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2019-2020年高一數(shù)學(xué)上冊(cè) 充分條件、必要條件二教學(xué)案 滬教版 教學(xué)目標(biāo)：（1）正確理解充要條件的概念，能在簡(jiǎn)單的情景中判斷結(jié)論成立的充分性與必要性，基本掌握判斷充要條件的方法； 　　 （2）通過(guò)充要條件的學(xué)習(xí)與理解，體會(huì)命題等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法； （3）進(jìn)一步培養(yǎng)簡(jiǎn)單邏輯推理的思維能力，逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。 教學(xué)重點(diǎn)：正確理解充要條件的意義以及充要條件判斷的方法。 教學(xué)難點(diǎn)：正確區(qū)分充要條件以及兩個(gè)命題等價(jià)關(guān)系的判斷。 教學(xué)過(guò)程： 1、 情景引入 1．什么是充分條件？什么是必要條件？ （通過(guò)概念的復(fù)習(xí)，為新知學(xué)習(xí)作必要的認(rèn)知準(zhǔn)備） 2．指出下列各組命題中，“”及“”是否成立。 （1）： ：（ （2）：實(shí)數(shù) ：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 （3）：三角形三邊相等 ：三角形三個(gè)角相等 （（1），；（2）， ；（3）“”且“”） 說(shuō)明：通過(guò)問(wèn)題學(xué)習(xí)，一方面復(fù)習(xí)充分條件與必要條件的有關(guān)概念，同時(shí)引出在命題關(guān)系中，有一類(lèi)關(guān)系既是充分的又是必要的，就是本節(jié)課一起研究的充分必要條件。 充要條件定義： 一般地，如果既有，又有，即有； 這時(shí)，既是的充分條件，又是的必要條件，我們說(shuō)是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。 說(shuō)明：判斷是的什么條件時(shí)，不僅要考察是否成立，即“若則”形式命題是否正確，還得考察是否成立，即“若則”形式命題是否正確。 【題目】： 指出下列各命題中，是的什么條件： （1）： ： （2）： ： （3）： ： （4）： ： （5）： ： 【解答】：（1）必要非充分條件；（2）充分非必要條件；（3）必要非充分條件； （4）充分非必要條件；（5）充要條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：請(qǐng)舉例說(shuō)明：（1）是的充分而不必要條件； （2）是的必要而不充分條件； （3）是的既不充分也不必要條件； （4）是的充要條件。 【解答】：（1）： ，：；（2）：，：； （3）： ，：； （4）：，：； （答案不唯一） 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：從 “充分不必要條件” “必要不充分條件”“充要條件” “既不充分也不必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)填空： （1）“”是“”的 （2）“”是“”的 （3）“”是“”的 （4）“四邊相等”是“四邊形是正方形”的 【解答】：（1）充分不必要條件；（2）必要不充分條件； （3）必要不充分條件；（4）必要不充分條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，辨析題，中，邏輯思維能力 【題目】：判斷下列命題的真假： （1）“”是“”的充分條件 （2）“”是“”的必要條件 （3）“”是“”的充要條件 （4）“”是“”的充分條件 【解答】：（1）假命題；（2）假命題；（3）真命題；（4）假命題。 說(shuō)明：（1）通過(guò)以上四例的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生掌握正確判斷充分不必要條件、 必要不充分條件、充要條件、 既不充分也不必要條件的方法。 （2）舉反例是說(shuō)明或的重要方法。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，邏輯思維能力 【題目】：已知實(shí)系數(shù)一元二次方程?！啊? 是“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”的什么條件？為什么？ 【解答】：我們把方程變形為。 所以“”是“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根” 的充分條件； 反過(guò)來(lái)， 如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ，那么由方程根與系數(shù)的關(guān)系得于是 ，即。 所以，“”是“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”的必要條件； 綜上所述，“”是“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”的充要 條件。 說(shuō)明：通過(guò)例題學(xué)習(xí)，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)充要條件的證明方法。 2、 課堂反饋 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，辨析題，中，邏輯思維能力 【題目】：下列各題中，甲是乙的什么條件？說(shuō)明理由。 (1)甲：， 乙： (2)甲：， 乙： (3)甲：，， 乙：是方程的兩根 (4)甲：兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等 乙：三角形全等 【解答】：（1）必要非充分條件；（2）充分非必要條件； （3）充要條件； （4）充要條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：設(shè)A是C的充分條件，B是C的充分條件，D是C的必要條件，D是B 的充分條件．試問(wèn)： (1)D是C的什么條件？ (2)A是B的什么條件？ 【解答】：（1）充要條件；（2）充分條件 3、 課堂小結(jié) （1）充要條件：若且，則稱是的充要條件。 （2） 判斷是的什么條件，不僅要考察是否成立，還要考察 是否成立。 （3）若 且，則是的充分而不必要條件。 若 且，則是的必要而不充分條件。 若 且，則是的充要條件。 若 且，則是的既不充分也不必要條件。 4、 作業(yè)布置 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“方程有唯一解”的__________條件。 【解答】：充要條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：一次函數(shù)的圖象只過(guò)二、三、四象限的充要條件是_________ 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，中，邏輯思維能力 【題目】：關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)零根的充 要條件是_________________。 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：命題“且”是命題“”的什么條件？ 【解答】：充要條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：設(shè)，，求：的充要條件。 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：求“集合中至多只有一個(gè)元素”的一個(gè) 充要條件。 【解答】：或 【情景資源】 情景1：　 問(wèn)題： 已知：整數(shù)是2的倍數(shù)；：整數(shù)是偶數(shù)。 　　 請(qǐng)判斷： 是的充分條件嗎？是的必要條件嗎？ 　　分析：要判斷是否是的充分條件，就要看能否推出，要判斷是 否是的必要條件，就要看能否推出。問(wèn)題中，故是的充分條件，又，故是的必要條件。 　　 此時(shí)，我們說(shuō)是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。 　 情景2： 1．問(wèn)題1：一個(gè)命題條件的充分性和必要性可分為四類(lèi)，有哪四類(lèi)？ （充分不必要條件；必要不充分條件；既充分又必要條件；既不充分也不必要條件） 本節(jié)課將繼續(xù)研究命題中既充分又必要的條件。 2．問(wèn)題2：請(qǐng)判定下列命題的條件是結(jié)論成立的什么條件？ （1）若是無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)； (2) 若一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則判別式。 分析：命題（1）中因：是無(wú)理數(shù)T是無(wú)理數(shù)，所以“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充分條件；又因：是無(wú)理數(shù)T是無(wú)理數(shù)，所以“是無(wú)理數(shù)”又是“ 是無(wú)理數(shù)”的必要條件。因此“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”既充分又必要的條件。命題（2）一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根既是的充分條件，又是必要條件。 【題目資源】 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：“四邊形是菱形”是“四邊形對(duì)角線互相垂直”的 條件。 【解答】：充分非必要 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)”的 條件。 【解答】：充要 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“”的 條件。 【解答】：必要非充分 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn)的充要條件是 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“一元二次方程有實(shí)數(shù)解”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：A 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：C 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，易，邏輯思維能力 【題目】：二次函數(shù)的值恒為正值的充要條件是（ ） A． B． C．， D．， 【解答】：C 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：C 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，中，邏輯思維能力 【題目】：設(shè)，則成立的充要條件是 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，中，邏輯思維能力 【題目】：“”是“且”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：B 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，中，邏輯思維能力 【題目】：已知：，：，則是的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：D 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，中，邏輯思維能力 【題目】：下面說(shuō)法正確的有（ ）個(gè) （1）“中至少有一個(gè)小于零”是“”的必要非充分條件。 （2）“”是“且”的充要條件。 （3）“”是“或”的充分非必要條件。 . . . . 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：求：“方程有負(fù)數(shù)根”的一個(gè)充要條件。 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：寫(xiě)出函數(shù)與交于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為負(fù)值 的充要條件。 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力 【題目】：求：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立的充要條件。 【解答】：解:令 則 所以即為所求。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力 【題目】：求：關(guān)于的實(shí)系數(shù)二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根 的充要條件。 【解答】：解：設(shè)是方程兩個(gè)不相等的正根 則 所以即為所求。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，邏輯思維能力 【題目】：求證：關(guān)于的實(shí)系數(shù)二次方程有一個(gè)根是1的 充要條件是。 【解答】：證明：（必要性） 若關(guān)于的實(shí)系數(shù)二次方程有一個(gè)根是1。 則將1代入方程知：。 故必要性成立。 （充分性） 若 則，代入即求得 所以命題成立。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力 【題目】：求:關(guān)于的方程至少有一個(gè)實(shí)根的充要條件。 【解答】：解：1.當(dāng)時(shí), , 方程有一個(gè)實(shí)根。 2.當(dāng)時(shí), 方程至少有一個(gè)實(shí)根 且 綜上所述:即為所求。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力 【題目】：（xx遼寧）已知，則滿足關(guān)于的方程的充要條件是（ ） . 存在,使成立； . 存在,使成立； . 對(duì)任意,成立； . 對(duì)任意,成立. 【解答】：解：由于，令函數(shù)， 此時(shí)函數(shù)圖象的開(kāi)口向上,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值。 而滿足關(guān)于的方程，那么， 所以。 因此對(duì)任意,都有。 即對(duì)任意,都有。 故選。