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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 4.3任意角的三角函數(shù)（第一課時(shí)） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)知識(shí)目標(biāo) 1.任意角三角函數(shù)的定義； 2.三角函數(shù)的定義域. (二)能力目標(biāo) 1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義； 2.理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)； 3.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. (三)德育目標(biāo) 使學(xué)生通過(guò)任意角三角函數(shù)的定義，認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，加深特殊與一般關(guān)系的理解. ●教學(xué)重點(diǎn) 1.任意角三角函數(shù)的定義. 2.正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. ●教學(xué)難點(diǎn) 正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. ●教學(xué)方法 講授法 1.通過(guò)三角函數(shù)定義的變化：從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)，由邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比，使學(xué)生在理解掌握定義的基礎(chǔ)上，加深特殊與一般關(guān)系的理解. 2.通過(guò)對(duì)定義的剖析，使學(xué)生對(duì)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域有比較深刻的認(rèn)識(shí)，達(dá)到突破難點(diǎn)之目的. ●教具準(zhǔn)備 幻燈片兩張 第一張：課本P13圖4－10(記作§4.3.1 A) 第二張：本課時(shí)教案后面的預(yù)習(xí)提綱(記作§4.3.1 B) ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù)，前面我們對(duì)角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，并學(xué)習(xí)了弧度制，知道角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的，在這個(gè)基礎(chǔ)上，今天我們來(lái)研究任意角的三角函數(shù)(板書課題). Ⅱ.講授新課 ［師］對(duì)于銳角三角函數(shù)，我們是在直角三角形中定義的，今天，對(duì)于任意角的三角函數(shù)，我們利用平面直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行研究. 設(shè)α是一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸上的任意角(這點(diǎn)應(yīng)該給學(xué)生強(qiáng)調(diào)清楚，課本上未做強(qiáng)調(diào)是不妥的)，α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y）(非頂點(diǎn)).它與原點(diǎn)的距離是r(r＝＞0）(打出幻燈片§4.3.1 A) 注意：(1)以后我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合. (2)OP是角α的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚，也只有這樣，才能說(shuō)明角α是任意的. (3)角α的終邊只要不落在坐標(biāo)軸上，就只能是如圖所示四種位置中的一種. (4)角α的終邊不是不能落在坐標(biāo)軸上，而是說(shuō)落在坐標(biāo)軸上的情況屬于特殊情形，我們將在研究問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)其進(jìn)行討論. 那么，(1)比值叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝. (2)比值叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝. (3)比值叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝. (4)比值叫做α的余切，記作cotα，即cotα＝. (5)比值叫做α的正割，記作secα，即secα＝. (6)比值叫做α的余割，記作cscα，即cscα＝ 以上六種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù). ［生］三角函數(shù)是不是函數(shù)？ ［師］是. ［生］既然是函數(shù)，那么對(duì)于一個(gè)確定的角，它的函數(shù)值就應(yīng)該是確定的.為什么這里的定義，對(duì)于一個(gè)確定的角，函數(shù)值不確定呢？ ［師］哪個(gè)函數(shù)值不確定呢？ ［生］P是∠α終邊上任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)(x,y)都是變量，它與原點(diǎn)O的距離r也是變量，這三個(gè)變量的六個(gè)比值是確定的嗎？如果不是，那么對(duì)于一個(gè)確定角α，它的某一三角函數(shù)值不是就有好多個(gè)嗎？這不是說(shuō)明定角的三角函數(shù)值不確定嗎？ ［師］××同學(xué)提出的問(wèn)題很好！請(qǐng)大家都來(lái)考慮一下：確定的角α，它的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)都是變量，它與原點(diǎn)的距離r也是變量，這三個(gè)變量的六個(gè)比值究竟是確定的還是變化的？ （學(xué)生思考） ［生甲］這六個(gè)比值都是確定的！比如銳角三角函數(shù)中，在銳角確定的Rt△中.無(wú)論你把這個(gè)三角形畫得多大或多小，三邊中兩兩的比值不變.因?yàn)檫@些三角形相似. ［生乙］無(wú)論P(yáng)在什么位置，表示縱坐標(biāo)的線段，表示橫坐標(biāo)的線段，以及它與原點(diǎn)的距離線段都組成一個(gè)直角三角形，根據(jù)相似三角形的知識(shí).三個(gè)變量的六個(gè)比值都是確定的！ ［師］××同學(xué)，甲、乙兩位同學(xué)的解釋你明白了嗎？ ［××］明白了. ［師］那好！根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于終邊不在坐標(biāo)軸上確定的角α，上述六個(gè)比值都不會(huì)隨P點(diǎn)在α的終邊上的位置的改變而改變.當(dāng)角α的終邊在縱軸上時(shí)，即α＝kπ＋（k∈Z)時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x都為0，所以tanα、secα無(wú)意義；當(dāng)角α的終邊在橫軸上時(shí)，即α＝kπ（k∈Z)時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y都為0，所以cotα、cscα無(wú)意義，除此之外，對(duì)于確定的角α，上面的六個(gè)比值都是唯一確定的實(shí)數(shù)，這就是說(shuō)，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù). 注意：(1)sinα是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣. (2)定義中只說(shuō)怎樣的比值叫做α的什么函數(shù)，并沒(méi)有說(shuō)α的終邊在什么位置(終邊在坐標(biāo)軸上的除外)，即函數(shù)的定義與α的終邊位置無(wú)關(guān). (3)比值只與角的大小有關(guān). ［師］我們已經(jīng)給出了任意角三角函數(shù)的定義，請(qǐng)同學(xué)們考慮并比較一下，我們給出的任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義，有什么聯(lián)系與區(qū)別? ［生甲］任意角的三角函數(shù)就包含銳角三角函數(shù)，實(shí)質(zhì)上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義是一致的，銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例. ［生乙］所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的. (學(xué)生不可能一下子回答得準(zhǔn)確、完整，必要時(shí)，教師應(yīng)給予一定的引導(dǎo)、啟示). ［師］兩位同學(xué)回答得很好，即正弦函數(shù)值是縱坐標(biāo)比距離，余弦函數(shù)值是橫坐標(biāo)比距離，(其余的由學(xué)生說(shuō)出)…… ［生］正切函數(shù)值是縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)，余切函數(shù)值是橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)，正割函數(shù)值是距離比橫坐標(biāo)，余割函數(shù)值是距離比縱坐標(biāo). ［師］為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶. ［師］由于角的集合與實(shí)數(shù)集R之間是一一對(duì)應(yīng)的，所以三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).我們知道，函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，下面我們就來(lái)研究正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，值域問(wèn)題待后再作研究. 對(duì)于正弦函數(shù)sinα＝，因?yàn)閞＞0，所以恒有意義，即α取任意實(shí)數(shù)，恒有意義，也就是說(shuō)sinα恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對(duì)于正切函數(shù)tanα＝，因?yàn)閤＝0時(shí)，無(wú)意義，即tanα無(wú)意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x＝0，所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí)，恒有意義，即tanα恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是α≠kπ＋（k∈Z). (由學(xué)生填寫下表) Ⅲ.例題分析 ［例1］已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)(如圖)，求α的六個(gè)三角函數(shù)值. 解：∵x＝2，y＝－3 ∴r＝ 于是sinα＝ cosα＝ tanα＝＝－ cotα＝ secα＝ cscα＝ ［例2］求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值. (1)0 (2)π (3) 解：(1)因?yàn)楫?dāng)α＝0時(shí)，x＝r，y＝0，所以 sin0＝0 cos0＝1 tan0＝0 cot0不存在 sec0＝1 csc0不存在 (2)因?yàn)楫?dāng)α＝π時(shí)，x＝－r，y＝0，所以 sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0 cotπ不存在 secπ＝－1 cscπ不存在 (3)因?yàn)楫?dāng)α＝時(shí)，x＝0，y＝－r，所以 sin＝－1 cos＝0 tan不存在 cot＝0 sec不存在 csc＝－1 Ⅳ.課堂練習(xí) 課本P19練習(xí) 1、2、3. Ⅴ.課時(shí)小結(jié) （由學(xué)生自己來(lái)做.這樣能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思維，使學(xué)生及時(shí)回顧，加深印象） ［師］本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？ ［生甲］任意角三角函數(shù)的定義.（學(xué)生回答，教師板書） ［生乙］正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域. ［生丙］三角函數(shù)的定義域是由三角函數(shù)的定義分析得到的. ［生?。萑我饨侨呛瘮?shù)是銳角三角函數(shù)的擴(kuò)展，是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比. ［生戊］定義的記憶可用銳角三角函數(shù)類比記憶. …… （放開(kāi)手讓學(xué)生講，盡量讓學(xué)生講，學(xué)生的積極性、主動(dòng)性將得到有效調(diào)動(dòng)） ［師］很好！同學(xué)們下去以后，再把我們這節(jié)課所學(xué)的知識(shí)認(rèn)真進(jìn)行回顧歸納整理，要記住，重點(diǎn)是應(yīng)用噢. Ⅵ.課后作業(yè) （一）課本P20習(xí)題4.3 3、4、5. (作業(yè)說(shuō)明，解答4、5題時(shí)，解答過(guò)程中將三角函數(shù)值直接寫入計(jì)算過(guò)程即可). （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P17~P19 2.預(yù)習(xí)提綱(打出幻燈片§4.3.1 B) (1)各種三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)怎樣易記?請(qǐng)尋求方法. (2)公式一的作用是什么?怎樣記憶公式? (3)若證明A是B的充要條件，那么 從AB是證明了命題的__________性； 從BA是證明了命題的__________性. 若證明A的充要條件是B，那么 從AB是證明了命題的__________性； 從BA是證明了命題的__________性. ●板書設(shè)計(jì)