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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 第五課時(shí) 第三章 ●課 題 §3.3.1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一) ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn=. (二)能力訓(xùn)練要求 1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路. 2.會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題. （三）德育滲透目標(biāo) 1.提高學(xué)生的推理能力. 2.增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識. ●教學(xué)重點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)、理解及應(yīng)用. ●教學(xué)難點(diǎn) 靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題. ●教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)法 結(jié)合所學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中發(fā)現(xiàn)新知識，從而理解并掌握. ●教具準(zhǔn)備 幻燈片一張：記作§3.3.1 A 例:如圖，一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆? ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，在等差數(shù)列中： （1）an－an－1=d(n≥1)，d為常數(shù). （2）若a，A，b為等差數(shù)列，則A=. （3)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均為正整數(shù)） Ⅱ.講授新課 ［師］隨著學(xué)習(xí)數(shù)列的深入，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題. （打出幻燈片§3.3.1 A） 這是一堆放鉛筆的V形架，這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖，看到此圖，大家都會(huì)很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系，而且可以用一個(gè)式子來表示這種關(guān)系，利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么，這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆呢？這個(gè)問題又該如何解決呢？經(jīng)過分析，我們不難看出，這是一個(gè)等差數(shù)求和問題？ 首先，我們來看這樣一個(gè)問題：1+2+3+…+100=？ 對于這個(gè)問題，著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果，你知道他是怎么算的嗎？ 高斯的算法是：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+100=101， 第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：2+99=101， 第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3+98=101， …… 第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050. 這個(gè)問題，它也類似于剛才我們所遇到的問題，它可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n,…的前100項(xiàng)的和.在上面的求解中，我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來表示，且任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項(xiàng)的和.如果我們可歸納出一計(jì)算式，那么上述問題便可迎刃而解. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，即Sn=a1+a2+…+an, ① 把項(xiàng)的次序反過來，Sn又可寫成Sn=an+an－1+…+a1 ② ①+②2Sn=(a1+an)+(a2+an－1)+…+(an+a1) 又∵a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1, ∴2Sn=n(a1+an), 即：Sn= 若根據(jù)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，Sn可寫為：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－1)d]①,把項(xiàng)的次序反過來，Sn又可寫為：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d ②],把①、②兩邊分別相加，得2Sn= =n(a1+an), 即：Sn=. 由此可得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式Sn=. 也就是說，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半. 用這個(gè)公式來計(jì)算1+2+3+…+100=？我們有S100==5050. 又∵an=a1+(n－1)d, ∴Sn= = =na1+d ∴Sn=或Sn=na1+d 有了此公式，我們就不難解決最開始我們遇到的問題，下面我們看具體該如何解決？ （打出幻燈片§3.3.1A） ［師］分析題意可知，這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆，且自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列，可記為{an}，其中a1=1,a120=120,n=120. ［生］解：設(shè)自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列{an}，其中n=120,a1=1,a120=120. 則：S120==7260 答案：這個(gè)V形架上共放著7260支鉛筆. 下面我們再來看一例題： 等差數(shù)列－10,－6,－2,2，…前多少項(xiàng)的和是54? 分析：先根據(jù)等差數(shù)列所給出項(xiàng)求出此數(shù)列的首項(xiàng)，公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解. 解：設(shè)題中的等差數(shù)列為{an}，前n項(xiàng)為的Sn，由題意可知：a1=－10,d=(－6)－(－10)=4，Sn=54 由等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式可得： －10n+×4=54 解之得：n1=9,n2=－3(舍去) 答案：等差數(shù)列－10,－6,－2,2,…前9項(xiàng)的和是54. Ⅲ.課堂練習(xí) ［生］練習(xí)課本P120練習(xí)1，2，3. 1.根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列{an}的Sn; (1)a1=5,an=95,n=10; 解：由Sn=,得Sn==500. (2)a1=100,d=－2,n=50; 解：由Sn=na1+d, 得S50=50×100×+×(－2)=2550. (3)a1=14.5,d=0.7,an=32 解：由an=a1+(n－1)d, 得32=14.5+(n－1)×0.7, 解之得n=26 由Sn=na1+d, 得S26=26×14.5+×0.7=604.5 評述：要熟練掌握等差數(shù)列求和公式的兩種形式，以便根據(jù)題目所給條件靈活選用而求解. 2.（1）求正數(shù)數(shù)列中前n個(gè)數(shù)的和. 解：由題意可知正整數(shù)列為：1，2，3，…，n,…, ∴Sn= (2)求正整數(shù)列中前n個(gè)偶數(shù)的和. 解：由題意可知正整數(shù)數(shù)列為：1，2，3，…，n,…,其中偶數(shù)可組成一新數(shù)列為：2，4，6，…2n,…，設(shè)正整數(shù)列中前n個(gè)偶數(shù)的和為Sn，則Sn==n(n+1). 評述：首先要理解題意，然后綜合使用公式而求解. 3.等差數(shù)列5，4，3，2，…前多少項(xiàng)的和是－30？ 解：由題意可知，a1=5,d=4－5=－1. 由Sn=na1+d, 得－30=5n+×(－1), 解之得：n1=15,n2=－4(舍去) 評述：利用方程思想，解決一些簡單的相關(guān)問題. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要熟練掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式: Sn=及其獲取思路. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P120習(xí)題3.3 1，2 （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P117～P119 2.預(yù)習(xí)提綱：如何靈活應(yīng)用等差數(shù)列求和公式解決相關(guān)問題? ●板書設(shè)計(jì) §3.3.1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一) 等差數(shù)列求和公式： Sn= =na1+d 推導(dǎo)過程 例題