《《導(dǎo)數(shù)概念》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《導(dǎo)數(shù)概念》PPT課件.ppt（28頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 一、問題的提出 二、導(dǎo)數(shù)的定義 三、由定義求導(dǎo)數(shù) 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 六、小結(jié) 思考題 一、問題的提出 1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題 0t t ,0 時(shí)刻的瞬時(shí)速度求 t t 如圖 , ,0 tt 的時(shí)刻取一鄰近于 ,運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t sv 平均速度 0 0 tt ss ).( 2 0 tt g ,0時(shí)當(dāng) tt 取極限得 2 t)(tl i mv 0 0 g tt 瞬時(shí)速度 .0gt T 0 x xo x y )(xfy C N M 如圖 , 如果割線 MN繞點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置 MT,直線 MT就稱為曲線 C在點(diǎn) M處的 切線 . 極限位置即 .0

2、,0 N M TMN ).,(),( 00 yxNyxM設(shè) 的斜率為割線 MN 0 0t a n xx yy ,)()( 0 0 xx xfxf , 0 xxMN C 沿曲線 的斜率為切線 MT .)()(limt an 0 0 0 xx xfxfk xx 二、導(dǎo)數(shù)的定義 ,)( ,)( ,0 );()( ,) (, )( 0 0 0 00 0 0 0 xx yxxfy xxfy xx yxfxxfy yxx xxx xxfy 記為處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)數(shù) 并稱這個(gè)極限為函處可導(dǎo)在點(diǎn) 則稱函數(shù)時(shí)的極限存在之比當(dāng) 與如果得增量 取相應(yīng)地函數(shù)時(shí)仍在該鄰域內(nèi) 點(diǎn)處取得增量在當(dāng)自變量有定義 的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)設(shè)函

3、數(shù) 定義 .)()(lim)( 00 00 h xfhxfxf h 其它形式 .)()(lim)( 0 0 0 0 xx xfxfxf xx x xfxxf x yy xxxx )()(limlim 00 000即 000 ()( ) , , x x x x dy df xfx dx dx 或 .)(, )( 內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間就稱函數(shù)處都可導(dǎo) 內(nèi)的每點(diǎn)在開區(qū)間如果函數(shù) Ixf Ixfy 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明： 0 , . x導(dǎo) 數(shù) 是 因 變 量 在 點(diǎn) 處 的 變 化 率 它 反 映 了 因 變 量 隨 自 變 量 的 變 化 而 變 化 的 快 慢 程 度 x xfxxfy x )()(lim 0

4、 即 .)()(lim)( 0 h xfhxfxf h 或 注意 : .)()(.1 00 xxxfxf , ( ) ( ) . () , ( ) , . x I f x fx dy df x y f x dx dx 對(duì) 于 任 一 都 對(duì) 應(yīng) 著 的 一 個(gè) 確 定 的 導(dǎo) 數(shù) 值 ,這 樣 就 構(gòu) 成 了 一 個(gè) 新 的 函 數(shù) ,這 個(gè) 函 數(shù) 叫 做 原 來 函 數(shù) 的 導(dǎo) 函 數(shù) 記 作 或 2.右導(dǎo)數(shù) : 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 1.左導(dǎo)數(shù) : ;)()(lim)()(lim)( 000 0 0 00 0 x xfxxf xx xfxfxf xxx ;)()(lim)()(lim)( 000 0

5、 0 00 0 x xfxxf xx xfxfxf xxx 函數(shù) )( xf 在點(diǎn) 0 x 處可導(dǎo) 左導(dǎo)數(shù) )( 0 xf 和右 導(dǎo)數(shù) )( 0 xf 都存在且相等 . 如果 )( xf 在開區(qū)間 ba , 內(nèi)可導(dǎo)，且 )( af 及 )( bf 都存在，就說 )( xf 在閉區(qū)間 ba , 上可導(dǎo) . . , ),( ),( )( 0 0 0 可導(dǎo)性 的討論在點(diǎn)設(shè)函數(shù) x xxx xxx xf x xfxxf x )()(lim 00 0若 x xxx x )()(lim 00 0 ,)( 0 存在xf 則 )( xf 在點(diǎn) 0 x 可導(dǎo)， ,)( 0 存在xf x xfxxf x )()(

6、lim 00 0若 x xxx x )()(l i m 00 0 ,)()( 00 axfxf 且 .)( 0 axf 且 三、由定義求導(dǎo)數(shù) 步驟 : );()()1( xfxxfy 求增量 ;)()()2( x xfxxfxy 算比值 .lim)3( 0 xyy x 求極限 例 1 .)()( 的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)求函數(shù) CCxf 解 h xfhxfxf h )()(l i m)( 0 h CC h 0lim .0 .0)( C即 例 2 .)( s i n)( s i n,s i n)( 4 xxxxxf 及求設(shè)函數(shù) 解 h xhxx h s i n)s i n(lim)( s i n 0 2 2

7、 s i n ) 2 c o s (l i m 0 h h h x h .cos x .c o s)( s i n xx 即 44 c o s)( s i n xx xx . 2 2 例 3 .)( 的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)求函數(shù) nxy n 解 h xhxx nn h n )(lim)( 0 !2 )1(l i m 1210 nnnh hhxnnnx 1 nnx .)( 1 nn nxx即 更一般地 )(.)( 1 Rxx )( x例如 , 12 1 2 1 x . 2 1 x )( 1 x 11)1( x .12x 例 4 .)1,0()( 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) aaaxf x 解 h aaa xhx h

8、x 0lim)( h aa h h x 1l i m 0 .ln aa x .ln)( aaa xx 即 .)( xx ee 例 5 .)1,0(l o g 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) aaxy a 解 h xhxy aa h l o g)(l o glim 0 .l o g1)( l o g exx aa 即 .1)(ln xx x x h x h a h 1)1(l o g l i m 0 h x ah x h x )1(l o gl i m 1 0 .lo g 1 e x a 例 6 .0)( 處的可導(dǎo)性在討論函數(shù) xxxf 解 xy x y o ,)0()0( hhh fhf h h h fhf h

9、h 00 l i m)0()0(l i m ,1 h h h fhf hh 00 l i m )0()0(l i m .1 ),0()0( ff即 .0)( 點(diǎn)不可導(dǎo)在函數(shù) xxfy 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 o x y )(xfy T 0 x M 1.幾何意義 )(,t a n)( , )(,( )()( 0 00 0 為傾角 即切線的斜率 處的在點(diǎn) 表示曲線 xf xfxM xfyxf 切線方程為 法線方程為 ).)( 000 xxxfyy 0 0 0 0 1 ( ) ( ( ) 0). ()y y x x f xfx 若 例 7 ., )2, 2 1 ( 1 方程和法線方程并寫出在該點(diǎn)處的切線

10、斜率 處的切線的在點(diǎn)求等邊雙曲線 x y 解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義 , 得切線斜率為 2 1 xyk 2 1) 1( xx 212 1 xx .4 所求切線方程為 法線方程為 ),21(42 xy ),21(412 xy .044 yx即 .01582 yx即 五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù) . 證 ,)( 0 可導(dǎo)在點(diǎn)設(shè)函數(shù) xxf )(lim 00 xfxyx )( 0 xfxy xxxfy )( 0 )(limlim 000 xxxfy xx 0 .)( 0 連續(xù)在點(diǎn)函數(shù) xxf )0(0 x 注意 : 該定理的逆定理不成立 . 例 8 .0 , 0,0 0, 1 s i

11、 n )( 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在 討論函數(shù) x x x x x xf 解 ,1s i n 是有界函數(shù)x 01s i nl i m 0 xxx .0)( 處連續(xù)在 xxf 處有但在 0 x x x x x y 00 1s i n)0( x 1sin .11,0 之間振蕩而極限不存在和在時(shí)當(dāng) xyx .0)( 處不可導(dǎo)在 xxf 0)(l i m)0( 0 xff x 六、小結(jié) 1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì) : 增量比的極限 ; 2 . axf )( 0 )( 0 xf ;)( 0 axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 : 切線的斜率 ; 4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo) ; 5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法 : 由

12、定義求導(dǎo)數(shù) . 6. 判斷可導(dǎo)性 不連續(xù) ,一定不可導(dǎo) . 連續(xù) 直接用定義 ; 看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等 . 思考題 函數(shù) )( xf 在某點(diǎn) 0 x 處的導(dǎo)數(shù) )( 0 xf 與導(dǎo)函數(shù) )( xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系？ 思考題解答 由導(dǎo)數(shù)的定義知， )( 0 xf 是一個(gè)具體的 數(shù)值， )( xf 是由于 )( xf 在某區(qū)間 I 上每一 點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在 I 上的一個(gè)新函數(shù)，即 Ix ，有唯一值 )( xf 與之對(duì)應(yīng)，所以兩 者的 區(qū)別 是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩 者的 聯(lián)系 是：在某點(diǎn) 0 x 處的導(dǎo)數(shù) )( 0 xf 即是導(dǎo) 函數(shù) )( xf 在 0 x 處的函數(shù)值 一、 填空題：

13、 1 、 設(shè) )( xf 在 0 xx 處可導(dǎo)，即 )( 0 xf 存在，則 _ __ _ _ __ _ _ )()( lim 00 0 x xfxxf x , _ __ _ _ __ _ _ )()( lim 00 0 x xfxxf x . 2 、 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 2 ts ( 米 ) ，則該物體在 2t 秒時(shí)的速度為 _____ __ . 3 、 設(shè) 3 2 1 )( xxy , 2 2 1 )( x xy , 5 3 22 3 )( x xx xy , 則 它們的導(dǎo)數(shù)分別為 dx dy 1 =___ __ ___ __ __ ___ __ _ _ ， dx dy 2 =__ __

14、 ___ __ ___ _ ， dx dy 3 =___ ___ __ __ ___ . 練習(xí)題 4 、 設(shè) 2)( xxf , 則 )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 5 、 曲線 xey 在點(diǎn) )1,0( 處的切線方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 二、 在下列各題中均假定 )( 0 xf 存在，按照導(dǎo)數(shù)的定 義觀察下列極限，分析并指出 A 表示什么？ 1 、 A xx xfxf xx 0 0 )()( lim

15、0 ； 2 、 A h hf h )( lim 0 ，其中 )0(0)0( ff 且 存在； 3 、 A h hxfhxf h )()( lim 00 0 . 三、證明：若 )( xf 為偶函數(shù)且 )0(f 存在，則 0)0( f . 四、 設(shè)函數(shù) 0,0 0, 1 s in )( x x x x xf k 問 k 滿足什么條 件， )( xf 在 0 x 處 (1) 連續(xù)； （ 2 ）可導(dǎo)； （ 3 ）導(dǎo)數(shù)連續(xù) . 五、 設(shè)函數(shù) 1, 1, )( 2 xbax xx xf , 為了使函數(shù) )( xf 在 1x 處連續(xù)且可導(dǎo)， ba , 應(yīng)取什么值 . 六、 已知 0, 0,s i n )(

16、xx xx xf , 求 )( xf . 七、 證明：雙曲線 2 axy 上任一點(diǎn)處的切線與兩 坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于 2 2 a . 八、 設(shè)有一根細(xì)棒，取棒的一端作為原點(diǎn)，棒上任意點(diǎn) 的坐標(biāo)為 x ，于是分布在區(qū)間 1,0 上細(xì)棒的質(zhì) 量 m 是 x 的函數(shù) )( xmm 應(yīng)怎樣確定細(xì)棒在點(diǎn) 0 x 處的線密度 （對(duì)于均勻細(xì)棒來說，單位長(zhǎng)度細(xì)棒 的質(zhì)量叫作這細(xì)棒的線密度）？ 一、 1 、 )( 0 xf ； 2 、 )( 0 xf ； 3 、 6 5 3 3 1 6 1 , 2 , 3 2 x x x ； 3 、 2 4 x , 2 2 x ； 5 、 01 yx . 二、 1 、 )( 0 xf ； 2 、 )0(f ； 3 、 )(2 0 xf . 四、 (1) 當(dāng) 0k 時(shí) , )( xf 在 0 x 處連續(xù)； (2) 當(dāng) 1k 時(shí) , )( xf 在 0 x 處可導(dǎo) , 且 0)0( f ； (3) 當(dāng) 2k 及 0 x 時(shí) , )( xf 在 0 x 處連續(xù) . 五、 1,2 ba . 六、 0,1 0,c os )( x xx xf . 八、 0 xx dx dm . 練習(xí)題答案