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2019-2020年高中數(shù)學 模塊測試卷過關測試 新人教A版必修2 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的） 1.已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為( ) A．1 B. C. D. 2.α，β表示兩個不同的平面，l表示既不在α內(nèi)也不在β內(nèi)的直線，存在以下三種情況：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中兩個為條件，另一個為結論，構成命題，則其中正確命題的個數(shù)為( ) A．0 B．1 C．2 D．3 圖1 圖2 3. 如圖1，在△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝1.5，∠ABC＝120°，若△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的幾何體的體積是 ( ) A．π B. π C. π D. π 4. 已知直線PQ的斜率為－，將直線繞點P順時針旋轉60°所得的直線的斜率是( ) A．0 B． C． D．－ 5. 如 圖 2，平 面α⊥平 面β，α∩β＝直 線l，A，C 是α 內(nèi) 不 同 的 兩 點，B，D是 β 內(nèi) 不 同 的 兩 點，且A，B，C，D 直 線l，M，N分 別 是 線 段AB，CD 的 中 點．下 列 判 斷 正 確 的 是 ( ) A．當|CD|＝2|AB|時，M，N兩點不可能重合 B．M，N兩點可能重合，但此時直線AC與l不可能相交 C．當AB與CD相交，直線AC平行于l時，直線BD可以與l相交 D．當AB，CD是異面直線時，直線MN可能與l平行 6. 從一個正方體中截去部分幾何體，得到一個以原正方體的部分頂點為頂點的凸多面體，其三視圖如圖3，則該幾何體的體積為( ) A．5 B．6 C．9 D．10 圖3 7. 已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點A(3，2)，B(a，－1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b等于( ) A．－4 B．－2 C．0 D．2 8. 在空間直角坐標系中，O為坐標原點，設A(，，)，B(，，0)，C(，，)，則( ) A．OA⊥AB B．AB⊥AC C．AC⊥BC D．OB⊥OC 9. 由直線y＝x＋2上的點P向圓C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切線PT(T為切點)，當|PT|的值最小時，點P的坐標是( ) A．(－1，1) B．(0，2) C．(－2，0) D．(1，3) 10. 已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直線l：x－y＋3＝0.當直線l被C截得的弦長為2時，a等于( ) A. B．2－ C. －1 D. ＋1 11.設P(x，y)是圓C：x2＋(y＋4)2＝4上任意一點，則的最小值為( ) A. ＋2 B. －2 C．5 D．6 12. 已知兩點A(0，－3)，B(4，0)，若點P是圓x2＋y2－2y＝0上的動點，則△ABP的面積的最小值為( ) A．6 B. C．8 D. 二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分） 13. 如圖4，在長方形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(端點除外)上一動點．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足．設|AK|＝t，則t的取值范圍是_____． 圖4 14. 過原點O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設切點分別為P、Q，則線段PQ的長為_____． 15. 若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上有且只有兩個點到直線x－y－2=0的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍是______． 16. 給出下列關于互不相同的直線m，l，n和平面α，β的四個命題： ①若mα，l∩α＝A，點Am，則l與m不共面； ②若m、l是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α； ③若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m； ④若lα，mα，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β. 其中為真命題的是______(填序號)． 三、解答題（17~20題每題12分，其余每題13分，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17. 已知△ABC的三個頂點A(4，－6)，B(－4，0)，C(－1，4)，求: (1)AC邊上的高BD所在直線的方程； (2)BC邊的垂直平分線EF的方程； (3)AB邊的中線的方程． 18. 已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程； (2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標． 19. 如圖5，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O. (1)若AC⊥PD，求證：AC⊥平面PBD； (2)若平面PAC⊥平面ABCD，求證：|PB|＝|PD|. 圖5 20. 已知圓P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.求在滿足條件①②的所有圓中，使代數(shù)式a2－b2－2b＋4取得最小值時的圓的方程． 21. 如圖6所示，正三棱柱A1B1C1－ABC中，點D是BC的中點，|BC|＝|BB1|，設B1D∩BC1＝F.求證： (1)A1C∥平面AB1D； (2)BC1⊥平面AB1D. 圖6 22. 如圖7所示，已知直線l：y＝x，圓C1的圓心為點(3，0)，且經(jīng)過點A(4，1)． (1)求圓C1的方程； (2)若圓C2與圓C1關于直線l對稱，點B、D分別為圓C1、C2上任意一點，求|BD|的最小值； (3)已知直線l上一點M在第一象限，點P、Q同時從原點出發(fā)，點P以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動，點Q以每秒2個單位的速度沿射線OM方向運動，設運動時間為t秒．問：當t為何值時，直線PQ與圓C1相切？ 圖7 參考答案及點撥 一、1. C 點撥:由平行直線間的距離公式，得所求距離d＝，故選C. 2. C 點撥:由①②③，①③②是正確命題，由②③不能得到①.故選C. 答圖1 3. D 點撥:如答圖1所示，旋轉后形成的組合體是圓錐CD中挖去一個小圓錐BD，所求體積即為兩者體積之差，即V＝π·|AD|2·(|CD|－|BD|)＝π×1.5＝π. 4. C 點撥:由＝－得直線PQ的傾斜角為120°，將直線PQ繞點P順時針旋轉 60°所得直線的傾斜角為60°，∴所得直線的斜率k＝tan 60°＝. 5. B 點撥:若M，N兩點重合，由|AM|＝|MB|，|CM|＝|MD|知AC∥BD，從而AC∥平面β，故有AC∥l，故B正確． 6. C 點撥:由三視圖知，該幾何體為棱錐A－BCDE，如答圖2，∴V＝27－×3×＝9，∴選C. 答圖2 7. B 點撥:由題意，知直線l的斜率為－1，則l1的斜率為1，即kAB＝＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1，∴b＝－2，∴a＋b＝－2. 8. C 點撥:易得｜AB｜＝，｜AC｜＝，｜BC｜＝，因為｜AC｜2＋｜BC｜2＝ ｜AB｜2，所以AC⊥BC. 9. B 點撥:根據(jù)切線長、圓的半徑和圓心到點P的距離的關系，可知｜PT｜＝，故當｜PT｜的值最小時，｜PC｜的值最小，此時PC垂直于直線y＝x＋2，則直線PC的方程為y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋2，由可得點P的坐標為(0，2)． 10. C 點撥:由題意知圓心為(a，2)，到直線l的距離應等于1，即＝1，∴a＝－1±.∵a＞0，∴a＝－1. 11. B 點撥:如答圖3所示，設A(1，1)，則＝｜PA｜，則｜PA｜的最小值為｜AC｜－|PC|＝－2. 答圖3 答圖4 12. B 點撥:如答圖4，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點P，這時△ABP的面積最小．直線AB的方程為＝1，即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離d＝， ∴△ABP的面積的最小值為×5×. 二、13. 點撥:如答圖5，過D作DG⊥AF，垂足為G，連接GK， ∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC， ∴DK⊥AF.∵DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG， ∴AF⊥GK.容易得到，當F接近E點時，K接近AB的中點，當F接近C點時，K接近AB的四等分點．∴t的取值范圍是. 答圖5 14. 4 點撥:如答圖6，圓的方程可化為(x－3) 2＋(y－4)2＝5，∴｜OM｜＝5，｜OQ｜＝.在△OQM中，｜QA｜·｜OM｜＝｜OQ｜·｜QM｜，∴｜QA｜＝＝2，∴｜PQ｜＝4. 答圖6 15.( －1，＋1) 點撥:注意到與直線x－y－2＝0平行且與它的距離為1的直線方程分別是x－y＋－2＝0，x－y－2－＝0，要使圓上有且只有兩個點到直線x－y－2＝0的距離為1，需滿足在兩條直線x－y＋－2＝0，x－y－2－＝0中，一條與該圓相交且另一條與該圓相離，所以＜r＜，即－1＜r＜＋1. 16. ①②④ 點撥:③中l(wèi)∥m或l，m異面，所以③錯誤，其他正確． 三、17. 解：(1)直線AC的斜率＝＝－2， ∴直線BD的斜率＝， ∴直線BD的方程為y＝ (x＋4)，即x－2y＋4＝0. (2)直線BC的斜率kBC＝， ∴直線EF的斜率kEF＝－， 根據(jù)題意，得線段BC的中點坐標為， ∴直線EF的方程為y－2＝－， 即6x＋8y－1＝0. (3)根據(jù)題意，得線段AB的中點M(0，－3)， ∴直線CM的方程為， ∴AB邊的中線的方程為7x＋y＋3＝0(－1≤x≤0)． 18.解：(1)將圓C的方程配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2. ①當所求直線在兩坐標軸上的截距為零時，設所求直線的方程為y＝，由直線與圓相切得，解得k=2±，所以切線方程為y＝(2±)x. ②當所求直線在兩坐標軸上的截距不為零時，設所求直線的方程為x＋y－a＝0，由直線與圓相切得：，解得a=－1或a=3，所以切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.綜上，切線方程為y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2)由｜PO｜＝｜PM｜，得： ＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－22x1－4y1＋3＝0.即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上， 當｜PM｜取得最小值時，｜OP｜取得最小值，此時直線OP⊥l. ∴直線OP的方程為：2x＋y＝0. 解方程組 得P點坐標為. 19. 證明：(1) 因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因為AC⊥PD，PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PBD.(2)由(1)知AC⊥BD.因為平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.因為PO平面PAC，所以BD⊥PO.因為底面ABCD是菱形，所以|BO|＝|DO|，所以|PB|＝|PD|. 答圖7 20. 解：如答圖7所示，圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為｜b｜， ｜a｜.設圓P交x軸于A、B兩點，連接PA，PB， ∵圓P被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1，∴∠APB＝90°. 取AB的中點D，連接PD， 則有｜PB｜＝｜PD｜，∴r＝｜b｜. 取圓P截y軸的弦的中點C，連接PC，PE. ∵圓截y軸所得弦長為2， ∴｜EC｜＝1，∴1＋a2＝r2， 即1+a2=2b2，∴a2=2b2－1， ∴a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2. ∴當b＝1時，a2－b2－2b＋4取得最小值2， 此時a＝1或a＝－1，r2＝2. ∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y－1)2＝2. ∴使代數(shù)式a2－b2－2b＋4取得最小值時的圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y－1)2＝2. 答圖8 21. 證明:(1)如答圖8，連接A1B，設A1B與AB1交于E，則E為A1B的中點，連接DE. ∵點D是BC的中點，點E是A1B的中點， ∴DE∥A1C，∵ A1C平面AB1D， DE平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. (2)∵△ABC是正三角形，點D是BC的中點，∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1BCC1， 平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD平面ABC，∴AD⊥平面B1BCC1，∵BC1平面B1BCC1，∴AD⊥BC1. ∵點D是BC的中點，|BC|＝|BB1|，∴|BD|＝|BB1|. ∵＝＝，∠B1BD=∠BCC1=90°，∴△B1BD∽△BCC1. ∴∠BDB1＝∠BC1C. ∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°. ∴BC1⊥.∵B1D∩AD＝D， ∴BC1⊥平面AB1D. 22. 解：(1)依題意，設圓C1的方程為(x－3)2＋y2＝r2，因為圓C1經(jīng)過點A(4，1)，所以r2＝(4－3)2＋12＝2. 所以圓C1的方程為(x－3)2＋y2＝2. (2)由(1)知圓C1的圓心坐標為(3，0)，半徑為， C1到直線l的距離d＝， 所以圓C1上的點到直線l的最短距離為. 因為圓C2與圓C1關于直線l對稱，所以｜BD｜min＝2×＝. (3)當運動時間為t秒時，｜OP｜＝t，｜OQ｜＝2t，則P(t，0)，由Q∈l，可設點Q的坐標為(m，m)(m＞0)，則m2＋m2＝(2t)2，解得m＝2t，即Q(2t，2t)，所以kPQ＝＝2.所以直線PQ的方程為y＝2(x－t)，即2x－y－2t＝0. 若直線PQ與圓C1相切，則C1到直線PQ的距離d′＝＝， 解得t＝3±.即當t＝3±時，直線PQ與圓C1相切．