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1、第三章 第二節(jié) 點的投影 在學習中要把握好三投影面體系的轉(zhuǎn)換規(guī)律 ， 并逐步具備分析和 解決空間問題的能力 。 點是最基本的幾何元素 ， 雖然簡單但點的投影作圖方法和點的投 影規(guī)律是后面學習直線 、 平面以及立體投影的基礎(chǔ) 。 一 、 點的三面投影 設(shè)第一分角內(nèi)有一 A點 ， 過 A點分別向 三投影面投射即得 A點的三面投影 。 點及其投影的表示方法： 空間的點用大寫字母表示 點的投影用小寫字母 ， 加上 ， 或 。 為表示點的各投影的對應(yīng)關(guān)系用細線相連接 。 點的投影連線與投 影軸的交點分別記做 ax、 ay、 az。 3 2 點的投影 如 A 水平投影 a，正面投影 a，側(cè)面投影 a。 第

2、三章 第二節(jié) 點的投影 一 、 點的三面投影 設(shè)第一分角內(nèi)有一 A點 ， 過 A點分別向三投影面投射即得 A點的三面 投影 。 將三投影面展開便得到 點的三面投影圖點的三面投影圖如下圖所示 。 第三章 第二節(jié) 點的投影 二 、 點的三面投影與直角坐標的關(guān)系 為了研究問題方便 ， 可將三投影面體系視為一空間直角坐標 系 。 這樣就可將 H、 V、 W三投影面視為坐標平面 ， X、 Y、 Z三 投影軸視為坐標軸 ， 投影原點 O視為坐標原點 。 引入坐標系的概念后 ， 就可用坐標說明點的位置 。 三個有序的坐標即 X、 Y、 Z可確定惟一一個點的位置 點的坐標表示方法： A（ X， Y， Z） 例

3、如： A（ 15， 20， 8） 、 B（ 5， 30， 25） 第三章 第二節(jié) 點的投影 二 、 點的三面投影與直角坐標的關(guān)系 對照下圖試分析點的每一個投影能反映該點三個坐標中的幾 個坐標 ？ 點的每個投影能反映該點的兩個坐標 點的正面投影 a反映出 x、 z坐標 點的水平投影 a反映出 x、 y坐標 點的側(cè)面投影 a反映出 y、 z坐標 結(jié)論：任給點的兩個投影 ， 該兩投影均能反映點的三個坐標 。 第三章 第二節(jié) 點的投影 二 、 點的三面投影與直角坐標的關(guān)系 點的坐標還表示了點到投影面的距離 。 XA=a ayh=a az=A 點到 W面的距離 YA=a ax=a az=A 點到 V面的

4、距離 ZA=a ax=a ayw=A 點到 H面的距離 第三章 第二節(jié) 點的投影 三 、 點的三面投影規(guī)律 點的三面投影規(guī)律為： 1.點的正面投影與水平投影的連線垂直于 OX軸，即 a ao x 2.點的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于 OZ軸，即 aao z 3.點的水平投影與側(cè)面投影具有相同的 Y坐標，即 a ax=a az 根據(jù)上述規(guī)律就可準確作出點的三面投影圖。 第三章 第二節(jié) 點的投影 三 、 點的三面投影規(guī)律 例 1.已知點 A（ 30、 15、 25） 求作 A點的三面 投影 。 1.分別在 X、 Y、 Z軸上量取 A點的坐標 30、 15和 25， 得 ax、 ayh、 ayw和

5、 az點 2.過 ax、 ayh、 ayw和 az 點作 A點投影的連線 3.各連線的交點即為 所求 作圖步驟： 第三章 第二節(jié) 點的投影 三 、 點的三面投影規(guī)律 例 2: 已知 B（ 40、 30、 0） 作出 B點的三面投影 。 問題：根據(jù) B點的坐標分析 B點的位置 。 因 B點的坐標 （ 40、 30、 0） 中 Z坐標為 0， 故 B點位于 H面上 。 點的位置有如下說法： 1.空間的點 ， 如圖中的 A點 2.投影面上的點 ， 即位于 V、 H 或 W投影面上 ， 如 B點 當點位于 H面 、 W面以及 Y軸上時 ， 要注意分析點的各個投影的位置 。 投影面上的點的三個坐標中有一

6、個為 0 點在 V面上 Y坐標為 0 在 H面上 Z坐標為 0 在 W面上 X坐標為 0 第三章 第二節(jié) 點的投影 三 、 點的三面投影規(guī)律 例 2: 已知 B（ 40、 30、 0） 作出 B點的三面 投影 。 作圖步驟： 1.在 X、 Y軸上量取 B 點坐標 2.作點的投影的連線 ，各連線的交點為所求 要注意的是： B點的側(cè)面投影 b應(yīng)在 Yw軸上，而不應(yīng)畫在 Yh軸上。 第三章 第二節(jié) 點的投影 三 、 點的三面投影規(guī)律 例 3.已知 B點的兩面投影 ， 補出 B點的第三投影 。 作圖分析：由于點的任兩投影都能反映 該點的三個坐標 ， 因此便可按點的投影 規(guī)律作出點的第三投影 。 作圖步

7、驟： 1.按點的投影規(guī)律作點的投影連線 2.投影連線的交點即為 B點的水平投影 第三章 第二節(jié) 點的投影 四 、 兩點的相對位置 兩點間的相對位置是指空間兩點之間的上下 、 左右和前后的位置 關(guān)系 。 判斷方法： 試判別圖中 A、 B兩點的相對位置。 根據(jù)給出的兩點的坐標判斷相對位置。 兩點中， X坐標大的點在左； Y坐標大的點 在前； Z坐標大的點在上。 A點在 B點之上方 、 后方、 右方 點的坐標是作點的投影圖和判斷兩點間 位置關(guān)系的基礎(chǔ)，也是分析和解決空間問題 的關(guān)鍵。 應(yīng)充分理解點的投影與其坐標的關(guān)系， 尤其要熟悉三投影面的轉(zhuǎn)換規(guī)律。 第三章 第二節(jié) 點的投影 五 、 重影點及其可見

8、性 重影點：若兩個點在某一投影面上的投影重合成一點則稱為重影 點 ， 如圖所示 。 從圖中可看出： A、 B兩點的 X、 Y坐 標相等； C、 D兩點的 X、 Z坐標相等 。 試分析 A、 B兩點哪兩個坐標相等 ， C、 D 兩點哪兩個坐標相等 ？ 問題：重影的兩點其坐標有何特點 ？ 重影點的坐標中有兩個相等 。 并由此可分析出當兩點在 W面重影時 , 兩點的 Y、 Z坐標相等 。 當兩點的投影重合時就會有一個點的投影被擋住 ， 作圖時要判斷出被擋住 的點 ， 即是判別重影點的可見性可通過兩重影點的不相等的坐標來判別 。 一定 是坐標大的點擋住坐標小的點 。 注意：判別后要將不可見投影用括號括

9、住表示該點投影的字母 。 第三章 第二節(jié) 點的投影 五 、 重影點及其可見性 判別圖中各點的可見性 2.C、 D兩點在 V面重影 ， 因 D點的 Y坐標小故 D點的正面投影不可見 。 1.從圖中可看出 A、 B在 H面上的投影重合 ， 為水平重影點 。 由于 A 點的 Z坐標比 B點的 Z坐標大故 B點的水平投影不可見 。 第三章 第二節(jié) 點的投影 例：已知點 A（ 40、 15、 30） 求作 A點的直觀圖 。 由于直觀圖具有一定的空間效果 ， 因此在分析問題時常需要繪制 這樣的圖形 1.在三坐標軸上分別 量取該點的三個坐標 ， 得 ax、 ay和 az點 三投影面體系直觀圖 2.過 ax、 ay和 az點作相 應(yīng)坐標軸的平行線，各線 的交點為點的投影 3.分別過 a、 a、 a作 三坐標軸的平行線，三 條線的交點為空間 A點 作圖步驟：