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2019-2020年高一數學 2.8對數函數（第三課時） 大綱人教版必修 ●課 題 §2.8.3 對數函數性質應用（二） ●教學目標 （一）教學知識點 1.對數形式的復合函數. 2.對數形式復合函數的單調性. 3.對數形式復合函數的奇偶性. （二）能力訓練要求 1.掌握對數形式復合函數的單調性的判斷及證明方法. 2.掌握對數形式復合函數的奇偶性的判斷及證明方法. 3.培養(yǎng)學生的數學應用意識. （三）德育滲透目標 1.認識事物之間的內在聯系及相互轉化. 2.用聯系的觀點分析問題、解決問題. ●教學重點 函數單調性、奇偶性證明通法. ●教學難點 對數運算性質、對數函數性質的應用 ●教學方法 引導式 啟發(fā)學生認識對數形式的復合函數的單調性、奇偶性的判斷及證明方法，實質上就是函數單調性、奇偶性的證明通法，從而在處理方法上并不陌生，但是具體的中間環(huán)節(jié)上，比如函數單調性證明的變形一步，就要用到對數的運算性質及對數函數的有關性質，在對數形式函數奇偶性的證明過程中，要注意引導學生總結對數形式復合函數證明過程的化簡、變形技巧. ●教具準備 幻燈片 第一張：函數單調性、奇偶證法（記作§2.8.3 A） 第二張：例4及其解答（記作§2.8.3 B） 第三張：例5及其解答（記作§2.8.3 C） ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］上一節(jié)課后，我要求大家預習函數單調性，奇偶性的證明方法，現在，我們進行一下回顧. 1.判斷及證明函數單調性的基本步驟： 假設——作差——變形——判斷 說明：變形目的是為了易于判斷；判斷有兩層含義：一是對差式正負的判斷；二是對增減函數定義的判斷. 2.判斷及證明函數奇偶性的基本步驟： ①考查函數定義域是否關于原點對稱；②比較f(－x)與f(x)或者－f(x)的關系；③根據函數奇偶性定義得出結論. 說明：考查函數定義域容易被學生忽視，應強調學生注意. ［師］接下來，我們一起來看例題 Ⅱ.講授新課 ［例4］判斷下列函數的奇偶性： （1）f(x)=lg； (2)f(x)=ln(－x) 分析：首先要注意定義域的考查，然后嚴格按照奇偶性證明基本步驟進行. 解：（1）由＞0可得－1＜x＜1， 所以函數的定義域為：（－1，1）關于原點對稱 又f(－x)=lg， 即f(－x)=－f(x) 所以函數f(x)=lg是奇函數 評述：此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數解析式恒等變形需利用對數的運算性質，說明判斷對數形式的復合函數的奇偶性，不能輕易直接下結論，而應注意對數式的恒等變形. 解：（2）由－x＞0可得x∈R 所以函數的定義域為R，關于原點對稱 又f(－x)=ln(+x) =ln =－f(x)， 即f(－x)=－f(x) 所以函數f(x)=ln(－x)是奇函數 評述：此題定義域的確定可能稍有困難，可以講解此點，而函數解析式的變形用到了分子有理化的技巧，應要求學生掌握. [例5]（1）證明函數f(x)=log2(x2+1)在（0，+∞）上是增函數； （2）問：函數f(x)=log2(x2+1)在（－∞，0）上是減函數還是增函數？ 分析：此題目的在于讓學生熟悉函數單調性證明通法，同時熟悉上一節(jié)利用對數函數單調性比較同底數對數大小的方法. （1）證明：設x1,x2∈(0,+∞)，且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)=log2(x12+1)－log2(x22+1) ∵0＜x1＜x2 ∴x12+1＜x22+1 又∵y=log2x在（0，+∞）上是增函數. ∴l(xiāng)og2(x12+1）＜log2(x22+1) 即f(x1)＜f(x2)， ∴函數f(x)=log2(x2+1)在（0，+∞）上是增函數. （2）是減函數，證明可以仿照上述證明過程. 評述：此題可引導學生總結函數f(x)=log2(x2+1)的增減性與函數y=x2+1的增減性的關系，并可在課堂練習之后得出一般性的結論. Ⅲ.課堂練習 （1）證明函數y=(x2+1)在（0，+∞）上是減函數； （2）判斷函數y=(x2+1)在（－∞,0）上的增減性. 證明：（1）設0＜x1＜x2,則 f(x1)－f(x2) =(x12+1)－(x22+1) = ∵0＜x1＜x2,∴0＜x12＜x22， ∴ 而x是減函數 ∴ ∴f(x1)－f(x2)＞0 即f(x1)＞f(x2) ∴函數y=(x2+1)在（0，+∞）上是減函數 （2）設x1＜x2＜0,則f(x1)－f(x2)= (x12+1)－(x22+1) ∵x1＜x2＜0,∴x12＞x22＞0 而函數y=x在（0，+∞）上是減函數. ∴(x12+1）＜(x22+1) 即f(x1)＜f(x2) ∴y=(x2+1)在（－∞，0）上是增函數. Ⅳ.課時小結 ［師］通過本節(jié)學習，大家能進一步熟悉對數函數的性質應用，并掌握證明函數單調性，奇偶性的通法，提高數學應用的能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）1.求y=log0.3(x2－2x)的單調遞減區(qū)間. 解：先求定義域：由x2－2x＞0,得x(x－2)＞0 ∴x＜0或x＞2 ∵函數y=log0.3t是減函數 故所求單調減區(qū)間即t=x2－2x在定義域內的增區(qū)間. 又t=x2－2x的對稱軸為x=1 ∴所求單調遞減區(qū)間為（2，+∞） 2.求函數y=log2(x2－4x)的單調遞增區(qū)間 解：先求定義域： 由x2－4x＞0得x(x－4)＞0 ∴x＜0或x＞4 又函數y=log2t是增函數 故所求單調遞增區(qū)間為t=x2－4x在定義域內的單調遞增區(qū)間. ∵t=x2－4x的對稱軸為x=2 ∴所求單調遞增區(qū)間為：（4，+∞） 3.已知y=loga(2－ax)在[0，1]上是x的減函數，求a的取值范圍. 解：∵a＞0且a≠1 ∴函數t=2－ax是減函數 由y=loga(2－ax)在[0，1]上x的減函數，知y=logat是增函數， ∴a＞1 由x=1時，2－ax=2－a＞0,得a＜2, ∴1＜a＜2 （二）1.預習內容：課本P90 例1，P96～P97. 2.預習提綱： (1)什么是數學模型？ （2）什么是數學建模？ （3）你認為數學建模的關鍵是什么？ ●板書設計 §2.8.3 對數函數性質應用（二） 1.單調性證明回顧 2.奇偶性證明回顧 例4 解答 例5 解答 學生練習 （1） (2)