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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 4.6兩角和與差的正弦余弦正切（第一課時） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)知識目標(biāo) 1.平面內(nèi)兩點間的距離公式； 2.兩角和的余弦公式. (二)能力目標(biāo) 1.掌握平面內(nèi)兩點間的距離公式和兩角和的余弦公式； 2.能用以上公式進行簡單的求值. (三)德育目標(biāo) 1.培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識； 2.提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). ●教學(xué)重點 余弦的和角公式及簡單應(yīng)用 ●教學(xué)難點 余弦的和角公式的推導(dǎo) ●教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式 1.引導(dǎo)學(xué)生建立一直角坐標(biāo)系xOy，同時在這一坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于P3，角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4.并引導(dǎo)學(xué)生用α、β、－β的三角函數(shù)標(biāo)出點P1、P2、P3、P4的坐標(biāo).(這一過程也可用多媒體課件處理，讓學(xué)生仔細(xì)觀察作圖過程，并加以領(lǐng)會.)并充分利用單位圓、平面內(nèi)兩點間的距離公式，使學(xué)生弄懂由距離等式｜P1P3｜＝｜P2P4｜化得的三角恒等式，并整理成為余弦的和角公式，從而克服本節(jié)課的重點. 2.強調(diào)兩角和的三角函數(shù)的意義，例如cos （α＋β)是兩角α與β的和的余弦，它表示角α＋β終邊上任意一點的橫坐標(biāo)與原點到這點的距離之比.在一般情況下，cos （α＋β）≠cos α＋cos β，并變換α、β的取值，以突出本節(jié)課的重點. ●教具準(zhǔn)備 多媒體課件 第一張：（§4.6.1 A） 第二張：（§4.6.1 B） 第三張：（§4.6.1 C） 練習(xí)題： 1.求下列三角函數(shù)值 ①cos （45°＋30°） ②cos 105° 2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ. 3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值. 4.若點P(－3，4)在角α終邊上，點Q（－1，－2）在角β的終邊上，求cos （α＋β）的值. ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］在這一章的第一部分咱們共同學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，在研究三角函數(shù)時，我們還常常會遇到這樣的問題：已知任意角α、β的三角函數(shù)值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函數(shù)值?即：α＋β、α－β或2α的三角函數(shù)值與α、β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系? Ⅱ.講授新課 (打出課件§4.6.1 A，讓同學(xué)觀察) ［師］我們在初中已經(jīng)求過數(shù)軸上兩點間的距離，下面請同學(xué)們回憶兩點間(數(shù)軸上)的距離是如何求得的? (學(xué)生作答，老師板書) ［生］(口答)數(shù)軸上兩點之間的距離就等于這兩點所表示的兩個數(shù)的差的絕對值. ［師］(板書) ｜AB｜＝｜x2－x1｜ ［師］那么，我們是否可以用點的坐標(biāo)來求平面內(nèi)任意兩點之間的距離呢?下面我們一起來看幻燈片. (結(jié)合圖形講解并推導(dǎo)出平面內(nèi)兩點間的距離公式). ［師］在這個坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），不妨從點P1，P2分別作x軸的垂線P1M1、P2M2，與x軸交于點M1（x1，0），M2（x2，0）；再從點P1，P2分別作y軸的垂線P1N1，P2N2，與y軸交于點N1（0，y1)，N2（0，y2）.直線P1N1與P2M2相交于點Q，那么： ｜P1Q｜＝｜M1M2｜＝｜x2－x1｜， ｜QP2｜＝｜N1N2｜＝｜y2－y1｜. 于是由勾股定理，可得 ｜P1P2｜2＝｜P1Q｜2＋｜QP2｜2 ＝｜x2－x1｜2＋｜y2－y1｜2 ＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2 由此可得平面內(nèi)P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點間的距離公式： ｜P1P2｜＝ ［師］用此公式可將坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點間的距離用其坐標(biāo)求得. 例如：平面內(nèi)A（2，1），B（3，5） 則：｜AB｜＝ (利用兩點間的距離公式，推導(dǎo)兩角和的余弦公式) ［師］接下來，我們繼續(xù)考慮如何運用兩點間的距離公式，把兩角和的余弦cos （α＋β）用α，β的三角函數(shù)來表示的問題. 首先，我們來回憶一下三角函數(shù)的定義. ［生］(口答)設(shè)α是一個任意角，α的終邊上任意一點P的坐標(biāo)是（x，y），它到原點的距離是r（r＝＞0），那么： sinα＝；cos α＝；tanα＝. (打出課件§4.6.1 B，結(jié)合圖形講解并推導(dǎo)出兩角和的余弦公式) ［師］在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角α，β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4，則點P1，P2，P3，P4的坐標(biāo)分別是： (師生共答)：P1（1，0）， P2（cos α，sinα）， P3（cos （α＋β），sin（α＋β）)， P4（cos （－β），sin（－β））. 師(板書)：由兩點間的距離公式可得： ｜P1P3｜＝ ｜P2P4｜＝ 又由｜P1P3｜＝｜P2P4｜，得 ［cos （α＋β）－1］2＋sin2（α＋β） ＝［cos （－β）－cos α］2＋［sin（－β）－sinα］2 ［生］展開并整理，得2－2cos（α＋β）＝2－2（cos αcos β－sinαsinβ） 即：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ［師］這一式子充分說明了兩角和的余弦cos（α＋β）與α，β的三角函數(shù)cosα，cosβ，sinα，sinβ的關(guān)系. 即兩角和的余弦公式為： cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β）） 這個公式對于任意的角α，β都成立. 但要注意：cos （α＋β）是兩角α與β的和的余弦，它表示角α＋β終邊上任意一點的橫坐標(biāo)與原點到這點的距離之比. 例如：當(dāng)α＝，β＝時， cos（α＋β）＝cos（＋）＝cos＝0 cosα＋cosβ＝cos＋cos＝ ∴cos（α＋β）≠cosα＋cosβ 即，不能把cos（α＋β）按分配律展開，應(yīng)按兩角和的余弦公式展開. 如：cos（＋）＝coscos－sinsin ＝· ＝0≠cos＋cos Ⅲ.課堂練習(xí) (打出課件§4.6.1 C，讓學(xué)生板演練習(xí)) ［生］(板演) 解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30° ＝= ②cos 105° ＝cos （60°＋45°） ＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45° ＝ ［師］(講評)從這兩道練習(xí)題可看出一些非特殊角的三角函數(shù)值可通過特殊角的三角函數(shù)值求得. 如：①中cos（45°＋30°）＝cos 75°＝ ②中cos 105°＝ 75°，105°角均非特殊角，但其可化為兩特殊角之和，所以其余弦值不必通過查表，只要利用兩角和的余弦公式便可求出. 另外，cos 105°＝cos（180°－75°）＝－cos 75° ［生］2.解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β） 將cosαcosβ＝－ cos（α＋β）＝－1代入上式 可得：sinαsinβ＝ ［師］這一練習(xí)提示我們應(yīng)熟練掌握兩角和的余弦公式，以便靈活應(yīng)用其解決一些問題. ［生］3.解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22° ＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝ ［生］4.解：由點P（－3，4）為角α終邊上一點；點Q（－1，－2)為角β終邊上一點， 得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－. ∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝（－）×（－ ［師］對于此類習(xí)題，首先要仔細(xì)分析題意，尋找突破口，以便求解. Ⅳ.課時小結(jié) 1.平面內(nèi)P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點間的距離 公式： ｜P1P2｜＝ 2.兩角和的余弦公式： cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ(C（α＋β）） 3.以上兩公式的推導(dǎo)及應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P40習(xí)題4.6 3.(3)(4)(6)(8) (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P35 2.預(yù)習(xí)提綱 (1)將公式C（α＋β）中的β用－β代替，看會得到什么新的結(jié)果? (2)將公式C（α＋β）中的β用代替，看會得到什么新的結(jié)果? ●板書設(shè)計 §4.6.1 兩角和的余弦 一、平面內(nèi)兩點間的距離公式及推導(dǎo) 若P1（x1，y1），P2（x2，y2) 則｜P1P2｜＝ 二、兩角和與差的三角函數(shù) 兩角和的余弦公式及推導(dǎo) cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 三、例題講解 復(fù)習(xí)回顧 數(shù)軸上兩點間距離 ｜AB｜＝｜x2－x1｜