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專題四 函數(shù)的應用,函數(shù)的應用是安徽中考每年必考題型,成為安徽卷中的亮點題目,形式設(shè)置簡潔流暢,背景鮮活,體現(xiàn)初高中數(shù)學知識的銜接.尤其對函數(shù)的實際應用題,應注意第一步由實際問題抽象出數(shù)學問題;第二步解決數(shù)學問題,從而使實際問題得到解決.其間應注意對轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程、待定系數(shù)法等思想方法的靈活運用.如安徽2009年第23題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應用,2012年第21題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用,2013年第22題是復合型函數(shù)的綜合應用,2014年第20題是方程組與一次函數(shù)綜合題,2015年第22題,考查了二次函數(shù)在幾何圖形最值問題中的應用,2016年第20題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應用問題,第22題是二次函數(shù)與圖形面積最值問題相結(jié)合的綜合問題.預計2017年安徽中考仍會出現(xiàn)函數(shù)應用的綜合題,尤其是帶有圖象信息的綜合實際應用題.,函數(shù)的實際應用題是近年中考的熱點試題,這類題來源于生活和生產(chǎn)實踐,貼近生活,具有較強的操作性和實踐性,所以參考條件多,思維有一定的深度,解答方法靈活多樣,解決問題時要慎于思考.題型主要包括:根據(jù)實際意義建模;利用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識對實際問題中的方案進行比較等. 安徽中考試卷以實際生活為背景命制題目,體現(xiàn)數(shù)學與生活的聯(lián)系.把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化在生活背景中是近年來經(jīng)常出現(xiàn)的命題方式,無不體現(xiàn)數(shù)學在實際生活中的應用. 純函數(shù)型情境應用題:解決這類問題的關(guān)鍵是針對背景材料,設(shè)定合適的未知數(shù),找出相等關(guān)系,建立方程(組)、不等式、函數(shù)型模型來解決. 幾何背景下的函數(shù)情境應用題:解決這類問題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上,對問題進行恰當?shù)某橄笈c概括,建立恰當?shù)膸缀文Ｐ?從而確定某種幾何關(guān)系,利用相關(guān)幾何知識來解決.幾何求值問題,當未知量不能直接求出時,一般需設(shè)出未知數(shù),繼而建立方程(組),用解方程(組)的方法去求結(jié)果,這是解題中常見的具有導向作用的一種思想.,對于幾何圖形與函數(shù)圖象結(jié)合的綜合題型,解題的關(guān)鍵是利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)確定點的坐標,聯(lián)想到點的坐標和線段長之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,一般作垂直于坐標軸的線段,構(gòu)建直角三角形,利用勾股定理、相似、三角函數(shù)等相關(guān)知識求出點的坐標,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,結(jié)合圖象也可進一步解決幾何圖形的其他問題.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型1 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用 典例1 (2016·淮北三模)如圖,在第一象限內(nèi),一次函數(shù)y=k1x-2的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于點A(4,a),與y軸、x軸分別相交于B,C兩點,且BC=CA. (1)求反比例函數(shù)的解析式; (2)根據(jù)圖象,試求出在第一象限內(nèi),一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍; (3)若M(m,n)(0m4)為反比例函數(shù)y= 圖象上一點,過M點作MN⊥x軸交一次函數(shù)y=k1x-2的圖象于N點,若以M,N,A為頂點的三角形是直角三角形,求M點的坐標.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、全等三角形的判定及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及垂直的性質(zhì).(1)過點A作AE⊥x軸于點E,通過證明△ACE≌△BCO得出AE=BO,求出線段BO的長度,從而得出點A的坐標,即可求出反比例函數(shù)的解析式;(2)由點A的坐標,結(jié)合兩函數(shù)的圖象即可求解;(3)由點A的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,由MN垂直x軸和直線AB的解析式即可得出點N的坐標,由△AMN為直角三角形可得出關(guān)于m的一元二次方程,解方程即可求出m值,將其代入點M的坐標即可得出結(jié)論.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【答案】 (1)過點A作AE⊥x軸于點E. ∵AE⊥x軸,BO⊥OC,∴∠AEC=∠BOC=90°, ∴△ACE≌△BCO,∴AE=BO. 令一次函數(shù)y=k1x-2中x=0,則y=-2,∴BO=AE=2. ∴點A的坐標為(4,2),,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(2)觀察函數(shù)圖象可知:當0x4時,一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方, ∴在第一象限內(nèi),一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍為0x4.,∵點A(4,2)在一次函數(shù)y=k1x-2的圖象上, ∴2=4k1-2,解得k1=1,∴一次函數(shù)的解析式為y=x-2. ∵MN⊥x軸交一次函數(shù)y=x-2的圖象于N點, ∴點N的坐標為(m,m-2). ∵以M,N,A為頂點的三角形是直角三角形, ∴只能是AM⊥AN,即 =-1, ∴m2-6m+8=0,解得m1=2,m2=4(舍去). ∴點M的坐標為(2,4).,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2 二次函數(shù)圖象的實際應用(拋物線型),題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查三角函數(shù)、運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、解一元二次方程等知識.(1)過點P作PH⊥OA于點H,如圖,設(shè)PH=3x,運用三角函數(shù)可得OH=6x,AH=2x,根據(jù)條件OA=4可求出x,即可得到點P的坐標;(2)若水面上升1m后到達BC位置,如圖,運用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式,然后求出y=1時x的值,就可解決問題.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(2)若水面上升1 m后到達BC位置,如圖, 過點O(0,0),A(4,0)的拋物線的解析式可設(shè)為y=ax(x-4),,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型3 二次函數(shù)的實際應用 典例3 (2016·武漢)某公司計劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售,每年產(chǎn)銷x件.已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如下表:,其中a為常數(shù),且3≤a≤5. (1)若產(chǎn)銷甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為y1萬元、y2萬元,直接寫出y1,y2與x的函數(shù)關(guān)系式; (2)分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤; (3)為獲得最大年利潤,該公司應該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品?請說明理由.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查實際問題中利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值問題.(1)根據(jù)題意,直接寫出關(guān)系式即可;(2)在(1)的結(jié)論上,對y1和y2進行討論,求出兩種產(chǎn)品的最大年利潤;(3)可在(2)的結(jié)論上,對a進行分類討論,得出結(jié)論. 【答案】(1)y1=(6-a)x-20(00, ∴y1隨x的增大而增大. ∴當x=200時,(y1)max=1180-200a(3≤a≤5). 乙產(chǎn)品:y2=-0.05x2+10x-40(0x≤80), ∴當0x≤80時,y2隨x的增大而增大. ∴當x=80時,(y2)max=440. ∴產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品的最大年利潤為(1180-200a)萬元,產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品的最大年利潤為440萬元.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(3)當1180-200a440,即3≤a3.7時,此時選擇甲產(chǎn)品; 當1180-200a=440,即a=3.7時,此時選擇甲、乙產(chǎn)品都可以; 當1180-200a440,即3.7a≤5時,此時選擇乙產(chǎn)品. ∴當3≤a3.7時,產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品年利潤最大; 當a=3.7時,產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品都可以; 當3.7a≤5時,產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品年利潤最大.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型4 二次函數(shù)背景下的簡單的幾何動點問題 典例4 (2016·湖北襄陽)如圖,已知點A的坐標為(-2,0),直線y=- x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A,B,C三點. (1)請直接寫出B,C兩點的坐標,拋物線的解析式及頂點D的坐標; (2)設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P是第一象限內(nèi)拋物線上一點,過點P作x軸的垂線,交線段BC于點F,若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標; (3)設(shè)點M是線段BC上的一動點,過點M作MN∥AB,交AC于點N,點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動,運動時間為t(秒),當t(秒)為何值時,存在△QMN為等腰直角三角形?,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查二次函數(shù)的綜合問題,涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)等知識.(1)分別令y=0和x=0,代入y=-x+3即可求出B和C的坐標,然后設(shè)拋物線的交點式為y=a(x+2)·(x-4),把點C的坐標代入即可求解;(2)若四邊形DEFP為平行四邊形,則DP∥BC,求出直線DP的解析式,聯(lián)立拋物線解析式和直線DP的解析式,即可求出P的坐標;(3)由題意可知,0≤t≤6,若△QMN為等腰直角三角形,則共有三種情況:①∠NMQ=90°;②∠MNQ=90°;③∠NQM=90°,分類討論求解即可.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(2)當DP∥BC時,四邊形DEFP是平行四邊形, 設(shè)直線DP的解析式為y=mx+n,,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(3)由題意可知0≤t≤6, 設(shè)直線AC的解析式為y=m1x+n1, 把A(-2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1,得,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,如圖3,當∠NQM=90°時, 過點Q作QE⊥MN于點E,過點M作MF⊥x軸于點F,則四邊形EQFM是正方形. 設(shè)QE=a,,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型5 一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應用,(1)求k值; (2)當t=1時,求AB的長,并求直線MP與拋物線L的對稱軸之間的距離; (3)把拋物線L在直線MP左側(cè)部分的圖象(含與直線MP的交點)記為G,用t表示圖象G最高點的坐標.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查二次函數(shù)的綜合問題、待定系數(shù)法、平移等知識.(1)設(shè)點P(x,y),只要求出xy即可解決問題;(2)先求出A,B坐標,再求出對稱軸以及點M坐標即可解決問題;(3)根據(jù)對稱軸的位置即可判斷,當對稱軸在直線MP左側(cè),L的頂點就是最高點,當對稱軸在MP右側(cè),L與MP的交點就是最高點. 【答案】 (1)設(shè)點P(x,y),則MP=y,由OA的中點為M可知OA=2x,代入OA·MP=12, 得到2x·y=12,即xy=6,∴k=xy=6.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(3)∵A(t,0),B(t-4,0),∴L的對稱軸為x=t-2, ∴L的頂點坐標是(t-2,2),2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)由函數(shù)圖象可知,當y1y2時,x-3或- x0. (2)過點A作AE⊥x軸于點E,過點B作BF⊥y軸于點F, ∵mn=pq=k,p=-n, ∴m=-q,即AE=BF,OE=OF, ∴△OAE≌△OBF, ∴∠AOC=∠BOD.,2,1,3,4,5,6,7,8,2.(2016·合肥包河中學模擬)小明家飲水機中原有水的溫度為20 ℃,通電開機后,飲水機自動開始加熱(此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)滿足一次函數(shù)關(guān)系),當加熱到100 ℃時自動停止加熱,隨后水溫開始下降(此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)成反比例關(guān)系),當水溫降至20 ℃時,飲水機又自動開始加熱,…,重復上述程序(如圖所示),根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題: (1)當0≤x≤8時,求水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關(guān)系式; (2)求圖中t的值; (3)若小明在通電開機后即外出散步,請你預測小明散步45分鐘回到家時,飲水機內(nèi)水的溫度約為多少℃?,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)當0≤x≤8時,設(shè)水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b, 故此函數(shù)關(guān)系式為y=10x+20. (2)在水溫下降過程中,設(shè)水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關(guān)系式為,(3)因為45-40=58, 當x=5時,y=10×5+20=70, 所以小明散步45分鐘回到家時,飲水機內(nèi)水的溫度約為70 ℃.,2,1,3,4,5,6,7,8,3.(2016·山東青島)如圖,需在一面墻上繪制幾個相同的拋物線型圖案.按照圖中的直角坐標系,最左邊的拋物線可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知拋物線上B,C兩點到地面的距離均 為 (1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并求圖案最高點到地面的距離; (2)若該墻的長度為10 m,則最多可以連續(xù)繪制幾個這樣的拋物線型圖案?,2,1,3,4,5,6,7,8,∴圖案最高點到地面的距離為1 m. (2)令y=0,即-x2+2x=0,∴x1=0,x2=2, ∴10÷2=5, ∴最多可以連續(xù)繪制5個這樣的拋物線型圖案.,2,1,3,4,5,6,7,8,4.為滿足市場需求,某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕,購進一種品牌粽子,每盒進價是40元.超市規(guī)定每盒售價不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn):當售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒. (1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式. (2)當每盒售價定為多少元時,每天銷售的利潤P(元)最大?最大利潤是多少? (3)為穩(wěn)定物價,有關(guān)管理部門限定:這種粽子的每盒售價不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,那么超市每天至少銷售粽子多少盒? 解:(1)由題意得,y=700-20(x-45)=-20x+1600(x≥45). (2)P=(x-40)(-20x+1600)=-20x2+2400x-64000=-20(x-60)2+8000, ∵x≥45,a=-200, ∴當x=60時,P最大值=8000, 即當每盒售價定為60元時,每天銷售的利潤P(元)最大,最大利潤是8000元.,2,1,3,4,5,6,7,8,(3)由題意得-20(x-60)2+8000=6000, 解得x1=50,x2=70. ∵拋物線P=-20(x-60)2+8000的開口向下, ∴當50≤x≤70時,每天銷售粽子的利潤不低于6000元. 又∵x≤58,∴50≤x≤58. ∵在y=-20x+1600中,k=-200, ∴y隨x的增大而減小, ∴當x=58時,y最小值=-20×58+1600=440, 即超市每天至少銷售粽子440盒.,2,1,3,4,5,6,7,8,5.某玉米種子的價格為a元/千克,如果一次購買2千克以上的種子,超過2千克部分的種子價格打8折,某科技人員對付款金額和購買量這兩個變量的對應關(guān)系用列表法做了分析,并繪制出了函數(shù)圖象,以下是該科技人員繪制的圖象和表格的不完整資料,已知點A的坐標為(2,10),請你結(jié)合表格和圖象:,(1)指出付款金額和購買量哪個變量是函數(shù)的自變量x,并寫出表中a,b的值; (2)求出當x2時,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (3)甲農(nóng)戶將8.8元錢全部用于購買玉米種子,乙農(nóng)戶購買了4165克該玉米種子,分別計算他們的購買量和付款金額.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)根據(jù)函數(shù)圖象可得:購買量是函數(shù)的自變量x,且a=10÷2=5,b=(3-2)×5×0.8+10=14. (2)當x2時,設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+m, ∵y=kx+m經(jīng)過點(2,10),且x=3時,y=14, ∴當x2時,y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4x+2. 當x=4.165時,y=4×4.165+2=18.66, ∴甲農(nóng)戶的購買量為1.76千克,乙農(nóng)戶的付款金額為18.66元.,2,1,3,4,5,6,7,8,6.如圖,某足球運動員站在點O處練習射門,將足球從離地面0.5 m的A處正對球門踢出(點A在y軸上),足球的飛行高度y(單位:m)與飛行時間t(單位:s)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=at2+5t+c.已知足球飛行0.8 s時,離地面的高度為3.5 m. (1)足球飛行的時間是多少時,足球離地面最高?最大高度是多少? (2)若足球飛行的水平距離x(單位:m)與飛行時間t(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系x=10t.已知球門的高度為2.44 m,如果該運動員正對球門射門時,離球門的水平距離為28 m,他能否將球直接射入球門?,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,7.(2016·北京海淀區(qū)二模)對于某一函數(shù)給出如下定義:若存在實數(shù)p,當其自變量的值為p時,其函數(shù)值等于p,則稱p為這個函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時,該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度.特別地,當函數(shù)只有一個不變值時,其不變長度q為零.例如,如圖所示的函數(shù)有0,1兩個不變值,其不變長度q等于1. (1)分別判斷函數(shù)y=x-1,y= ,y=x2有沒有不變值?如果有,直接寫出其不變長度. (2)函數(shù)y=2x2-bx. ①若其不變長度為零,求b的值; ②若1≤b≤3,求其不變長度q的取值范圍.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)∵函數(shù)y=x-1,令y=x,則x-1=x,無解, ∴函數(shù)y=x-1沒有不變值; ∵函數(shù)y=x2,令y=x,則x=x2,解得x1=0,x2=1, ∴函數(shù)y=x2的不變值為0或1,q=1-0=1.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)①函數(shù)y=2x2-bx,令y=x,則x=2x2-bx, ∵1≤b≤3,∴1≤x2≤2, ∴1-0≤q≤2-0, ∴1≤q≤2.,2,1,3,4,5,6,7,8,8.在平面直角坐標系xOy中,對于點P(x,y)和點Q(x,y'),給出如下定義:如果y'= 那么稱點Q為點P的“媯川伴侶”.例如:點(5,6)的“媯川伴侶”為點(5,6),點(-5,6)的“媯川伴侶”為點(-5,-6). (1)①點(2,1)的“媯川伴侶”為 ; ②如果點A(3,-1),B(-1,3)的“媯川伴侶”中有一個在函數(shù)y= 的圖象上,那么這個點是 .(填“點A”或“點B”) (2)①點M*(-1,-2)的“媯川伴侶”點M的坐標為 ; ②如果點N*(m+1,2)是一次函數(shù)y=x+3圖象上點N的“媯川伴侶”,求點N的坐標. (3)如果點P在函數(shù)y=-x2+4(-2x≤a)的圖象上,其“媯川伴侶”Q的縱坐標y'的取值范圍是-4y'≤4,求實數(shù)a的取值范圍.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)①(2,1). ②點A(3,-1)的“媯川伴侶”為(3,-1),點B(-1,3)的“媯川伴侶”為(-1,-3), 則點B的“媯川伴侶”在函數(shù)y= 的圖象上. (2)①(-1,2). ②當m+1≥0,即m≥-1時,由題意得N(m+1,2). ∵點N在一次函數(shù)y=x+3的圖象上, ∴m+1+3=2,解得m=-2(舍去); 當m+10,即m-1時,由題意得N(m+1,-2). ∵點N在一次函數(shù)y=x+3的圖象上, ∴m+1+3=-2,解得m=-6, ∴N(-5,-2).,2,1,3,4,5,6,7,8,(3)如果點P在函數(shù)y=-x2+4(-2x≤a)的圖象上, 當-2x0時,0y4,∴-4y'0,此時-2a0; 當x≥0時,y=y',即-4y≤4,,