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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步過關(guān)測(cè)試卷 北師大版必修2 一、選擇題(每題6分，共36分) 1.已知正方體-中，O是BD1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A. A1，M，O三點(diǎn)共線 B. M，O，A1，A四點(diǎn)共面 C. A，O，C，M四點(diǎn)共面 D. B，B1，O，M四點(diǎn)共面 2.圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為π，4π，側(cè)面積為6π，這個(gè)圓臺(tái)的體積為( ) A.π B.π C.π D.π 3.若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是( ) A.若m ü β，α⊥β，則m⊥α B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β C.若m⊥β，m∥α，則α⊥β D.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ 4.〈山東省青島一?！狄粋€(gè)幾何體的三視圖如圖1所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓，則這個(gè)幾何體的表面積是( ) A．16π B．14π C．12π D．8π 圖1 圖2 5.如圖2，在正四棱柱-中，AB=1，AA1=，E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，則D1E+CE的最小值為( ) A. B. C. D. 6.〈吉林省長(zhǎng)春市第四次調(diào)研〉已知空間4個(gè)球，它們的半徑均為2，每個(gè)球都與其他三個(gè)球外切，另有一個(gè)小球與這4個(gè)球都外切，則這個(gè)小球的半徑為( ) A. B. C. D. 二、填空題(每題5分，共20分) 7.某幾何體的三視圖如圖3所示，則這個(gè)幾何體的體積為 . 圖3 8.過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角為60°，則該截面的面積為 . 9.用一張正方形的紙把一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體形禮品盒完全包好，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是 . 10. 給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若某四棱柱有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④一個(gè)棱錐可以有兩條側(cè)棱和底面垂直；⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直；⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體．其中正確命題的序號(hào)是 ． 三、解答題(11題14分，其余每題15分，共44分) 11.〈杭州模擬〉如圖4，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積． 圖4 12.〈廈門〉 如圖5，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D，E分別是線段BC，PD的中點(diǎn). (1)若AP=AB=AC=2，BC=，求三棱錐P-ABC的體積； (2)若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=AB，證明：直線EF∥平面PAC． 圖5 13. 如圖6，在直四棱柱-中，DB＝BC，DB⊥AC，M是棱BB1上一點(diǎn)． (1)求證：B1D1∥平面A1BD； (2)求證：MD⊥AC； (3)當(dāng)M在BB1上的何處時(shí)，有平面DMC1⊥平面CC1D1D. 圖6 參考答案及點(diǎn)撥 一、1.D 點(diǎn)撥：因?yàn)镺是BD1的中點(diǎn)．由正方體的性質(zhì)知，O也是A1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O在直線A1C上，又直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則A1，M，O三點(diǎn)共線，又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以B，C正確． 2.D 點(diǎn)撥：由題意，圓臺(tái)的上底面半徑r=1，下底面半徑R=2，∵ S側(cè)=6π，設(shè)母線長(zhǎng)為l，則π·(1+2)l=6π，∴l(xiāng)=2，∴高h(yuǎn)==.∴V=×π×(12+1×2+22)=π. 3.C 點(diǎn)撥：對(duì)于C，由m∥得，在平面內(nèi)必存在直線l∥m.又m⊥β，因此l⊥β，且l ü，故⊥β. 4.A 點(diǎn)撥：由三視圖可知，該幾何體是挖去一個(gè)球的而得到的.其中兩個(gè)半圓的面積為π×22=4π. 球面的面積為×4π×22=12π，所以這個(gè)幾何體的表面積是12π+4π=16π. 5.B 點(diǎn)撥：將正方形ABCD沿AB向下翻折到對(duì)角面ABC1D1內(nèi)，成為正方形ABC2D2（如答圖1)，在矩形C1D1D2C2中連接D1C2，與AB的交點(diǎn)即為取得最小值時(shí)的點(diǎn)E，此時(shí)D1E+CE=D1C2.因?yàn)閷?duì)角線AD1=2，∴D1D2=3，故D1C2===. 答圖1 答圖2 答圖3 6.A 點(diǎn)撥：由題意可知，連接4個(gè)球的球心組成了正四面體，小球球心O為正四面體的中心，到頂點(diǎn)的距離為，從而所求小球的半徑r=－2. 二、7. 點(diǎn)撥：由三視圖可知，該幾何體可分為一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐（如答圖2)，則V=V1+V2=×2×2×4+××2×2×2=. 8.π 點(diǎn)撥：如答圖3，依題意，截面圓的半徑r=O′A=OA·cos60°=1. 9.8 點(diǎn)撥：如答圖4①為棱長(zhǎng)為1的正方體形禮品盒，先把正方體的表面按答圖4②方式展成平面圖形，再把平面圖形補(bǔ)成面積盡可能小的正方形，則正方形的邊長(zhǎng)為，其面積為8. 答圖4 答圖5 10.①⑤ 點(diǎn)撥：①正確，正四面體是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如正方形-中的四面體A-CB1D1；②錯(cuò)誤，如答圖5所示，底面△ABC為等邊三角形，可令A(yù)B＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；③錯(cuò)誤，必須是相鄰的兩個(gè)側(cè)面；④錯(cuò)誤，如果有兩條側(cè)棱和底面垂直，則它們平行，不可能；⑤正確，當(dāng)兩個(gè)側(cè)面的公共邊垂直于底面時(shí)成立；⑥錯(cuò)誤，當(dāng)?shù)酌媸橇庑危ǚ钦叫危r(shí)，此說法不成立，所以應(yīng)填①⑤. 三、11.解：作CE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于E.由已知得：CE=2，DE=2，CB=5，S表=S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè) =π(2＋5)×5＋π×52＋π×2× ＝(60＋)π， V=V圓臺(tái)－V圓錐 = (π·22＋π·52＋)×4－π×22×2 =π. 12.解：(1)在△ABC中，AB=AC=2，BC=，D是線段BC的中點(diǎn)，連接AD，則AD⊥BC，易求得AD=1. ∴S△ABC=××1=.∵PA⊥底面ABC， ∴VP-ABC=××2=． （2）如答圖6，取CD的中點(diǎn)H，連接FH，EH.∵E為線段PD的中點(diǎn)，∴在△PDC中，EH∥PC.∵EHú平面PAC，PCü平面PAC，∴EH∥平面PAC.∵AF=14AB，∴在△ABC中，F(xiàn)H∥AC，∵FHú平面PAC.ACü平面PAC，∴FH∥平面PAC，∵ FH∩EH=H，∴平面EHF∥平面PAC.∵EFü平面EHF，∴EF∥平面PAC. 答圖6 答圖7 13.(1)證明：由直四棱柱得BB1∥DD1，BB1=DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD.而BDü平面A1BD，B1D1ú平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD. (2)證明：∵BB1⊥平面ABCD，ACü平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MDü平面BB1D，∴MD⊥AC. (3) 解：當(dāng)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，如答圖7所示．∵N是DC的中點(diǎn)，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可證得O是NN1的中點(diǎn)，∴BM∥ON且BM＝ON，即四邊形BMON是平行四邊形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OMü平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.