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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3-8函數(shù)與方程檢測試題（2）文 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(　　) A．(－2，－1)　　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理，知函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)． 答案：C 2．函數(shù)f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為(　　) A．4個　 　　B．5個 　　　C．6個　 　　D．7個 解析：令f(x)＝0，得x＝0或cosx2＝0，因為x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]． 由于cos＝0(k∈Z)，故當(dāng)x2＝，，，，時，cosx2＝0，所以零點個數(shù)為6. 答案：C 3．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)內(nèi)有解，則y＝f(x)的圖像是(　　) A 　　　 B C 　　　 D 解析：由f(x)－2＝0，得f(x)＝2，由圖像可知，對于A項，當(dāng)f(x)＝2時，x＝0，不成立；對于B項，當(dāng)f(x)＝2時，無解，對于C項，當(dāng)f(x)＝2時，x＞0，不成立，故選D. 答案：D 4．已知函數(shù)f(x)＝x－log2x，若實數(shù)x0是函數(shù)f(x)的零點，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值(　　) A．恒為正值 B．等于0 C．恒為負(fù)值 D．不大于0 解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以推知函數(shù)f(x)＝x－log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上至多有一個零點．若有零點的話，零點左側(cè)的函數(shù)值恒正，右側(cè)的函數(shù)值恒負(fù)，對于0＜x1＜x0，f(x1)的值恒為正值. 答案：A 5．若函數(shù)f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln 解析：g(x)＝4x＋2x－2的零點，即函數(shù)y＝4x與函數(shù)y＝－2x＋2圖像交點的橫坐標(biāo)(如圖)，由圖知g(x)的零點x0滿足0＜x0＜. 又f(x)＝4x－1的零點為，∴選A. 答案：A 6．已知a是函數(shù)f(x)＝2x－ logx的零點，若00 D．不確定 解析：f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∵f(a)＝0，∴f(x)＝0只有一個實根，當(dāng)0b>c>0滿足f(a)·f(b)·f(c)<0，若實數(shù)x0是函數(shù)y＝f(x)的一個零點，那么下列不等式中不可能成立的是(　　) A. x0a C. x00，還有一個極小值f(1)＝－2＋a<0，結(jié)合以上可求a的取值范圍是(－2,2)． 答案：B 10．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝則關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(00時，f(x)＝2 014x＋log2 014x，則在R上，函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為__________． 解析：函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x)＝2 014x＋log2 014x在區(qū)間內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點．根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點的個數(shù)為3. 答案：3 14．已知[x] 表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函數(shù)f(x)＝lnx－的零點，則[x0]等于__________． 解析：∵函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，∴函數(shù)f′(x)＝＋>0，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．由f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2. 答案：2 三、解答題 15．是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸恒有一個零點，且只有一個零點．若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由． 解析：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0， ∴若實數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1. 檢驗：(1)當(dāng)f(－1)＝0時，a＝1.所以f(x)＝x2＋x. 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1. (2)當(dāng)f(3)＝0時，a＝－， 此時f(x)＝x2－x－. 令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之得x＝－或x＝3，方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－. 綜上所述，存在實數(shù)a，其范圍是a＜－或a＞1. 答案：存在，a的范圍是a＜－或a＞1 16．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)． (1)若g(x)＝m有零點，求m的取值范圍； (2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． 解析：(1)方法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e， 等號成立的條件是x＝e，∴g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點． 方法二：作出g(x)＝x＋(x＞0)的圖像如圖所示， 可知若使g(x)＝m有零點，則只需m≥2e. 方法三：由g(x)＝m得x2－mx＋e2＝0. 此方程有大于零的根，故 等價于 故m≥2e. (2)方法一：若g(x)－f(x)＝0有兩相異的實根， 即g(x)與f(x)的圖像有兩個不同的交點， 作出g(x)＝x＋(x＞0)的圖像． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1 ＝－(x－e)2＋m－1＋e2. 其對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2. 故當(dāng)m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1時， g(x)與f(x)的圖像有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． ∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)． 方法二：令F(x)＝g(x)－f(x)， 則由已知F(x)＝g(x)－f(x)有兩個零點． 又F′(x)＝g′(x)－f′(x)＝1－＋2x－2e ＝ ＝， ∵x2＞0恒成立，2x2＋x＋e＞0恒成立， ∴當(dāng)x＞e時F′(x)＞0，x＜e時F′(x)＜0，故F(x)在(0，e)上為減函數(shù)，在(e，＋∞)上為增函數(shù)． ∴F(x)＝g(x)－f(x)在x＝e處取得極小值， 若F(x)＝g(x)－f(x)有兩個零點，則F(e)＜0. 即e＋＋e2－2e·e－m＋1＜0， 即m＞－e2＋2e＋1. 答案：(1)m≥2e；(2)m＞－e2＋2e＋1. 創(chuàng)新試題　教師備選 教學(xué)積累　資源共享 1．函數(shù)f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內(nèi)(　　) A．沒有零點　　　　　　　 B．有且僅有一個零點 C．有且僅有兩個零點 D．有無窮多個零點 解析：在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝和y＝cosx的圖像，如圖，由于x>1時，y＝>1，y＝cosx≤1，所以兩圖像只有一個交點，即方程－cosx＝0在[0，＋∞)內(nèi)只有一個根，所以f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內(nèi)只有一個零點，所以選B項． 答案：B 2．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x3.又函數(shù)g(x)＝|xcos(πx)|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點個數(shù)為(　　) A．5個 B．6個 C．7個 D．8個 解析：根據(jù)題意，函數(shù)y＝f(x)是周期為2的偶函數(shù)且0≤x≤1時，f(x)＝x3， 則當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝－x3，且 g(x)＝|xcos(πx)|， 所以當(dāng)x＝0時，f(x)＝g(x)． 當(dāng)x≠0時，若0100，由26＝64,27＝128知n＝7. 答案：7 6．已知函數(shù)y＝f(x) (x∈R)滿足f(－x＋2)＝f(－x)，當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|，則y＝f(x)與y＝log7x的交點的個數(shù)為__________． 解析：因為f(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)為周 期函數(shù)，其周期為2.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝log7x的圖像如圖， 當(dāng)x＝7時，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)與y＝log7x共有6個交點． 答案：6