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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 1.8 充分條件與必要條件（1）教案 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生正確理解充分條件、必要條件和充要條件三個(gè)概念，并能在判斷、論證中正確運(yùn)用 2.在師生、學(xué)生間的數(shù)學(xué)交流中增強(qiáng)邏輯思維活動(dòng)，為用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題打下良好的邏輯基礎(chǔ). 教學(xué)重點(diǎn)：正確理解三個(gè)概念，并在分析中正確判斷 教學(xué)難點(diǎn)：充分性與必要性的推導(dǎo)順序 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 這一大節(jié)通過若干實(shí)例，講述充分條件、必要條件和充要條件的有關(guān)知識(shí)． 這一大節(jié)的重點(diǎn)是充要條件．學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在這方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件的有關(guān)內(nèi)容是十分必要的． 關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件，本章對(duì)教學(xué)要求的尺度，還是控制在對(duì)初中代數(shù)、幾何的有關(guān)問題的理解上為宜． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 同學(xué)們，當(dāng)某一天你和你的媽媽在街上遇到老師的時(shí)候，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽”.那么，大家想一想這個(gè)時(shí)候你的媽媽還會(huì)不會(huì)補(bǔ)充說：“你是她的孩子”呢？不會(huì)了！為什么呢？因?yàn)榍懊婺闼榻B的她是你的媽媽就足于保證你是她的孩子.那么，這在數(shù)學(xué)中是一層什么樣的關(guān)系呢？今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)有意義的課題—充分條件與必要條件. 二、講解新課： ⒈符號(hào)“”的含義 前面我們討論了“若p則q”形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假.“若p則q”為真，是指由p經(jīng)過推理可以得出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立，記作pq，或者qp；如果由p推不出q，命題為假，記作pq. 簡(jiǎn)單地說，“若p則q”為真，記作pq（或qp）； “若p則q”為假，記作pq（或qp）. 符號(hào)“”叫做推斷符號(hào). 例如，“若x>0，則x2>0”是一個(gè)真命題，可寫成：x>0 x2>0； 又如，“若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等”是一個(gè)真命題，可寫成：兩三角形全等兩三角形面積相等. 說明：⑴“pq”表示“若p則q”為真；也表示“p蘊(yùn)含q”. ⑵“pq”也可寫為“qp”，有時(shí)也用“p→q”. 練習(xí)：課本P35練習(xí)：1⑴⑵⑶⑷. 答案：⑴；⑵；⑶；⑷. ⒉什么是充分條件？什么是必要條件？ 如果已知pq，那么我們就說，p是q的充分條件，q是p的必要條件. 在上面是兩個(gè)例子中，“x>0”是“x2>0”的充分條件，“x2>0”是“x>0”的必要條件；“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件. ⒊充分條件與必要條件的判斷 1.直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.（條件與結(jié)論是相對(duì)的） 三、范例 例1 指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件： ⑴ p：x=y；q：x2=y2. ⑵ p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個(gè)角相等. 分析：可根據(jù)“若p則q”與“若q則p”的真假進(jìn)行判斷. 解：⑴由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分條件，q是p的必要條件. ⑵由pq，即三角形的三條邊相等三角形的三個(gè)角相等，知p是q的充分條件，q是p的必要條件； 又由qp，即三角形的三個(gè)角相等三角形的三條邊相等，知q也是p的充分條件，p也是q的必要條件. 練習(xí)：課本P35練習(xí)：2⑴⑵⑶⑷. 答案：⑴∵pq，∴p是q的充分條件，q是p的必要條件； ⑵∵qp，∴p是q的必要條件，q是p的充分條件； ⑶∵pq，∴p是q的充分條件，q是p的必要條件；又∵qp，∴q也是p的充分條件，p也是q的必要條件. ⑷∵pq，∴p是q的充分條件，q是p的必要條件；又∵qp，∴q也是p的充分條件，p也是q的必要條件. 以上是直接利用定義由原命題判斷充分條件與必要條件的方法.那么，如果由命題不是很好判斷的話，我們可以換一種方式，根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)性，利用它的逆否命題來(lái)進(jìn)行判斷. 2.利用逆否命題判斷：即“若┐q┐p成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”. 例2(補(bǔ))如圖1，有一個(gè)圓A，在其內(nèi)又含有一個(gè)圓B. 請(qǐng)回答： ⑴命題：若“A為綠色”，則“B為綠色”中，“A為綠色”是“B為綠色”的什么條件；“B為綠色”又是“A為綠色”的什么條件. ⑵命題：若“紅點(diǎn)在B內(nèi)”，則“紅點(diǎn)一定在A內(nèi)”中，“紅點(diǎn)在B內(nèi)”是“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的什么條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”又是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的什么條件. 解法1(直接判斷)：⑴∵“A為綠色B為綠色”是真的，∴由定義知，“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件. ⑵如圖2⑴，∵“紅點(diǎn)在B內(nèi)紅點(diǎn)在A內(nèi)”是真的，∴由定義知，“紅點(diǎn)在B內(nèi)”是“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的充分條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的必要條件. 解法2(利用逆否命題判斷)：⑴它的逆否命題是：若“B不為綠色”則“A不為綠色”. ∵“B不為綠色 A不為綠色”為真，∴“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件. ⑵它的逆否命題是：若“紅點(diǎn)不在A內(nèi)”，則“紅點(diǎn)一定不在B內(nèi)”. 如圖2⑵，∵“紅點(diǎn)不在A內(nèi)紅點(diǎn)一定不在B內(nèi)”為真，∴“紅點(diǎn)在B內(nèi)”是“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的充分條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的必要條件. 如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢？下面我們以例2為例來(lái)說明. 先說充分性：說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的.例如，說“A為綠色”是“B為綠色”的一個(gè)充分條件，就是說“A為綠色”，它足以保證“B為綠色”.它符合上述的“若p則q”為真（即pq）的形式. 再說必要性：必要就是必須，必不可少.從例2的圖可以看出，如果“B為綠色”，A可能為綠色，A也可能不為綠色.但如果“B不為綠色”，那么“A不可能為綠色”.因此，必要條件簡(jiǎn)單說就是：有它不一定，沒它可不行.它滿足上述的“若非q則非p”為真（即┐q┐p）的形式. 總之，數(shù)學(xué)上的充分條件、必要條件的“充分”、“必要”兩詞，與日常生活中的“充分”、“必要”意義相近，不過，要準(zhǔn)確理解它們，還是應(yīng)該以數(shù)學(xué)定義為依據(jù). 例2的問題，若用集合觀點(diǎn)又怎樣解釋呢？請(qǐng)同學(xué)們想一想. 四、練習(xí)： （補(bǔ)充題）用“充分”或“必要”填空，并說明理由： ⒈“a和b都是偶數(shù)”是“a+b也是偶數(shù)”的 充分 條件； ⒉“四邊相等”是“四邊形是正方形”的 必要 條件； ⒊“x3”是“|x|3”的 充分 條件； ⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的 充分 條件； ⒌“兩個(gè)角是對(duì)頂角”是“這兩個(gè)角相等”的 充分 條件； ⒍“至少有一組對(duì)應(yīng)邊相等”是“兩個(gè)三角形全等”的必要條件； ⒎對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不為0）來(lái)說，“b2-4ac0”是“這個(gè)方程有兩個(gè)正根”的 必要 條件； ⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的 充分 條件； ⒐“a+b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的 必要 條件； ⒑“個(gè)位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個(gè)自然數(shù)能被5整除”的 充分 條件. 五、小結(jié)： 本節(jié)主要學(xué)習(xí)了推斷符號(hào)“”的意義，充分條件與必要條件的概念，以及判斷充分條件與必要條件的方法. 判斷充分條件與必要條件的依據(jù)是： 若pq（或若┐q┐p），則p是q的充分條件； 若qp（或若┐p┐q），則p是q的必要條件. 六、作業(yè)： 1．課本P34-35內(nèi)容，熟悉鞏固有關(guān)內(nèi)容. 2．設(shè)A是C的充分條件，B是C的充分條件，D是C的必要條件，D是B的充分條件，那么，D是A的什么條件？A是B的什么條件？ 解：由題意作出邏輯圖（右圖），便知， D是A的必要條件；A是B的充分條件. 3．預(yù)習(xí)：課本P35-36內(nèi)容. 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：