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2019-2020年高三數(shù)學第一次（12月）診斷聯(lián)考試題 文（含解析） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．設集合，集合，則（ ） A． B． C． D． 2．i是虛數(shù)單位，=（ ） A.1+2i B.﹣1﹣2i C.1﹣2i D.﹣1+2i 3．等差數(shù)列中，，，則的值為（ ） A．14 B．18 C． 21 D．27 4．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點（ ） A. 向左平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度 C. 向左平移1個單位長度 D. 向右平移1個單位長度 5．一個幾何體的三視圖是一個正方形，一個矩形，一個半圓，尺寸大小如圖所示，則該幾何體的表面積是（ ） A. B. C. D. 6．設、是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ） A．∥，∥且∥，則∥ B．⊥，⊥且⊥，則⊥ C．⊥，n，⊥．則⊥ D．，，∥，∥，則∥ 7．已知是內的一點，且，，若，，的面積分別為，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 8．函數(shù)的大致圖像是（ ） 9．口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黒球，從中摸出個球，摸出紅球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是（ ） A. B. C. D. 10．某程序框圖如圖所示，則輸出的n值是( ) A．21 B．22 C．23 D．24 11．已知二次曲線=1，則當時，該曲線的離心率的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 12．給出定義：若（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即 在此基礎上給出下列關于函數(shù)的四個命題： ①；②；③；④的定義域是R，值域是. 則其中真命題的序號是 （ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 第II卷（非選擇題共90分） 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置. 13．已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 _______ _____． 14．過拋物線的焦點作一條直線交拋物線于兩點，若線段的中點的橫坐標為，則等于 . 15．設為單位向量，①若為平面內的某個向量，則＝||·；②若與平行，則＝||·；③若與平行且||＝1，則＝.上述命題中，假命題個數(shù)是________． 16．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為________． 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（本大題12分） 已知數(shù)列與，若且對任意正整數(shù)滿足 數(shù)列的前項和． （I）求數(shù)列的通項公式； （II）求數(shù)列的前項和 18．（本大題12分） 在長方體中，，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為． （I）求棱的長； （II）若的中點為，求異面直線與所成角的余弦值. 19．（本大題12分） 某小組共有、、、、五位同學，他們的身高（單位:米）以及體重指 標（單位：千克/米2）如下表所示： 身高 體重指標 （I）從該小組身高低于的同學中任選人，求選到的人身高都在以下的概率； （II）從該小組同學中任選人，求選到的人的身高都在以上且體重指標都在中的概率． 20．（本大題12分） 已知橢圓：，離心率為，焦點過的直線交橢圓于兩點，且△的周長為4. (I) 求橢圓方程; (II) 與y軸不重合的直線與y軸交于點P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點A,B且.若,求m的取值范圍。 21．（本大題12分） 已知函數(shù)，曲線經過點， 且在點處的切線為. （I）求、的值； （II）若存在實數(shù)，使得時，恒成立，求的取值范圍. 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑. 22．（本小題滿分10分） 如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的點，CA是∠BAF的角平分線，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于D點，CM⊥AB，垂足為點M. （I）求證：DC是⊙O的切線； （II）求證：AM·MB=DF·DA. 23. （本小題滿分10分）選修4-4參數(shù)方程和極坐標 極坐標系與直角坐標系有相同的長度單位，以原點為極點，以軸正半軸為極軸.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為. （I）求的直角坐標方程； （II）設直線與曲線交于兩點，求弦長. 24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù) （I）若，解不等式； （II）如果，求的取值范圍． 張掖市xx年度高三第一次診斷考試 數(shù)學（文科）答案 1． 【解析】 試題分析：方程解得，則，，. 考點：集合的運算. 2．D 【解析】 試題分析：復數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，化簡即可． 解：， 故選D． 3．A． 【解析】 試題分析：∵等差數(shù)列，，，∴，∴， ，∴． 考點：等差數(shù)列的通項公式． 4．A 【解析】 試題分析：，所以應該向左平移個單位長度，選A. 考點：函數(shù)圖象的變換. 5．B 【解析】 試題分析：由三視圖可知：原幾何體為圓柱的一半，（沿中軸線切開）由題意可知，圓柱的高為2，底面圓的半徑為1，故其表面積為故選：B. 考點：由三視圖求面積、體積． 6．B 【解析】 試題分析：對于，直線可能平行、相交、異面，不對；對于，由面面垂直性質得正確；對于沒有內，不對；對于，沒有說明是兩條相交直線，不對，故答案為B. 考點：空間中直線與直線、平面與平面的位置關系. 7．B 解： ， =，當且僅當時等號成立取最值 考點：向量數(shù)量積及均值不等式 8．B 解析：因為，所以函數(shù)在上單調遞增，故可排除C選項；又因為時，，故可排除A選項；當時，，故此時函數(shù)的圖像在直線的上方，故D錯誤，B正確． 考點：函數(shù)的圖像． 9． C 解析： 10. C 【解析】 試題分析：程序在執(zhí)行過程中的值依次為：；；；，程序結束，輸出． 考點：程序框圖． 11．C 【解析】 試題分析：由題意可知：二次曲線為雙曲線，且，所以，因為，所以，所以選C． 考點：雙曲線性質的應用． 12．B 解析：因為故命題1正確 二、填空題 13． 14． 解析：設，又拋物線的準線方程為，焦點，則根據(jù)拋物線的定義可知,所以. 考點：1.拋物線的定義；2.直線與拋物線的位置關系. 15．3 解析:向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②、③也是假命題，填3 16．. 解析：函數(shù)與的圖象，如圖： 由圖可以看出，函數(shù)的零點有個. 考點：分段函數(shù)，函數(shù)的零點，函數(shù)的圖象. 三、解答題 17．1．（1），；（2） 【解析】 試題分析：（1）給出與的關系，求，常用思路：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與的關系，再求；（2）觀測數(shù)列的特點形式，看使用什么方法求和．使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源和目的．（3）在做題時注意觀察式子特點選擇有關公式和性質進行化簡，這樣給做題帶來方便，掌握常見求和方法，如分組轉化求和，裂項法，錯位相減． 試題解析：解：（1）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列 又因為 所以 當時，； 當時， 對不成立 所以，數(shù)列的通項公式: （2）時， 時， 所以 仍然適合上式 綜上， 考點：1、求數(shù)列的通項公式；2、裂項法求數(shù)列的和． 18．（1）3（2） 【解析】本題主要考查了點，線和面間的距離計算．解題的關鍵是利用了法向量的方法求點到面的距離。 （1）因為）設，由題設，可知棱長。 （2）因為在長方體中//， 所以即為異面直線與所成的角（或其補角） 那么借助于三角形求解得到結論。 解：（1）設，由題設， 得，即，解得． 故的長為． ……………………………6分 （2）因為在長方體中//， 所以即為異面直線與所成的角（或其補角）．…………………………8分 在△中，計算可得，則的余弦值為?！?2分 19．3．（1）選到的人身高都在以下的概率為； （2）選到的人的身高都在以上且體重指標都在中的概率為. 【解析】試題分析：（1）先確定身高低于的只有、、、四人，然后利用列舉法將所有可能的基本事件以及問題中事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型的概率計算公式來計算出問題中事件的概率；（2）先將身高都在以上且體重指標都在的同學為、、三人，然后利用列舉法將所有可能的基本事件以及問題中事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型的概率計算公式來計算出問題中事件的概率； 試題解析：（1）從身高低于1．80的同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個． 由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 4分 選到的2人身高都在1．78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個． 因此選到的2人身高都在1．78以下的概率為． 6分 （2）從該小組同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)， (A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10個． 由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 10分 選到的2人身高都在1．70以上且體重指標都在[18．5，23．9)中的事件有： (C，D)，(C，E)，(D，E)，共3個． 因此選到的2人的身高都在1．70以上且體重指標都在[18．5，23．9)中的概率為． 12分 考點：1.列舉法；2.古典概型 20．(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】 試題分析：（1）設C：（A＞b＞0），由條件知A-C=,由此能導出C的方程．(Ⅱ)由題意可知λ=3或O點與P點重合．當O點與P點重合時，m=0．當λ=3時，直線l與y軸相交，設l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2），得再由根的判別式和韋達定理進行求解． 試題解析：（1）設C：（＞b＞0），設C＞0，，由條件知4=4，，∴a=1，b=C=,故C的方程為：; 4分 (Ⅱ)設：y=kx+m與橢圓C的交點為A(，)，B(，)。將y=kx+m代入 得,所以①, ...............................6分 因為，，所以, 所以, ........................... 8分 消去得,所以,....9分 即,當時, ...10分 所以,由①得,解得 12分 考點：1、直線與圓錐曲線的綜合問題；2、向量在幾何中的應用． 21．（1），；（2）. 【解析】 試題分析：（1）利用條件“曲線經過點，且在點處的切線為”得到 以及，從而列出方程組求解、的值；（2）利用參數(shù)分離法將問題等價轉化為 在區(qū)間上恒成立，并構造新函數(shù)，轉化為， 利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間的最大值，從而可以求出實數(shù)的取值范圍. （1）， 依題意，，即，解得； （2）由，得：， 時， 即恒成立，當且僅當， 設，，， 由得（舍去），， 當，；當，， 在區(qū)間 上的最大值為， 所以常數(shù)的取值范圍為. 考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.不等式恒成立 22．解析：選修4—1：幾何證明選講 解：（I）連結OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分線， ∴∠OAC=∠FAC， ∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.………………3分 ∵CD⊥AF， ∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切線.…………5分 （Ⅱ）連結BC，在Rt△ACB中， CM⊥AB，∴CM2=AM·MB. 又∵DC是⊙O的切線，∴DC2=DF·DA. 易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM， ∴AM·MB=DF·DA…………10分 23選修4-4：參數(shù)方程和極坐標。 (Ⅰ) ；（Ⅱ）. 【解析】本題考查坐標系和參數(shù)方程.考查學生的轉化能力和計算能力.第一問利用互化公式將極坐標方程轉化為普通方程；第二問，先將直線方程代入曲線中，整理，利用兩根之和、兩根之積求弦長. 試題解析：（Ⅰ）由，得，即曲線的直角坐標方程為． 5分 （Ⅱ）將直線l的方程代入，并整理得，，，．所以． 10分 考點：1.極坐標方程與普通方程的互化；2.韋達定理. 24．解：（Ⅰ）當時， 由得 當時，不等式可化為，其解集為 當時，不等式化為，不可能成立，其解集為； 當時，不等式化為，其解集為 綜上所述，的解集為 （5分） （Ⅱ），∴要成立， 則，， 即的取值范圍是。 （10分）