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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題特訓(xùn) 立體幾何 理 一 選擇題 1【xx北京（理）真題8】如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，y，z大于零)，則四面體P—EFQ的體積(　　) A．與x，y，z都有關(guān) B．與x有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān) C．與y有關(guān)，與x，z無(wú)關(guān) D．與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān) 【答案】D 2【xx北京（理）真題7】在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 3【xx北京（理）真題7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的 表面積是 （A） (B) （C） （D） 【答案】．B 4【2011北京（理）真題7】某四面體三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5(xx年西城一模理科)如圖，設(shè)為正四面體表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)P有（ C ） （A） 4個(gè) （B）6個(gè) （C）10個(gè) （D）14個(gè) 6 (xx年豐臺(tái)一模理科)棱長(zhǎng)為2的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體，其中一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的體積是（B） （A） （B）4 （C） （D）3 主視圖 左視圖 俯視圖 7 (xx年石景山一模理科)右圖是某個(gè)三棱錐的三視圖，其中主視圖是等邊三角形，左視圖是直角三角形，俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的體積是（B ） A． B． C． D． 8(xx年延慶一模理科)右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是(A) A． B． C． D． 二 填空題 1【xx北京（理）真題14】.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為 . 【答案】． 2 (xx年西城一模理科)已知一個(gè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均等于2，它的俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，那么它的側(cè)（左）視圖面積的最小值是______. 3 (xx年海淀一模理科)一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為_(kāi)_96__． 4 (xx年朝陽(yáng)一模理科)某三棱錐的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱錐的體積為_(kāi)_____，表面積為_(kāi)_____） 5 (xx年朝陽(yáng)一模理科)如圖，在四棱錐中，底面．底面為梯形，，∥，，．若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__2_ 1 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 1 1 1 三 解答題 1【xx北京（理）真題17】.（本小題14分） 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，在五棱錐 中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱分別交于點(diǎn). （1）求證：； （2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并 求線段的長(zhǎng). （1） 【答案】．證明： （2） 如圖建立空間坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下： 設(shè)的法向量為，, ，即，令得： 又， 直線與平面所成角為 設(shè),由則 又 ,，， 2【xx北京（理）真題17】. (本小題共14分) 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （Ⅲ）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值. 【答案】． 解：（Ⅰ）因?yàn)椋裕? x z y 因?yàn)?，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC， 所以⊥平面． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥． 由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以． D 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，，，． 設(shè)平面的法向量為，則 即 令z=3，則x=0，y=4，所以． 同理可得平面的法向量為． 所以 由題知二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為 （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)D是直線BC1上一點(diǎn)，且 所以． 解得 所以 由，即， 解得． 因?yàn)?，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得． 此時(shí) 3【xx北京（理）真題16】（本小題共14分） 如圖，在中，，，，、分別為、上的點(diǎn)，且//，，將沿折起到的位置，使，如圖． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）若是的中點(diǎn)， 求與平面所成角的大?。? （Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使平面 與平面垂直？說(shuō)明理由． 【答案】．解：（1）， 平面， 又平面， 又， 平面 （2）如圖建系，則，，， ∴, 設(shè)平面法向量為 則∴∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴與平面所成角的大小 （3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則 則， 設(shè)平面法向量為 則∴ ∴ 假設(shè)平面與平面垂直 則， ∴，， ∵ ∴不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直 4【2011北京（理）真題16】（本小題共14分） 如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，. (Ⅰ)求證：平面 （Ⅱ）若求與所成角的余弦值； （Ⅲ）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng). 【答案】．證明：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形， 所以AC⊥BD. 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. （Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O. 因?yàn)椤螧AD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=. 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，則 P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）. 所以 設(shè)PB與AC所成角為，則 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 設(shè)P（0，－，t）（t>0）， 則 設(shè)平面PBC的法向量, 則 所以 令則 所以 同理，平面PDC的法向量 因?yàn)槠矫鍼CB⊥平面PDC, 所以=0，即 解得 所以PA= 5 (xx年?yáng)|城一模理科) 吧 A B A1 B1 D C E D1 C1 6 (xx年西城一模理科)如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都是矩形，是的中點(diǎn)，，. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求證：// 平面； （Ⅲ）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長(zhǎng)度. （Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面是矩形， 所以 ，，又因?yàn)?， 所以 平面， ………………2分 因?yàn)?平面， 所以 . …………4分 （Ⅱ）證明：因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形. 連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn). 在中，因?yàn)?，，所?.……………6分 A B A1 B1 D C E D1 C1 z y x F G 又因?yàn)?平面，平面，所以 平面. ………8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知， 又因?yàn)?，， 所以 平面. ………………9分 設(shè)G為AB的中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，EG，EC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸 如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則. 設(shè)平面法向量為， 因?yàn)?，由 得 令，得. …………11分 設(shè)平面法向量為，因?yàn)?， 由 得令，得.…………12分 由平面與平面所成的銳二面角的大小為， 得 ， ……………13分 解得. ………………14分 7 (xx年海淀一模理科) 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，于，延長(zhǎng)AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示． （Ⅰ）求證：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC –B的余弦值． E B C A D F （Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，請(qǐng)指明點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （Ⅰ）因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，又在中，于，平面 所以平面．————————————————3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）結(jié)論平面可得． 由題意可知，又． 如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系——4分 不妨設(shè)，則． 由圖1條件計(jì)算得，，， 則———————5分 ． 由平面可知平面DCB的法向量為．———————6分 設(shè)平面的法向量為，則即 令，則，所以．——————————8分 平面DCB的法向量為所以， 所以二面角的余弦值為—————————————9分 （Ⅲ）設(shè)，其中．由于， 所以，其中————————————10分 所以————————————11分 由，即———12分 解得．————13分 所以在線段上存在點(diǎn)使，且．————————14分 8 (xx年朝陽(yáng)一模理科)如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面底面．為等腰直角三角形，且．，分別為底邊和側(cè)棱的中點(diǎn)． A E B C D P F （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求證：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． （Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，． 因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以是△的中位線． A E B C D P F yA xA zA 所以∥，且．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且底面為正方形， 所以，且∥．所以∥，且． 所以四邊形是平行四邊形．所以∥．又平面，平面， 所以平面．…………………4分 （Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，，且平面平面，所以平面? 所以，．又因?yàn)闉檎叫?，所以，所以兩兩垂直? 以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸， 建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．由題意易知， 設(shè)，則 ，，，，，，． 因?yàn)?，，? 且， 所以，． 又因?yàn)?，相交于，所以平面．…………?9分 （Ⅲ）易得，． 設(shè)平面的法向量為，則所以即 令，則．由（Ⅱ）可知平面的法向量是， 所以．由圖可知，二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為．…………14分 9 (xx年豐臺(tái)一模理科)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn).（Ⅰ）求證：DA1⊥ED1 ； （Ⅱ）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求的值； （Ⅲ）寫(xiě)出點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的 位置（結(jié)論不要求證明）. 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A（1，0，0）， B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，設(shè)E(1,m,0)（0≤m≤1） （Ⅰ）證明：， 所以DA1⊥ED1. ----4分 （Ⅱ）設(shè)平面CED1的一個(gè)法向量為,則 ，而， 所以取z=1,得y=1,x=1-m， 得. 因?yàn)橹本€DA1與平面CED1成角為45o，所以 所以，所以，解得m=.-----11分 （Ⅲ）點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值為，此時(shí)點(diǎn)E在A點(diǎn)處.------14分 10(xx年石景山一模理科)如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是，是的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求二面角的大?。? （Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)， 使得平面平面，若存在， 求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由． （Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)， 因?yàn)槿庵钦庵? 所以四邊形是矩形， 所以為的中點(diǎn)．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)， 所以是三角形的中位線，…………………………2分 所以∥．…………………………3分 因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面．…………?分 （Ⅱ）解：作于，所以平面， 所以在正三棱柱中如圖建立空間直角坐標(biāo)系． 因?yàn)椋?，是的中點(diǎn)． 所以，，，…………5分 所以，， ．設(shè)是平面的法向量， 所以即 令，則，， 所以是平面的一個(gè)法向量．……………6分 由題意可知是平面的一個(gè)法向量，………7分 所以．………………8分 所以二面角的大小為．…………………………9分 （Ⅲ）設(shè)，則， 設(shè)平面的法向量，所以 即 令，則，，，…………………12分 又，即，解得， 所以存在點(diǎn)，使得平面平面且．…………………………14分 11 (xx年順義一模理科) 如圖在四棱錐中，底面是菱形，， 平面平面，，為的中點(diǎn)，是棱 上一點(diǎn)，且. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）證明：∥平面 （Ⅲ）求二面角的度數(shù). 結(jié)，底面是菱形，且， 是等邊三角形，由（Ⅰ）平面. . 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸軸軸建立空間直角坐標(biāo)系 則.————10分 設(shè)平面的法向量為，，注意到∥ ，解得是平面的一個(gè)法向量——12分 12 (xx年延慶一模理科) 在四棱錐中，平面， 底面是正方形，且，分別是棱的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：平面； F A B E P D C （Ⅱ）求證：平面； （Ⅲ）求二面角的大?。? （Ⅰ）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接 ∵分別是的中點(diǎn)，∴， ∴，∴是平行四邊形，∴………………2分 ∵平面平面，∴平面………………3分 （Ⅱ）∵，∴，………………4分 ∵，∴，又∵，∴平面， ∴，………………6分∵與相交，∴平面， ∴平面．………………7分 （Ⅲ）以分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，…8分 ∵，∴，，， 設(shè)是的中點(diǎn)，連接∵平面， ∴同理可證平面，∴是平面的法向量， ………………9分 ，設(shè)平面的法向量，則 ∴令，則∴…………12分 ∴．………………13分 ∴二面角的大小為………………14分