,例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。,,面上取點的方法：,首先面上取線,,,利用平面的積聚性求解,通過在面內作輔助線(細實線)求解,例2 已知?ABC給定一平面,試判斷點D是否屬于該平面。,,,,e,e?,點D不屬于平面ABC,,,,e,e?,點D屬于平面ABC,例3：作出三角形ABC平面內三角形DEF的水平投影。,,,,,d,e,求線先找兩已知點， 求點先找已知線。,,,,a’,a,b’,c’,c,b,,,,,f,e’,f’,d’,,,,1’,2’,1,2,,,,,,k?,,,,b,,,,例4：AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,找點B先求線DB，求線DB先找點K。,利用平行四邊形對邊平行,例5：判斷點K是否在平面上（另判斷四點是否在同一平面*）,,,,點在面上,,,,點不在面上(*),點不在面上,,例6：已知平面ABCD的邊BC//H面，完成其正面投影。,,,,,,,,,b’,c’,,,1,1’,,,,,,,,,a’,d’,a,b,c,d,BC為水平線b’c’//OX,分析：根據(jù)a’d’想辦法求b’c’,,,a?,b?,,c?,b,a,c,,,例7 已知?ABC 給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面 的水平線。,,,,m?,,,,n?,n,m,正平線上的點Y坐標相同，水平線上的點Z坐標相同，交點K是既滿足Y坐標又滿足Z坐標的點。,k?,k,,,,,,,,k’,1,2,1’,k,例8：在△ABC內確定K點，使K點距H面為18mm，距V面為15mm.,分別畫出： 1.距H面18mm的水平線（Z相同=18）。 2.距V面15mm的正平線（Y相同=15）。 3.兩條線的交點滿足K點的條件。,2’,例9：在平面ABC上取一點K，使點K在點A之下15mm（△Z）、在點A之前20mm處（△Y）。（思考題）,K在點A之下15mm的水平線上,K在點A之前20mm的正平線上,四、 圓的投影,圓的投影特性：,1、圓平面在所平行投影面上的投影反映實形；(實形性),2、圓平面在所垂直的投影面上的投影是直線，其長度等于圓的直徑φ；(積聚性),3、圓平面在所傾斜的投影面上的投影是橢圓。其長軸是圓的平行于這個投影面的直徑AB的投影（ab）；短軸是與上述直徑垂直的直徑DE的投影(de)。(類似性)本節(jié)到此,橢圓的近似畫法(四心法)：,,,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,,,,,,,,,橢圓的畫法,一節(jié)到此,1.CF=CE=OA-OC,O,2.作AF的中垂線,與兩軸交得1.2兩點，取對稱點3.4。,3.分別以1.2.3.4點為圓心，1A.3B.2C.4D為半徑作弧，拼成近似橢圓。,四、相互垂直的兩直線的投影特性,⒈ 兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。,⒉ 兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。,⒊ 兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影不一定反映直角。,直角投影定理,即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。,小結,一、各種位置平面的投影特性,⒈ 一般位置平面（三類似）,⒉ 投影面垂直面（一斜兩類似）,⒊ 投影面平行面（兩線一實形）,三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。,在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。 另外兩個投影為類似多邊形。,在其平行的投影面上的投影反映實形。 另外兩個投影積聚為直線。,二、平面上的點與直線(P27-30),1.5 直線與平面及兩平面的相對位置,相對位置包括平行、相交（垂直）。,一、平行問題,直線與平面平行,平面與平面平行,⒈ 直線與平面平行,即：將線面// ，轉化為線線//,,⒈ 直線與平面平行,1. 當直線與特殊位置平面相平行時，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影，如圖。,,,,,,,,,2.當直線與平面都為特殊情況且平行時，直線與平面的積聚性投影在同面投影上。,特殊情況：,例1：過A點作平面平行于線段BC。,作圖：ad//bc， a′d′//b′c′ 故，BC//平面DAF,分析：線線//，則線面//；過A點做直線AD//BC。,可過A點任意作直線AF,n?,,,,,,,,,,,,●,●,a?,c?,b?,m?,a,b,c,m,n,有無數(shù)解,,,,,分析:過M點作一條//平面內的任意直線的直線,即得.,例2：過M點作直線MN平行于平面ABC。,,,,,,,正平線,,c?,,,,,,,,,,,●,●,b?,a?,m?,a,b,c,m,唯一解,,,分析:在平面ABC內作一條正平線,MN//此正平線,即得.,例3：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。,① 若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。,② 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,,2. 兩平面平行,平行,舉例,例 判斷下列兩平面是否平行,不平行,⒈ 直線與平面相交(實物),直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點，且交點是直線與平面可見與不可見的分界點。,要討論的問題：,● 求直線與平面的交點。,,● 判別兩者之間的相互遮擋的可見性。,我們只討論直線與平面中至少有一個元素處于特殊位置的情況（直線特殊或者平面特殊）。,二、相交問題(重點與難點),（1）.直線與平面相交（平面為特殊位置）,a,b,c,m,n,c?,n?,b?,a?,m?,,,,1.空間及投影分析,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。,① 求交點,② 判別可見性（V面）,由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上k?n?為可見。再根據(jù):交點是可見與不可見的分界點，求得k ? m ? 上一段不可見。,,還可通過重影點判別可見性。,1?(2?),2.作圖,,●,例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性,（2） 直線為特殊位置,,k,m(n),,,b,,,,●,,,,,,,,,,,,m?,n?,c?,b?,a?,a,c,,,⑵ 直線為特殊位置,1.空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。,① 求交點,② 判別可見性（V面）用重影點判斷,點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k? 2?為不可見。,1?(2?),,●,2.作圖,用面上取點法,⒉兩平面相交(實物),兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點，交線是兩平面可見與不可見的分界線。,要討論的問題：,① 求兩平面的交線,方法： ⑴ 確定兩平面的兩個共有點。 ⑵ 確定一個共有點及交線的方向。,只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況（即兩種情況：一個平面處于特殊，兩個平面都處于特殊）。,② 判別兩平面之間的相互遮擋的可見性。,（1）兩平面都為特殊平面(書),可通過正面投影直觀地進行判別。,a,b,c,d,e,f,c?,f?,d?,b?,e?,a?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m?(n?),,1.空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線。,① 求交線,② 判別可見性（H面）,2.作圖,從正面投影上可看出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可見。,●,例1：求兩平面的交線MN，并判別可見性。,⑴,,,,,,,,,,,,,（2）. 其中一平面為特殊平面,,,,F,B,A,C,E,H,a,b,c,M,N,m,n,P,,,,b?,c?,f?,h?,a?,e?,a,b,c,e,f,h,,,,1.空間及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a?b?與e?f?h’的交點m? 、 b? c?與e’f?h?的交點n?,即為兩平面的兩個共有點的正面投影，故m?n?是MN的正面投影。,① 求交線,② 判別可見性(H面),m?n?b’在e’f’h’上面，故水平投影mnb可見，其他可見性可根據(jù)投影特點得出。,,2.作圖,（2）. 其中一平面為特殊平面（求交線MN）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,c?,d?,e?,f?,a?,b?,,a,b,c,d,e,f,,,,,,⑶,投影分析,N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內，但不位于ΔDEF這個圖形內。 所以ΔABC和ΔDEF的交線應為MK。,,,,,,,互交,三、垂直問題,1.直線與平面,與鉛垂面垂直的直線為水平線,H面; 與正垂面垂直的直線是正平線,V面.,與鉛垂線垂直的平面是水平面, V;與正垂線垂直的平面是正平面, H.,1）平面特殊 ⊥投影面垂直面的直線是投影面平行線，并在平面積聚性投影上反映直角；即,2）直線特殊 ⊥投影面垂直線的平面是投影面平行面，并在平面積聚性投影上反映直角；即,作點A到平面CDEF的距離？（EFD呢？）,,,2.平面與平面垂直,只介紹兩個投影面垂直面相垂直： 它們的交線為投影面的垂直線，且在積聚性的投影反映直角;,下面舉例,,,垂直,垂直,,不垂直,,,,,e d,,,,(e’),,,,,1″,1,,,,舉例,此點是AB和MN的重影點,,例 求直線與平面的交點,并判別可見性.,,V,W,,,,,,,,本節(jié)到此,,,,,,小結：直線與平面及兩平面的相對位置,⒈ 直線與平面平行 直線平行于平面內的一條直線。當直線與特殊位置平面相平行時，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影。,⒉ 兩平面平行 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,一、平行問題（P38）,二、相交問題,⒈ 求直線與平面,⑴ 平面特殊，利用交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可投在直線的另一個投影上；可見性直接判斷。(P47),⑵ 直線特殊，利用交點的一個投影與直線的積聚性投影重合，另一個投影可利用平面上取點的方法求解；可見性用重影點判斷。(P49),⒉ 兩平面相交,⑵ 一平面特殊，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共有點，求出交線；可見性可直接判斷。(P54),⑴ 兩平面特殊，交線為投影面的垂直線，可見性可直接判斷(P52)。,三、垂直問題,1）.直線與投影面垂直面：與鉛垂面相垂直的直線是水平線，與正垂面相垂直的是正平線，并在平面積聚的投影面上反映直角。,1. 直線與平面垂直,2）.投影面垂直線與平面：與鉛垂線垂直的是水平面，與正垂線垂直的是正平面，并在平面積聚的投影面上反映直角。,垂直 不垂直,2.兩平面垂直,1）兩個投影面垂直面相垂直：它們的交線為投影面的垂直線，且在兩積聚性的投影反映直角。,完,1′,,,,1″,1,,,,舉例,此點是CD和MN的重影點,,,,舉例,一、各種位置平面的投影特性,⒈ 一般位置平面（三類似）,⒉ 投影面垂直面（一斜兩類似）,⒊ 投影面平行面（兩線一實形）,三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。,在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。 另外兩個投影類似。,在其平行的投影面上的投影反映實形。 另外兩個投影積聚為直線。,小 結,二、平面上的點與直線(P27-30),,直線與特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交點可直接求出。,,判斷直線的可見性,特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。,,,,一般位置平面與特殊位置平面相交,求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。,,,,判斷平面的可見性,