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1、數(shù)學(xué) 三角形與全等三角形 第五章 圖形的性質(zhì) (一 ) 1 三角形的邊、角關(guān)系 三角形的任意兩邊之和 ____第三邊；三角形的內(nèi)角和等于 2 三角形的分類 按角可分為 和 ， 按邊可分為 和 大于 180 直角三角形 斜三角形 不等邊三角形 等腰三角形 4.全等三角形的性質(zhì)和判定 (1)性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 ， 對(duì)應(yīng)角相等注意：全等三角 形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線相等；對(duì)應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的 周長(zhǎng)、面積也相等 (2)判定：

2、 對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (SAS)； 對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (ASA)； 對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (AAS)； ____對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (SSS)； 對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 (HL) 兩邊和夾角 兩角和夾邊 兩角和其中一角的對(duì)邊 三邊 斜邊和一條直角邊 1 證明三角形全等的三種基本思路 (1)有兩 邊對(duì)應(yīng) 相等 時(shí) ， 找 夾 角相等或第三 邊對(duì)應(yīng) 相等； (2)有一 邊 和一角 對(duì)應(yīng) 相等

3、時(shí) ， 找另一角相等或 夾 等角的另一 邊 相等； (3)有兩個(gè)角 對(duì)應(yīng) 相等 時(shí) ， 找一 對(duì)邊對(duì)應(yīng) 相等 另外 ， 在 尋 求全 等條件 時(shí) ， 要善于挖掘 圖 形中公共 邊 、公共角、 對(duì)頂 角等 隱 含條 件 2 證明幾何題的四種思考方法 (1)順 推分析：從已知條件出 發(fā) ， 運(yùn)用相 應(yīng) 的定理 ， 分 別 或 聯(lián) 合 幾個(gè)已 知條件加以 發(fā) 展 ， 一步一步地去靠近欲 證 目 標(biāo) ； (2)逆推分析：從欲 證結(jié)論 入手 ， 分析達(dá)到欲 證 的可能 途徑 ， 逐 步溝通它與已知條件的 聯(lián) 系 ， 從而找到 證 明 方法； (3)順 推分析與逆推分析相 結(jié) 合； (4)聯(lián)

4、想分析： 對(duì) 于一道與 證 明 過(guò) 的 題 目有 類 似之 處 的新 題 目 ， 分析它 們 之 間 的相同點(diǎn)與不同點(diǎn) ， 嘗試 把 對(duì) 前 一道 題 的思考 轉(zhuǎn) 用 于 現(xiàn) 在的 題 目中 ， 從而找到它的解法 1 ( 2015 大連 ) 下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是 ( ) A 1 ， 2 ， 3 B 1 ， 2 ， 3 C 3 ， 4 ， 8 D 4 ， 5 ， 6 2 ( 2015 長(zhǎng)沙 ) 如圖 ， 過(guò) A BC 的頂點(diǎn) A ， 作 BC 邊上的高 ， 以下作法正 確的是 ( ) , A) , B) , C) , D) D A 3 (

5、 2015 柳州 ) 如圖 ， 圖中 1 的大小等于 ( ) A 40 B 50 C 60 D 70 4 ( 20 15 柳州 ) 如圖 ， 下列條件中 ， 不能證明 ABC DCB 的是 ( ) A AB DC ， AC DB B AB DC ， ABC DCB C BO CO ， A D D AB DC ， DBC ACB D D 5 (2015泰安 )如圖 ， AD是 ABC的角平分線 ， DE AC， 垂 足為點(diǎn) E， BF AC交 ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F， 若 BC恰好平分 ABF

6、， AE 2BF.給出下列四個(gè)結(jié)論： DE DF； DB DC； AD BC； AC 3BF， 其中正確的結(jié)論共有 ( ) A 4個(gè) B 3個(gè) C 2個(gè) D 1個(gè) A 【例 1 】 ( 1) ( 2015 泉州 ) 已知 ABC 中 ， AB 6 ， BC 4 ， 那么邊 AC 的長(zhǎng)可能是下列哪個(gè)值 ( ) A 1 1 B 5 C 2 D 1 (2) ( 2015 巴中 ) 若 a ， b ， c 為三角形的三邊 ， 且 a ， b 滿足 a 2 9 (b 2) 2 0 ， 則第三邊 c 的取值范圍是 B

7、1 c 5 【 點(diǎn)評(píng) 】 三角形三 邊 關(guān)系性 質(zhì) 的 實(shí)質(zhì) 是 “ 兩點(diǎn)之 間 ， 線 段最 短 ” 根據(jù)三角形的三 邊 關(guān)系 ， 已知三角形的兩 邊 a， b， 可確 定三角形第三 邊長(zhǎng) c的取 值 范 圍 |a b| c a b. 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (1)(2014宜昌 )已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為 3和 8， 則該三角形 第三邊的長(zhǎng)可能是 ( ) A 5 B 10 C 11 D 12 (2)(2014淮安 )若一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為 2， 3， x， 則 x的值可 以為 ____ (只需填一個(gè)整數(shù) ) B 4 【 例 2】 (1)(2014赤峰 )如圖 ， 把一塊含有 30 角

8、 ( A 30 ) 的直角三角板 ABC的直角頂點(diǎn)放在矩形桌面 CDEF的一個(gè)頂點(diǎn) C處 ， 桌面的另一個(gè)頂點(diǎn) F與三角板斜邊相交于點(diǎn) F， 如果 1 40 ， 那么 AFE ( ) A 50 B 40 C 20 D 10 (2)一個(gè)零件的形狀如圖所示 ， 按規(guī)定 A 90 ， B和 C分別 是 32 和 21 ， 檢驗(yàn)工人量得 BDC 148 ， 就斷定這個(gè)零件不 合格 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由 D 解：延長(zhǎng) BD交 AC于 E. DEC是 ABE的外角 ， DEC A B 90 32 122 .同理 BDC C DEC 21 122 143 14

9、8 ， 這個(gè)零件不合格 【 點(diǎn)評(píng) 】 有關(guān)求三角形角的度數(shù)的 問(wèn)題 ， 首先要明確所求的角 和哪些三角形有密切 聯(lián) 系 ， 若沒有直接 聯(lián) 系 ， 可添加 輔 助 線 構(gòu)建 “ 橋 梁 ” 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (1) ( 2015 綿陽(yáng) ) 如圖 ， 在 ABC 中 ， B 、 C 的平分線 BE ， CD 相 交于點(diǎn) F ， ABC 42 ， A 60 ， 則 BFC ( ) A 1 18 B 1 19 C 120 D 121 , 第 ( 1) 題圖 ) , 第 ( 2) 題圖 ) (2) 如圖 ， P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)

10、 ， 延長(zhǎng) BP 交 AC 于點(diǎn) D ， 用 “ ” 表示 BPC ， B DC ， BA C 之間的關(guān)系 C 解： BPC是 PCD的外角 ， BPC BDC， 同理 BDC BAC， BPC BDC BAC 【 例 3】 (1)(2015莆田 )如圖 ， AE DF， AE DF， 要使 EAC FDB， 需要添加下列選項(xiàng)中的 ( ) A AB CD B EC BF C A D D AB BC A (2) ( 2015 云南 ) 如圖 ， B D ， 請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 ( 不得添加輔助線 ) ， 使得 ABC A DC ， 并說(shuō)明理由

11、 解：添加 BAC DAC . 理由如下：在 ABC 與 A DC 中 ， B D ， BAC D A C ， AC AC ， ABC A DC ( AAS ) 【 點(diǎn)評(píng) 】 判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有： SSS， SAS， ASA， AAS， HL.注意： AAA， SSA不能判定兩個(gè)三角形全等 ， 判定兩個(gè)三角形全等 時(shí) ， 必 須 有 邊 的參與 ， 若有兩 邊 一角 對(duì)應(yīng) 相等 時(shí) ， 角必 須 是兩 邊 的 夾 角 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 (1)(2015泰州 )如圖 ， ABC中 ， AB AC， D是 BC的中點(diǎn) ， AC的垂直平分線分別交

12、 AC， AD， AB于點(diǎn) E， O， F， 則圖中全等 三角形的對(duì)數(shù)是 ( ) A 1對(duì) B 2對(duì) C 3對(duì) D 4對(duì) D (2)(2014邵陽(yáng) )如圖 ， 已知點(diǎn) A， F， E， C在同一直線上 ， AB CD ， ABE CDF， AF CE. 從圖中任找兩組全等三角形； 從 中任選一組進(jìn)行證明 ( 2 ) ABE CDF ， AFD CEB ； AB CD ， 1 2 ， AF CE ， AF EF CE EF ， 即 AE FC ， 在 ABE 和 CDF 中 ， 1 2 ， ABE C D

13、F ， AE CF ， ABE CDF ( AA S ) 【例 4 】 已知：如圖 ， 在 ABC 中 ， D 是 BC 的中點(diǎn) ， ED DF ， 求 證： BE CF EF . 解：證明：延長(zhǎng) ED 到 M ， 使 DM ED ， 連接 CM ， FM. D 是 BC 的 中點(diǎn) ， BD CD. 在 E D B 與 MDC 中 ， BD DC ， EDB CDM ， ED DM ， EDB MDC ( SAS ) ， BE CM. 在 FMC 中 ， CF CM MF ， 又 ED DF ， ED DM ，

14、EF FM. CF CM EF ， 即 CF BE EF 【點(diǎn)評(píng)】 利用中 線 加倍延 長(zhǎng) 法 ， 把 BE ， CF ， EF 集中在一個(gè) 三角形中 ， 利用三角形的兩 邊 之和大于第三 邊 來(lái) 證 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 (2015黑龍江 )如圖 ， 四邊形 ABCD是正方形 ， 點(diǎn) E在直線 BC 上 ， 連接 AE.將 ABE沿 AE所在直線折疊 ， 點(diǎn) B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) B， 連接 AB并延長(zhǎng)交直線 DC于點(diǎn) F. (1)當(dāng)點(diǎn) F與點(diǎn) C重合時(shí)如圖 ， 易證： DF BE AF(不需證明 )； (2)當(dāng)點(diǎn) F在 DC的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖 ， 當(dāng)點(diǎn) F在 CD的延長(zhǎng)線

15、上時(shí)如 圖 ， 線段 DF， BE， AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想 ， 并選擇一種情況給予證明 解： (1)由折疊可得 AB AB， BE BE， 四邊形 ABCD是正方 形 ， AB DC DF， BCE 45 ， BE BF， AF AB BF， 即 DF BE AF (2)圖 的結(jié)論： DF BE AF；圖 的結(jié)論： BE DF AF； 圖 的證明：延長(zhǎng) CD到點(diǎn) G， 使 DG BE， 連接 AG， 需證 ABE ADG， CB AD， AEB EAD， BAE BAE， BAE DAG， GAF DAE， AGD GAF，

16、 GF AF， BE DF AF；圖 的證明：在 BC上取 點(diǎn) M， 使 BM DF， 連接 AM， 需證 ABM ADF， BAM FAD， AF AM ABE ABE BAE EAB， MAE DAE， AD BE， AEM DAE， MAE AEM， ME MA AF， BE DF AF 留心 “ 邊邊角 ” 試題 如圖 ， 已知 D 是 A BC 的邊 BC 上的一點(diǎn) ， E 是 AD 上的一點(diǎn) ， EB EC ， 1 2. 求證： BAE CAE. 錯(cuò)解 證明：在 AE B 和 AEC 中 ， AE A

17、E ， EB EC ， 1 2 ， AEB AEC ( SSA ) ， BAE CAE. 剖析 先看一個(gè)事 實(shí) ， 如 圖 ， 將等腰 ABC 的底 邊 BC 延 長(zhǎng)線 上的任一點(diǎn)和 頂 點(diǎn) A 相 連 ， 所得的 DAB 和 D AC 無(wú)疑是不全等的 ， 由此可知 ， 有兩 邊 及 其一 邊 的 對(duì) 角 對(duì)應(yīng) 相等的 兩個(gè)三角形 ( 簡(jiǎn) 稱 “ 邊邊 角 ” ) 不 一定全等 因此 ， 在判定三角形全等 時(shí) ， 一定要留心 “ 邊邊 角 ” ， 別 上當(dāng) 喲 正解 證明： EB EC， 3 4.又 1 2， 1 3 2 4， 即 ABC ACB， AB AC.在 AEB和 AEC中 ， EB EC， 1 2， AB AC， AEB AEC(SAS)， BAE CAE