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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 第23課時 平面向量應用舉例課時作業(yè)（含解析）新人教A版必修4 1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，則BC邊的中線AD的長是(　　) A．2　　B. C．3 D. 解析：BC中點為D，＝， ∴||＝，故選B. 答案：B 2．兩個大小相等的共點力F1，F(xiàn)2，當它們夾角為90°時，合力大小為20 N，則當它們的夾角為120°時，合力大小為(　　) A．40 N B．10 N C．20 N D．10 N 解析：|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10，當θ＝120°，由平行四邊形法則知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N，故選B. 答案：B 3．共點力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)作用在物體M上，產生位移s＝(2lg5,1)，則共點力對物體做的功W為(　　) A．lg2 B．lg5 C．1 D．2 解析：∵F1＋F2＝(1,2lg2)，∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故選D. 答案：D 4．已知點G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若∠A＝120°，·＝－2，則||的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質可得，＝＝(＋) ∵∠A＝120°，·＝－2，則根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得， ·＝||||cos120°＝－2 設||＝x，||＝y(tǒng) ∴||||＝4即xy＝4. ||＝|＋|＝＝＝ x2＋y2≥2xy＝8(當且僅當x＝y(tǒng)時取等號) ∴||≥即||的最小值為. 故選C. 答案：C 5．已知作用在點A的三個力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，則合力f＝f1＋f2＋f3的終點坐標為(　　) A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9) 解析：f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，設合力f的終點為P(x，y)，則＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)，故選A. 答案：A 6．在△ABC中，·＝7，|－|＝6，則△ABC面積的最大值為(　　) A．24 B．16 C．12 D．8 解析：設A、B、C所對邊分別為a，b，c， 由·＝7，|－|＝6，得bccosA＝7，a＝6①， S△ABC＝bcsinA＝bc＝bc＝， 由余弦定理可得b2＋c2－2bccosA＝36②， 由①②消掉cosA得b2＋c2＝50，所以b2＋c2≥2bc， 所以bc≤25，當且僅當b＝c＝5時取等號， 所以S△ABC＝≤12， 故△ABC的面積的最大值為12. 故選C. 答案：C 7.若O是△ABC所在平面內一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 解析：∵|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|， ∴|－|＝|＋|，∴四邊形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故選B. 答案：B 8．一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距5海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西30°方向上，另一燈塔在南偏西60°方向上，則該船的速度是________海里/小時． 解析：根據(jù)題意得：AB＝5海里，∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，DC⊥AC， ∴∠DBC＝60°，∠BDA＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝5海里， ∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝5×＝， ∵從C到D行駛了半小時，∴速度為÷＝10海里/小時． 故答案為15. 答案：15 9．設平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，則△ABC的形狀一定是__________． 解析：∵(＋－2)·(－) ＝[(－)＋(－)]·(－) ＝(＋)·(－)＝2－2 ＝||2－||2＝0， ∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形． 答案：等腰三角形 10．已知向量a＝(2,0)，b＝(1,4)． (1)求|a＋b|的值； (2)若向量ka＋b與a＋2b平行，求k的值； (3)若向量ka＋b與a＋2b的夾角為銳角，求k的取值范圍． 解析：(1)依題意得a＋b＝(3,4)，∴|a＋b|＝＝5. (2)依題意得ka＋b＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(4,8)， ∵向量ka＋b與a＋2b平行 ∴8×(2k＋1)－4×4＝0，解得k＝. (3)由(2)得ka＋b＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(4,8) ∵向量ka＋b與a＋2b的夾角為銳角， ∴4×(2k＋1)＋4×8>0，且8×(2k＋1)≠4×4 ∴k>－且k≠. B組　能力提升 11.已知非零向量與滿足·＝0且·＝，則△ABC的形狀是(　　) A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等邊)三角形 D．等邊三角形 解析：由·＝0，得角A的平分線垂直于BC.∴AB＝AC，而·＝cos〈，〉＝，又〈，〉∈[0°，180°]， ∴∠BAC＝60°，故△ABC為正三角形，故選D. 答案：D 12.已知點O，N，P在△ABC所在平面內，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，則點O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內心 解析：如圖，∵＋＋＝0，∴＋＝－.依向量加法的平行四邊形法則，知||＝2||，故點N為△ABC的重心． ∵·＝·， ∴(－)·＝·＝0. 同理·＝0，·＝0， ∴點P為△ABC的垂心． 由||＝||＝||，知點O為△ABC的外心，故選C. 答案：C 13.質點P在平面上作勻速直線運動，速度向量v＝(4，－3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位)．設開始時點P的坐標為(－10,10)，則5秒后點P的坐標為(　　) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 解析：設(－10,10)為A，設5秒后P點的坐標為A1(x，y)，則＝(x＋10，y－10)，由題意有＝5v.即(x＋10，y－10)＝(20，－15)??故選C. 答案：C 14.如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到重力為G.兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為θ. (1)求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關系式，用數(shù)學觀點分析F1的大小與夾角θ的關系； (2)求F1的最小值； (3)如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求θ的取值范圍． 解析：(1)由力的平衡得F1＋F2＋G＝0，設F1，F(xiàn)2的合力為F，則F＝－G，由F1＋F2＝F且|F1|＝|F2|，|F|＝|G|，解直角三角形得cos＝＝， ∴|F1|＝，θ∈[0°，180°]， 由于函數(shù)y＝cosθ在θ∈[0°，180°]上為減函數(shù)， ∴θ逐漸增大時，cos逐漸減小，即逐漸增大． ∴θ增大時，|F1|也增大． (2)由上述可知，當θ＝0°時，|F1|有最小值為. (3)由題意，≤|F1|≤|G|， ∴≤≤1，即≤cos≤1. 由于y＝cosθ在[0°，180°]上為減函數(shù)， ∴0°≤≤60°，∴θ∈[0°，120°]． 15. 若a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)． (1)用k表示數(shù)量積a·b. (2)求a·b的最小值，并求出此時a與b的夾角θ. 解析：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|得 (ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝1，|b|＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0， ∴a·b＝＝. (2)a·b＝＝. 由函數(shù)單調性的定義容易證明f(k)＝在(0,1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增． ∴當k＝1時，f(k)min＝f(1)＝(1＋1)＝，此時a與b的夾角為θ，cosθ＝＝＝， ∴θ＝60°.