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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 知識(shí)模板復(fù)習(xí)講義 相似變換與位似變換 蘇教版必修5 一、似變換的概念 顯然，相似變換就是將一個(gè)圖形放大或縮?。锤淖儓D形的大小而保留形狀不變）；再改變它在平面上的位置。 當(dāng)相似比k=1時(shí),相似變換就是合同變換.所以說(shuō),合同變換和恒等變換都是相似變換的特例. 2. 相似變換的性質(zhì) 性質(zhì)1 在相似變換下,直線、射線、線段、角、三角形、多邊形和圓的像仍分別是直線、射線、線段、角、三角形、多邊形和圓。 證明（這里僅證直線的像仍是直線，其他仿此證明）。 性質(zhì)3 在相似變換下，不改變角的大小。 性質(zhì)4 在相似變換下，平行性是圖形的不變性質(zhì)。 性質(zhì)7 平面上的所有相似變換構(gòu)成一個(gè)群{M},這個(gè)群{M}叫做相似群(或稱為度量群). 事實(shí)上,由于恒等變換是相似變換,加之上述性質(zhì)5和性質(zhì)6,可知{M}構(gòu)成一個(gè)群. 顯然,合同變換群{W}是相似變換群{M}的一個(gè)子群. 相似形就是在相似群下的不變圖形. 共線點(diǎn)的簡(jiǎn)單比和保角(指兩直線的交角角度不變),是相似群下的兩個(gè)基本不變量. 相似變換由不共線的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(或一對(duì)對(duì)應(yīng)的相似三角形)所確定.也就是說(shuō),如果已知 定義 若相似變換之對(duì)應(yīng)三角形定向相同,則叫做第一種相似變換,或稱為真正相似變換. 易知, 真正相似變換構(gòu)成一個(gè)群, 它是相似群的子群. 定義 若相似變換之對(duì)應(yīng)三角形定向相反,則叫做第二種相似變換,或稱為鏡照相似變換. 易知, 鏡照相似變換不構(gòu)成群. 相似變換的應(yīng)用 相似變換的特點(diǎn)是:可以改變圖形的位置和大小,而不改變其形狀. 這是利用相似變換來(lái)解題的理論依據(jù). 當(dāng)題設(shè)和結(jié)論所涉及的幾何元素比較分散, 不易發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系時(shí),可以選用適當(dāng)?shù)南嗨谱儞Q, 把圖形按所需的大小比例給予放大或縮小之后, 轉(zhuǎn)移到適當(dāng)?shù)奈恢蒙? 使已知條件和結(jié)論重新組合, 構(gòu)成相似形, 從而使元素之間產(chǎn)生直接的聯(lián)系, 以便于引用已知的定理去解題. 應(yīng)用相似變換解題, 關(guān)鍵在于如何構(gòu)造相似形. 位似變換 1.位似變換的概念 如果每一個(gè)相似變換, 它的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A, A′的連線都通過一個(gè)定點(diǎn),則稱這種相似變換為位似變換. 位似變換H(O,k),滿足如下三個(gè)條件. 反之, 如果一個(gè)一一變換H, 滿足以下三個(gè)條件,它就是位似變換: 顯然, 一個(gè)位似變換由其位似中心和位似比確定,或由其一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)及位似中心(或位似系數(shù))確定. k=1的位似變換是恒等變換,k=-1的位似變換是點(diǎn)反射. 2.位似變換的性質(zhì) 由性質(zhì)1知,位似變換必為相似變換, 因此, 它具有相似變換的一切性質(zhì). 性質(zhì)3 非恒等的位似變換只有一個(gè)二重點(diǎn), 即位似中心. 性質(zhì)4 位似變換有無(wú)窮多條二重直線, 它們都通過位似中心, 也就是說(shuō), 位似變換把通過位似中心的直線變換成自身. 性質(zhì)5 位似變換把不經(jīng)過位似中心的直線(或線段)變換成與其平行的直線(或線段), 當(dāng)k>0時(shí), 對(duì)應(yīng)直線同向平行(如左下圖); 當(dāng)k<0時(shí), 對(duì)應(yīng)直線反向平行(如右下圖) 性質(zhì)6 兩個(gè)位似變換的乘積, 是一個(gè)位似變換或是一個(gè)平移. 由性質(zhì)6知道, 平面上一切位似變換得全體, 不能構(gòu)成一個(gè)群. 定理7 給出三個(gè)位似變換(非恒等變換), 如果其中一個(gè)是另外兩個(gè)得乘積, 那么這三個(gè)位似中心必共線. 事實(shí)上, 由性質(zhì)6的證明就可以推出定理7, 從而可知, 如果三個(gè)圖形彼此相位似, 那么這三個(gè)位似中心共線. 定義 三個(gè)彼此相位似的圖形, 其三個(gè)位似中心所在的直線叫做這三個(gè)圖形的位似軸. 定理8 以同一點(diǎn)為中心的位似變換的全體所組成的集合{H}構(gòu)成一個(gè)群. 這個(gè)群叫做位似群, 它是相似群{M}的一個(gè)子群. 事實(shí)上, 恒等變換也是位似變換, 由上述性質(zhì)(2)和性質(zhì)6(1)可知本定理的正確性. 3. 位似變換的判定 (2) 當(dāng)兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)邊同向平行時(shí), 這兩個(gè)多邊形位于點(diǎn)O同側(cè), 仿(1)可證, 命題也是成立的. 顯然, 定理9和定理11都可以推廣到n邊形. 位似變換的應(yīng)用 位似變換的特點(diǎn)是: 可以改變的圖形的位置和大小, 而不改變它的形狀, 這是應(yīng)用位似變換來(lái)解題的理論依據(jù). 當(dāng)題設(shè)和結(jié)論所涉及的幾何元素比較分散,不易發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系時(shí), 可以選用適當(dāng)?shù)奈凰谱儞Q, 把圖形按所需的大小比例, 給予放大和縮小之后, 轉(zhuǎn)移到適當(dāng)?shù)奈恢蒙? 使已知條件和結(jié)論重新組合, 構(gòu)成位似形, 從而使元素之間產(chǎn)生直接聯(lián)系, 以便引用已知的定理去解題. 位似變換的性質(zhì)之一是: 位似形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線, 通過位似中心, 這也是應(yīng)用位似變換來(lái)解題的理論依據(jù). 因此, 證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)的命題, 可以通過位似變換來(lái)實(shí)現(xiàn). 應(yīng)用位似變換解題的關(guān)鍵, 在于選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行暮臀凰票?