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1、1 Shanghai University 斷裂力學 Fracture Mechanics 斷裂力學第三講 郭戰(zhàn)勝 辦公地點：延長校區(qū)力學所 317室 平時答疑：每周一： 5-6節(jié) 晚修答疑 :每周一： 18： 00-20： 30 地點： HE108或 HE104b 2 裂紋尖端附近的應力場和位移計算 3 4 3c o s ( 1 s in s in ) 2 2 22x K r 3c o s ( 1 s in s in ) 2 2 22y K r 3c o s sin c o s 2 2 22xy K r 0 x z y z R e I mx Z y Z R e I my Z y Z 0z

2、(平面應力 ) ( ) 2 Rez x y Z (平面應變 ) Rexy yZ 2 I ij ij K f r 用張量標記可縮寫成 型裂紋求解 5 3 ( 2 1 ) c o s c o s 4 2 2 2 K ruk G 3 ( 2 1 ) s i n s i n 4 2 2 2 K rvk G 0w 平面應變 ()xyw dzE 平面應力 34 3 1 k 平 面 應 變 平 面 應 力 1 ( 1 ) R e ( 1 ) I m u Z y ZE 1 2 I m ( 1 ) Re v Z y ZE 平面應力 1 ( 1 2 ) R e I m u Z y ZE 1 2( 1 ) I m

3、R e v Z y Z E 平面應變 型裂紋求解 6 0 ra IZ 需要注意的是，推導過程中，使用了 這個條件，所以 。對于稍遠處，應該用 所示的 來確定應力分量和位移分量。 前面得到的應力場和位移場公式只適用于裂紋尖端附近區(qū)域，即要 求 ()() ( 2 )afZ a （ + ） 型裂紋求解 7 型裂紋求解 設無限大板含長 2a的中心裂紋，無窮遠受剪應力作用 8 第一步：解 II型 Westergaard應力函數(shù) 求解方法與 I型基本相同，主要差別是無窮遠處邊界上受力條件不 同。選取應力函數(shù) 所以 ReII IIy Z zx R e I mII I I I IZ z y Z zy Re R

4、eZz Zz x Re ImZz Zz y Im ReZz Zz y 因為 2 2 ReII IIy Z zx 2 2 2 I m R eII I I I IZ z y Z zy 2 R e I mII I I I IZ z y Z zxy Re Z IIy 型裂紋求解 9 得到 II型裂紋問題各應力分量表達式為 ReIm2 ZyZx Re Zyy ZyZxy ImRe 進而可得到位移分量 ZyZ E v ZyZ E u ImRe)21( )1( ReIm)1(2 )1( 平面應變 型裂紋求解 10 第二步：選 II型裂紋的 ()Zz 邊界條件： 0 xyy 0y ax 0 z y x y z

5、 ， 在 處 在 處 選取 22 () zZz za 能夠滿足全部邊界條件。 型裂紋求解 11 22 2 3 / 2 22 l i m ( ) l i m l i m ( ) l i m 0 zz zz z Zz za a Zz za 在裂紋表面 處 0y ax 2 2 2 2 () zxZz z a x a 虛數(shù) R e ( ) 0Zz 0 xyy ReIm2 ZyZx Re Zyy ZyZxy ImRe z 只有實部且為一常數(shù) 0IIZz 0 xy xy 滿足平板周圍的邊界條件 滿足裂紋表面處的邊界條件 型裂紋求解 12 將坐標原點移到右裂尖，采用新坐標 az ()() 2 a fZ a

6、當 0 )(f 趨于常數(shù) ,設 : ， 00 l im ( ) l im ( ) 2KfZ 右裂尖附近 , 在很小范圍內時 0l i m 2 ( )KZ 用解析函數(shù)求解 II型裂紋尖端 應力強度因子的定義式 型裂紋求解 13 第三步：用 求 II型裂尖附近的應力場和位移場 ()Zz 應力強度因子是在裂尖時 存在極限，若考慮裂尖附近 的一個微小區(qū)域，則有： 0 2 ( )KZ () 2KZ 若以極坐標表示復變量 )s in( c o s irre i ( ) ( c o s s in )222KZir 則可得到 33 22 33c o s s in 222 2 2 2 I I I I I I I

7、I K K KZ r i r sin 2 sin c os22y r r 型裂紋求解 14 3s in ( 2 c o s c o s ) 2 2 22x K r 3c o s s in c o s2 2 22y K r 3c o s ( 1 s in s in ) 2 2 22xy K r 0 xz yz ()z x y 平面應變 0z 平面應力 3 ( 2 3 ) s i n s i n 4 2 2 2 K ruk G 3 ( 2 2 ) c o s c o s 4 2 2 2 K rvk G 把上面兩式代入前面應力表達式中，應力和位移場得表達式 3 1 34 k 平 面 應 力 平 面

8、應 變 型裂紋求解 15 對于 I型和 II型裂紋來說，是屬于平面問題。但對于 III型裂紋， 由于裂紋面是沿 z方向錯開，因此平行于 xy平面的位移為零， 只有 z方向的位移不等于零 型裂紋求解 對于此類反平面問題，前面給出的平面問題的基本方程已不 適用，因此不能沿用 Airy應力函數(shù)求解，需要從彈性力學的 一般（空間）問題出發(fā)，推導公式。彈性力學一般問題的基 本方程，可以仿照平面問題的方法導出 16 反平面 (縱向剪切 )問題 , 其位移 ( , ) , 0w w x y u v 根據(jù)幾何方程和物理方程 : 1 x z x z wr xG 1 yz yz wr yG 0 x y x y z

9、 型裂紋求解 問題描述 :無限大板 ,中心裂紋 (穿透 ) ,無限遠處受與 方向平行的 作用 . 2a z 17 單元體的平衡方程 : 0yzxz xy 位移函數(shù)滿足 Laplace方程 ,所以為調和函數(shù) . 解析函數(shù)性質 :任意解析函數(shù)的實部和虛部都是解析的 . 1( , ) I m ( )w x y Z z G Im Im xz ZwGZ xx Im Re yz ZwGZ yy 邊界條件 : 0 , , 0yzy x a , 0 ,x z y zz 型裂紋求解 22 2 22 0 ww w xy 非零應力分量 18 選取函數(shù) 22 () l zZz za 滿足邊界條件 型裂紋求解 在裂紋表

10、面 處， 0y ax IIIZz 只有實部而無虛部，有 0yz 滿足裂紋表面處 的邊界條件 y x IIT lZz Re III lZz I m 0IIIZz ,0y z l x z 當 或 ，都有 ，即 由非零應力分量公式知， 滿足平板周圍的邊界條件。 19 取新坐標 za ( ) 1() ( 2 ) III aZf a 型裂紋求解 同樣，為計算方便，將坐標原點從裂紋的中心 移到裂紋的右尖端 當 0 )(f 趨于常數(shù) ,設 : ， I I00l im ( ) l im ( ) 2 KfZ 右裂尖附近 , 在很小范圍內時 II0l i m 2 ( )KZ 用解析函數(shù)求解 III型裂紋尖端 應力

11、強度因子的定義式 20 應力強度因子是在裂尖時 存在極限，若考慮裂尖附近 的一個微小區(qū)域，則有： 0 I I2 ( )KZ I I () 2 KZ 若以極坐標表示復變量 )s in( c o s irre i 則可得到 IIIIII c os si n222KZir R e c os 22 I m si n 22 III III III III KZ r KZ r sin 22 c o s 22 III xz III yz K r K r 這就是 III型裂紋問題在裂紋 尖端附近的應力場表達式 型裂紋求解 21 則可得到 IIIIII c os si n222KZir 這就是 III型裂紋問題

12、在裂紋 尖端附近的位移場表達式 1 2 22 c o s s i n 2222 I I I I I I I I I I I I KK rZ d K i 2 R e c os 2 2 I m si n 2 I I I I I I I I I I I I r Z z K r Z z K 2 s i n 2 IIIK rw G 型裂紋求解 22 () ( 2 )aZ a （ + ） 0 l i m 2IIK Z a 應力強度因子 () 2 aZ a 0l i m 2 ( )K Z a ()() ( 2 ) l aZ a II0l i m 2 ( ) lK Z a 注意：以上三種類型求解方法，僅適用于

13、含貫穿裂紋的無限大板在 載荷或位移對裂紋中點的坐標軸對稱或反對稱的情況。 23 值得指出的是，上述三種裂紋問題的應力場表達式，雖然是根 據(jù)無限大半具有中心穿透裂紋且在均勻外加應力作用下獲得的。 進一步的分析表明，這些解具有普遍的意義，也就是說，對于 其他有限尺寸板的穿透裂紋（包括中心裂紋和邊裂紋），在非 均勻受力條件下，裂紋尖端附近的應力場（更確切地說是應力 場的奇異項）表達式也是相同的，其不同之處僅僅是應力強度 因子的不同，因此，對于特定的含裂紋結構只需要確定相應的 應力強度因子就可以了。 24 通過前面的推導，各種類型裂尖應力和位移場可表示為 )(2 )I()I( ijij frK 3,2

14、,1, ji )()I()I( ii grKu 3,2,1i 若上標寫成 II、 III，代表 II型或 III型裂紋。 裂紋尖端應力場是漸進解，僅僅適合于裂紋尖端附近 25 線彈性裂尖場特點 三種變形情況下裂紋尖端應力場和應變場都具有 奇異 性 ， 即在裂紋尖端處 ， 應力和應變?yōu)闊o窮大 ， 這種不 真實的性質是由于所采用的本構關系所決定的 ， 即認 為材料能承受無限大的應力 ， 且應變與應力呈線性關 系 。 另外 ， 在上述的分析中 ， 裂紋假設成理想的尖裂 紋 ， 即裂紋尖端曲率為無窮大 。 實際上 ， 裂紋尖端不 可避免地會出現(xiàn)塑性區(qū) ， 并且裂紋尖端地曲率是有限 的 ， 但是在塑性區(qū)

15、很小的情況下 ， 在圍繞裂尖的一個 環(huán)狀區(qū)域 內 K場 是適用的 。 K場內的位移與 成線性比例關系 。 12r 26 線彈性裂尖場特點 三種情況下的 K場有相似的形式，分別由應力強度 因子決定著其場的強度。 SIF取決于外加載荷，而 且與構件幾何、裂紋尺寸有關，但是與 ( )坐標 無關。在 K場范圍內，應力和應變均正比于 SIF，所 以 SIF是裂紋尖端附近應力、應變場強度的表征， 是描述裂尖場強度的參數(shù)。 裂尖場與角分布函數(shù)成比例。角分布函數(shù)僅與角 有關，而與 r無關，對于同一種變形模式，角分布函 數(shù)是相同的。所以，無論構件的形狀、尺寸以及裂 紋的尺寸如何，裂尖場都是相同的。 r 27 應

16、力不適宜作為判斷含裂紋材料承載能力的力學參量 裂 尖場應力具有奇異性，只要存在載荷，應力就趨于無窮大。 依照傳統(tǒng)強度理論，含裂紋結構必定破壞。即 傳統(tǒng)的強度 條件判斷準則失去意義。 應力強度因子作為判定裂紋尖端應力場強度的物理參量引入。 線彈性斷裂力學的主要任務之一就是確定含裂紋構件的 應力強度因子。 應力強度因子是有限量，它是代表應 力場強度的物理量，用其作為參量建立破壞條件是 合適的。 應力強度因子 28 aYK 名義應力，即裂紋位置上按無裂紋計算的應力 a Y 裂紋尺寸，即裂紋長或深 形狀系數(shù)，與裂紋大小、位置有關 應力強度因子一般寫為： 應力強度因子單位： N.m-3/2 應力強度因子

17、 29 應力強度因子 鑒于 應力強度因子 的重要性，在斷裂力學這門科學近半個 世紀的快速發(fā)展中，應力強度因子的分析計算一直是一個 經(jīng)久不衰的研究課題，這可從這方面的專著（如二十世紀 七十年代 Sih的專著和近期的專著）和專門的應力強度因子 手冊可見一斑。從研究方法上，從解析的 Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解 析的或半解析的 Green Function、 Singular Integral Equation、 Conforming Mapping（保形映射） , 及數(shù)值 方法如 Boundary Co

18、llocation Method， Finite Element Method (有限元法 )和 Boundary Element Method (邊界元法 )。 30 脆性斷裂的 K準則 應力強度因子與應變能釋放率的關系 根據(jù)前面所述的應變能釋放率公式 與應力 強度因子 可以發(fā)現(xiàn)它們之間應有一定關系。 這關系將進一步揭示應力強度因子的物理意義。 E aG 2 1 aK 以張開型裂紋為例，由于應變能釋放率代表裂紋擴展 單位面積所釋放的應變能。那么逆向思維一下 31 左圖 a所示裂紋原 長為 a，擴展微小 長度 （圖 b）后， 釋放出的能量可 用從圖 b狀態(tài)閉合 到圖 c狀態(tài)所作的 功來計算。閉

19、合 時作用在裂紋上 表面上 x位置的應 力由圖 b中的 0值， 逐漸增加到圖 a中 的 a )(xy 利用上節(jié)的裂尖附近應力和位移場，可以計算使裂紋閉合單位面積所 作的功，顯然這部分功應該等于裂紋擴展單位面積所釋放的能量。 32 由 I型裂紋的應力表達式， 當 ， 時 xr 0 x Kx y 2)( 由圖 b看出，閉合時的位移最初為 其中 ， ),( rv xar 注意：圖 b與圖 a的坐標原點不同。 由 I型裂紋的位移表達式： )22(24),( kxaKxav 閉合后，位移為 0。 閉合過程中，應力在 段所作的功為 a v B d xya 0 3( 2 1 ) s in s in 4 2

20、2 2 K rvk 3c os 1 si n si n 2 2 22y K r 33 閉合單位面積所作的功 裂紋擴展單位面積所釋放的能量 = 由于： 2 20 0 11 4 a ay v B d x Kk a x G K d x B a a x E 其中， （平面應力）， （平面應變） EE 2 1 EE 可見，應力強度因子與應變能釋放率有對應關系： 不 僅表示裂尖附近彈性應力場的強度，也可確定裂紋擴展 釋放的能量率，故：對于線彈性斷裂問題， 與 等價 K G 0 /2 a ax d x a x 34 同理，對于 II型和 III型裂紋同樣可得到類似關系 2 E KG 2(1 ) K G E

21、需要注意：對于 I型和 II型裂紋問題可分為平面應力和平面應變問題， 而對于三型裂紋問題只是一種反平面問題。 脆性斷裂的 K準則 我們已經(jīng)講了脆性材料裂紋失穩(wěn)擴展的臨界條件為： CGG 11 35 可以得到以應力強度因子表示的裂紋失穩(wěn)擴展的臨界條件為： IICKK 表示裂尖的應力強度因子 達到 時，裂紋失穩(wěn)擴展。 與 都是材料常數(shù)，稱為材料的 平面應變斷裂韌度 。 在線彈性條件下 1K CK1 CG1 2 E KG C C 強調： 與 概念不同， 是表示裂尖應力場強度的一個參量，可用彈性理論 方法進行計算，由載荷及裂紋體形狀和尺寸決定， 斷裂韌度，材料具有的一種機械性能，表示材料抵 抗脆性斷裂

22、的能力，由試驗測定。 IK ICK ICK 脆性斷裂的 K準則 CK1 IK 36 注意： 對于線彈性斷裂問題，采用 G準則和 K準則所得的結 果是一樣的。但是由于利用彈性理論可直接計算應力強度 因子，而且試驗測定 比 測定方便，故工程一般常用 K準則。 CK1 CG1 根據(jù) K準則，可以計算剩余強度（臨界應力）和臨界 裂紋長度，進行斷裂安全分析。 例如：對具中心裂紋無限大板，受雙軸拉應力 CKaK 11 1 /CCKa )/( 221 CKa 對于其它結構， 表達式不同。 1K 可得 37 根據(jù)實驗和理論分析，斷裂韌度隨試件厚度增加而下降， 如下圖。這是由于： 1）薄板的裂尖處于平面應力狀態(tài)

23、，斷裂韌度較高，裂紋不易 擴展，用 表示； 2）隨板厚增加，裂尖處于平面應變狀態(tài)的部分增加，裂紋較 易擴展，斷裂韌度降低，當厚度降至一定值后，斷裂韌度降 至最小，稱為平面應變斷裂韌度，用 表示。 CK ICK 斷裂韌度與板厚的關系 需要注意：金屬在平面應力條件下裂尖產(chǎn)生較大塑性變形 ， K準則 （ 建立在線彈 性斷裂力學基礎上 ） 不適用 ， 而要采用第三章的彈塑性斷裂力學的斷裂準則 。 但是當裂尖塑性變形區(qū)較小時 ， 通過下一節(jié)的修正后 ， 仍可用 K準則 。 38 線彈性斷裂力學在小范圍屈服時的推廣 39 屈服條件 s 1 s cf ),( 321 cf 單向拉壓 ： 薄壁圓筒扭轉 ： 在

24、應力空間 在 主應力 空間 謂之屈服 條件或 屈服面方程 單向應力 復 雜 應 力 * 0, f fc 或 謂 之 屈 服 函 數(shù) c塑性約束系數(shù) ys s c 有效屈服應力，材料屈服點 ( , , , , , )x y z x y x z y zfc 40 特雷斯卡 （ Tresca） 假設 最大剪應力 是屈服的控制因素 1 2 2 3 3 1 , c c c 即 , 0)()()( 221322322221* cccf 材料屈服，屈服函數(shù)為： 在主應力空間是六棱柱，在 12 平面是 六邊形 時， 41 在 平面是六角形 C 12 c 12 c 1 c 1 c 2 c 2 c 1 2 2 3

25、3 1 ,c c c 即 , 12 C C -C -C 1 2 42 米 澤斯 （ Mises）假設 )()()(12 1 213232221 GU 形 控制因素是 形狀改變比能 （歪形能、畸變能） Mises屈服條件為： UC 形 即： 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) 12 CG 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) c 或： 即 Mises屈服條件或屈服方程。 43 12 0, 3,在 平 面 有 2221 2 1 2() c 在主應力空間，屈服面是圓柱 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) c 221 1 2 2: c

26、化 簡 是橢圓方程（屈服曲線） 3 2 1 n 平面 Mises屈服條件 44 在主應力空間屈服面是圓柱 221 1 2 2: c 橢 圓 方 程 C可由簡單實驗求出 與六棱柱外接 C C -C -C 1 2 45 C可由簡單實驗求出 如：由 Mises屈服條件： 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) C 1 2 3,0s 2 2 22s s s C 單向 拉伸 屈服 時， 2213232221 2)()()( s s )()()(2 1 2 13 2 32 2 21 即： 或： 46 純剪切屈服 如由 Mises屈服條件： 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) (

27、 ) C 1 3 2 0 ss 22 26 sss C 純剪切 屈服 時， 2 2 21 2 2 3 3 1 2( ) ( ) ( ) 6 s 即： 22, 62 3ss ssC C o n s t C 47 線彈性裂紋尖端場，其應力場具有 r -1/2 的奇 異性， 該奇異性的幅值大小可用 應力強度因子 來表征。 但從 物理學 的角度來看，真正奇異的應力是不 存在的，也就是 說在裂紋尖端附近很小的范圍 內， K場是不適用的 。在裂紋尖端附近的材料必 定發(fā)生屈服。在外加載荷作用下裂紋尖端的應 力有限有兩種原因。其一是裂尖附近由于應力 集中 ,裂尖的材料會發(fā)生不同程度的塑性變形， 其二是裂紋尖端

28、并不是理想的曲率無窮大的形 狀，而總是有鈍化的。 Irwin 小范圍屈服理論 48 那么線彈性斷裂力學能否繼續(xù)使用呢？如果裂紋 尖端的塑性區(qū)（或者說偏離 K場的區(qū)域）很小（這 種情況我們稱為 小范圍屈服） ，從而對裂紋尖端 場的總體影響不大。 Irwin 通過研究認為在該情 況下應力強度因子 K 仍有意義，仍然可以認為是 K 場主導 著裂紋的行為。如塑性區(qū)尺寸比裂紋長度 小一個數(shù)量級，工程中一般仍用線彈性理論計算 應力強度因子，不過要對應力強度因子進行修正。 49 50 小范圍屈服條件 在線彈性情況下，裂紋尖端場完全由應力強 度因子 K來主導，稱為 K主導區(qū) ，其尺寸 取 決于裂紋和構件的幾何

29、形狀 。 但如果考慮裂紋尖端的彈塑性性質，則在裂 紋尖端存在一個 塑性區(qū) ，其尺寸記為 ，顯然 ， 隨著載荷的增大 ，越來越多的材料發(fā)生屈 服，即 越來越 大 。 pr pr K r 51 塑性區(qū)的存在會改變其相鄰區(qū)域的場，使 之偏離 K場，這一明顯偏離 K場，但仍屬于 線彈性的區(qū)域將裂尖的塑性區(qū)和 K場連接 起來，稱為 過渡區(qū) 。 如果這一 過渡區(qū)的尺寸與 相當 ，同樣就 不能再將 K作為主導參數(shù)， K場即失去了其 主導地位 。因此，要認為 K仍然是裂紋斷 裂形為的主導參數(shù)，必須滿足： 0 .3 0 .5p t Kr r r a 建議的小范圍屈服條件 Kr 52 Irwin 小范圍屈服理論

30、K r K 場 K r K 場 過渡區(qū) p r 塑性區(qū) 53 K主導區(qū)大小即 是 與載荷沒有明顯關系 的，而 塑性區(qū)尺寸 是載荷的單調函數(shù) 。隨著 外載 的 增 大 ，塑性區(qū)不斷長大，并使 K場失去其主導地位 。 工程處理上 ,一般認為，當外加載荷 P小于 0.5P0時 可以認為是小范圍屈服 ,其中是 P0裂紋體達到全面 屈服時的載荷。對于理想塑性材料， P0即是塑性 極限載荷。 因此，當 時認為 裂紋尖端場仍由 K場所 主導 ，所有外載及幾何信息仍可通過 K來反映， 它決定著裂尖附近的塑性區(qū)尺寸和塑性變形的大 小。 Kr pr 00.5PP 54 前面已指出，裂紋尖端應力場是 漸進解 ，僅僅

31、適合于裂紋尖端附近： 小范圍屈服是指： 塑性區(qū)形狀的估算： 作下列假定： （ 1）忽略裂紋尖端材料屈服后對塑性區(qū)外 K場的影響； （ 2）材料為理想塑性，且遵循 Von-Mises 屈服條件。 arr K 02.0 arr Kp 02.0 )1( )2( Irwin 小范圍屈服理論 00 時 ， 按 線 彈 性 解 2 I y K r 55 CRACK TIP PLASTICITY First approximation: Better approaches -selected shape: better size estimation -Irwin -Dugdale -Better shap

32、e but first order approximation for the size Irwin approach: stress redistribution; elastic plastic; plane stress 2 2 1 YS y Kr yp rr *2 56 確定塑性區(qū)尺寸的 Irwin理論 在不考慮裂紋尖端塑性影響 的 情況下，線彈性裂紋尖端的 K 場分布為： K場的表達式 2K r 先假設 裂紋尖端塑性區(qū)的存在 不致改變其周圍的應力場，不引 起應力松馳，即 沒有過渡區(qū) 的存 在。則只要將上式代入屈服條件， 即可以得到塑性區(qū)的尺寸和形狀。 11 22 12 33 11 2

33、2 3 c os 1 s i n s i n 2 2 2 3 c os 1 s i n s i n 2 2 2 3 c os s i n c os 2 2 2 0 K r K r K r 2 2 2 平面應力 平面應變 57 Von Mises屈服條件 幾種最常用形式為 一般形式： 平面應力： 平面應變： 2 2 2221 2 2 3 3 132 ij ij s sSS 1或 2 13ij ij kk ijS 為偏斜應力 12, 3 為主應力 屈服應力 2 2 2 21 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 2 2 3 3 16 6 6 2 s 2 21 1 2 2 1 1 2 2

34、1 23 s 222 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 21 1 2 3 2 s 58 根據(jù)材料力學主應力求解公式得到 型裂紋的應力公式 1 2 2 () 22 x y x y xy 1 2 c o s 1 s i n 222 K r 3 0 平面應力 59 Irwin 小范圍屈服理論 可以得到塑性區(qū)尺寸 rp 為 ： 對平面應力情況 對平面應變情況 在裂紋延長線上塑性區(qū)尺寸 ro為 ： 對平面應力情況 對平面應變情況 )2s in31()2c os(2 1 22 s I p Kr )2s i n3)21()2c os(2 1 222 s I p Kr 2)( 2 1 s Io Kr

35、22 )( 2 )21( s Io Kr )3( )4( )5( )6( 據(jù)上式畫出 曲線，如下圖中實線所示。這條閉合曲線表示裂 尖附近塑性區(qū)的周邊形狀，曲線上各點的相當應力等于屈服極限， 內部各點超出屈服極限，未考慮應力松弛效應。 r 3 ( ) 2 c o s 22xy K r 60 Irwin 小范圍屈服理論 由圖可見，平面應變的塑性區(qū)遠比平面應力的小，原因是：平面應 變狀態(tài)下，沿厚度方向約束所產(chǎn)生的 是拉應力，在三向拉伸應 力狀態(tài)下，材料不易屈服而變脆。 z 61 確定塑性區(qū)尺寸的 Irwin理論 62 說明 平面應力與平面應變的 塑性區(qū)形狀不同 。這樣的 形狀容易從其應力狀態(tài)的差異想

36、象出來。 平面應變的塑性區(qū)尺寸（在同樣的 下） 小于 平 面應力的塑性區(qū)尺寸。 例如， 平面應變情況下的 僅是平面應力的 16%。這是因為在平面應變情況下，裂尖材料承 受的是 三軸拉伸應力狀態(tài) ，而 Von Mises屈服條件 （以及 Tresca條件）認為靜水應力不影響屈服。 K 0.3 0r 0r 63 確定塑性區(qū)尺寸的 Irwin理論 64 First Order Aproximations of Plastic Zone Shapes Plastic zone shape from Von Mises yield criterion Through-thickness plastic

37、zone in a plate of intermediate thickness Empirical Rules to estimating Plane Stress vs. Plane Strain conditions: -Plane Stress: 2.ry B -Plane Strain: 2.ry 1/10 B 65 利用 Tresca屈服條件 在復雜受力下 ,當最大切應力等于材料彈性拉伸時的 屈服切應力 ,材料即屈服 . 比較發(fā)現(xiàn) :平面應變塑性區(qū)尺寸小 ,平面應變處于三 向拉伸狀態(tài)不易屈服 . 平面應變的有效屈服應力 比 高 ys s 塑性區(qū)中的最大應力 1 ys 平面應變 1

38、 3ys s 322ys 平面應力 1 ys s Tresca屈服條件下的塑性區(qū)尺寸 66 Irwin 小范圍屈服理論 可以得到塑性區(qū)尺寸 rp 為 ： 67 平面應力 平面應變 68 Plastic zone shapes for sliding mode and tearing modes 69 It was mentioned that it is extremely difficult to properly describe size and shape of the plastic zone at the same time. Plastic zone appearance on

39、the front surface, back surface and a normal section of a notched silicon iron specimen in plane stress 70 應力松弛的修正 在上面的分析中，我們假設塑性區(qū)不影響其周圍的應力分布。即未 考慮塑性區(qū)內塑性變形引起的應力松弛，即 應力再分布影響。 這樣，就相當于將奇異的 K場在裂紋前的塑性區(qū)的簡單地用 Von Mises屈服應力代替。因此，上面給出的 塑性區(qū)尺寸 的解顯然 無法 滿足總體靜力平衡方程 。 Irwin認為，我們可以 將塑性區(qū)尺寸的增大到某一值 ，使總體的靜 力平衡方程得到滿足。 7

40、1 1 x 2 x a A A B B C C 0 r 0 R ys 2 2 e f f 或 BC BC AC ABC BC BC 22 ABC AB 00 00 0 2200 0 22dd 22 rr ys K K r rKR r r K r 場 如圖所示，虛線 表示線彈性裂紋尖端場即 K場，曲線 表示考慮塑性區(qū)引起應力松馳后的應力分布，其中近似認為 是 段的簡單平衡。 在小范圍屈服條件下 ， 認為 下方 的面積等于 下方的面積 。因此，要使裂紋前方延長線上的應 力與外載相平衡，就要求應力松馳后的曲線 與線彈性的 K場下面 的面積相等，即： 應力松弛的修正 72 對于平面應力情況，當 0 y

41、sr K 221 03 跟據(jù) Mises條件 sys ，即單向拉伸時的屈服極限。 把 rKy 2/1 2 2 0 2 s Kr ， 代入上面的積分，得到在考慮應力 可見，應力松弛使塑性區(qū)尺寸增加一倍。 2 00 1 2 s s s K K KRr 松馳條件下，平面應力 I型裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸 應力松弛的修正 73 同理，對于平面應變情況，當 ， 0 據(jù) Mises條件 ysr K 221 ys 2)( 213 sys 21 1 ，把 rKy 2/1 22 2 0 212 s Kr 代入上面的積分， 可以得到在考慮應力松馳時，平面應變 I型 可見，平面應變狀態(tài)下，若考慮塑性區(qū)應力松弛影響，塑

42、性區(qū)尺寸同樣增加一倍。上述結果，是偏安全的近似解。 裂紋的尖端塑性區(qū)尺寸為 22 0 00 22 0 1 2 1 22 2 12 2 ss s K Kr Rr K r 應力松弛的修正 74 關于塑性區(qū)的尺寸和形狀，兩點補充說明： 分析沒有考慮材料強化 ,材料強化使裂紋尖端塑性區(qū)的尺 寸變小 ,對于設計是偏于安全的 . 一種非常簡化的分析，實際上裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸和 形狀與上面的結果都有所偏差。在平面應力情況下，還 有其他的塑性區(qū)形狀，如窄條屈服區(qū)。 在三維情況下，例如核電站的壓力容器和管道中的一個 穿透裂紋，塑性區(qū)是一個三維的復雜形狀。 75 考慮應力松弛修正后的 K 在考慮塑性區(qū)修正后，裂

43、紋前方的應力場變成了的 分布，也就是 說在塑性區(qū)以外的應力場相等于向前移動了（ ）的距離。因為 ，所以 Irwin建議將裂紋尺寸進行如下的修正 : 等效裂紋的尖端在屈服區(qū)的中心，它由修正裂尖的 K場所包圍。如果 在線彈性情況下， K表示為 : ABC 00Rr 002Rr e f f 0a a r等效裂紋尺寸或 當量裂紋尺寸 處稱為物理裂紋尖端， 處稱為虛設裂紋尖端 0r 0rr ,K K a G 0,K K a r G 修正后 76 yraa 稱為等效裂紋長度 等效裂紋模型法 指以 代替原裂紋長，對應力強度因子進行 修正。這說明，塑性區(qū)的存在相當于裂紋長度增加，即裂紋 體的柔度增加，因而裂紋

44、的應變能釋放率也增加。 a 在引入小范圍屈服情況 下 等效裂紋長度 的概念 后，線彈性斷裂力學中 的應力強度因子理論仍 然有效。只要將應力強 度因子 K中的裂紋長度用 等效裂紋長度代替即可 等效裂紋長度與應力強度因子 77 等效裂紋長度與應力強度因子 應力強度因子 裂紋尖端應力場強弱的標志。 取等效裂紋長度 ，令等效裂尖附近應力場的 線彈性理論分布曲線在原裂紋塑性區(qū)邊界 C1 yraa 即在 處的應力等于 yrRr ys ysy 又因為 ，所以有 r K y 2 ys yrR K )(2 2 2 2 ysy KRr K 應力松弛后的應力強度因子。 78 平面應力下 ，有 sys 2 21 s

45、KR 代入上式，并近似設 KK 得 2 2 2 1 s y Kr 平面應變下，按 2 2 2 )21(1 s KR sys )21( 1 則 2 2 2 )21(2 1 s y Kr 等效裂紋長度與應力強度因子 2y Rr 裂紋的計算邊界正好在塑性區(qū)的中心 79 另外，若按一般采用的公式 2 22 1 s KR sys 22 則： 2 24 1 s y Kr 繼而按等效裂紋長度計算等效應力強度因子 ，一 般工程應用中，取 ，又因 ，用等 效裂長 代替 ，則有： K KK aYK yra a yraYK 對于平面應力情況，代入相應的 ，得 yr 22 2 1 s Y aY K 等效裂紋長度與應力

46、強度因子 80 同理可得平面應變狀態(tài)下應力強度因子 2 2 24 1 s Y aY K 可見兩種狀態(tài)下應力強度因子都擴大。上述結論都 是近似的，我們假設了 ，且未考慮等效裂長對形 狀因子 Y的影響。對于復雜問題要用逐次逼近法求 ，具 體步驟見書。 KK K 等效裂紋長度與應力強度因子 81 前面我們已經(jīng)有 I 型裂紋應力強度因子 KI 的表達式 其中 Y(g， a) 稱為幾何影響因子。 引入小范圍屈服情況下的等效裂紋長度， 由于 而塑性區(qū)長度 ro又依賴于應力強度因子 KI，所以，考慮小范 圍屈服修正后的應力強度因子需要迭代計算。 aagYagYK I ),()( e f fe f fI aa

47、gYK ),( oe ff raa 00, 0 . 5 0 . 5 s a R P P 或 Irwin的上述理論是在小范圍屈服 的條件下建立的，即要求 : 等效裂紋長度與應力強度因子 82 如何而來？ 因為平面應變下，沿板厚在第三向拉應力 ,三向拉伸 應力作用下 ,材料不易屈服 ,即材料的有效屈服應力 比 單向拉伸屈服應力要高 ,而平面應力條件下 ,有效屈服應 力 . 3 ys 3 3ys 下面進行證明： 設 是最大主應力 , , ,代入 mises準則 1 max 21n 31m 2 2 2 2 2m a x ( 1 ) ( ) ( 1 ) 2 sn n m m 設塑性約束系數(shù) ,代入上式有

48、 max s c ss= ys 122m a x 2( 1 ) s c n m m n n m 83 對 型裂紋平面應變 : 2 1 1 si n 2 1 si n 2 n 3 12 11 () 2 1 si n 2 m 在 x軸上 , 0 1 , 2nm m a x 1 21sc 若取 ,則 ,即 1 3 3c m ax 3 s 對平面應力 3 0 , 0 , 1mn m a x 1 s c max s 84 把塑性區(qū)中最大應力 叫做有效屈服應力用 表示 , 1 m ax ys 1 3 ( ) 12 () ss ys s plane st rai n plane st re ss 表面平面應

49、變在 的平面上 ,屈服區(qū)內最大應力 是 的三倍 . 0 ys s 實際一般試件表面是處于平面應力 ,只有中心部分才是平面應 變 ,故平均約束系數(shù) ,實驗測定 ,用環(huán)形切口圓 棒試件所做的拉伸試驗 ,在三向拉伸狀態(tài)下： 3c 1 .5 2 .0c 一般取 1 . 7 2 2y s s s 2 2 ( ) () s ys s p la n e s tr a in p la n e s tr e s s , 85 復習 -線彈性斷裂力學 線彈性材料的斷裂準則 -應力強度因子斷裂準則： 條件：塑性區(qū)比 K場區(qū)小得多，而 K場區(qū)又比裂紋長 度小得多 , c r c rK K G G 或 失 穩(wěn) 斷 裂

50、86 用柔度法確定臨界應變能釋放率 柔度：變形與載荷的比值 總應變能 柔度： 應變能釋放率： 臨界應變能釋放率： CG c F 211 22V F c F 21 2c V cGF aa 21 2 cr cr F cG ba 復習 -線彈性斷裂力學 87 Linear Elastic Crack-tip Fields Mode I: (general case) 88 Mode III: Mode II: 89 Angular distributions of crack-tip stresses for the three modes (rectangular: left; polar:rig

51、ht) -Details of the applied loading enters only through K ! for the infinite plate: K = (*a)1/2 - But for a given Mode there is a characteristic shape of the field ! - Principle of Superposition: for a given Mode, K terms from superposed loadings are additive - The stress and displacement formulas m

52、ay reduced to particularly simple forms: CHARACTERISTICS OF THE STRESS FIELDS 90 型裂紋的 K準則 在脆性斷裂的能量釋放效 率理論中，斷裂準則表示 為： 因為 G和 之間存在著定 量的關系，且該關系式除 了 K和 G以外，僅與材料 常數(shù)（ E和 ）有關，因 此，脆性斷裂準則也可以 用 K表示為： 稱為臨界應力強度因 子或材料的斷裂韌性。 稱為脆性斷裂的 K準則 。它 的物理意義是當裂紋尖端 的應力強度因子達到某一 臨界值時，裂紋將發(fā)生擴 展。 CGG ICKK IK CK 91 材料斷裂韌性 材料的斷裂韌性 臨界應

53、力強度因子，是材料抵抗裂紋擴展能力的度量。是一個 材料常數(shù)。稱為平面應變斷裂韌度 應力強度因子 斷裂準則： 當按照斷裂力學方法得出的含裂紋構件的應力強度因子小于材 料斷裂韌度時，裂紋不擴展，構件安全；反之，裂紋擴展，構件 不安全。 ICK , , IC IC KK KK 裂 紋 不 擴 展 ， 安 全 裂 紋 擴 展 ， 不 安 全 92 材料斷裂韌度與使裂紋啟裂的拉伸應力之間的關系： 使裂紋起裂的拉伸應力與裂紋驅動力（能量釋放率） 之間的關系： 平面應變下應力強度因子和能量釋放率之間的關系： ICf K a ICf EG a 2 21 IC IC E GK 線彈性斷裂力學 93 斷裂過程中，

54、釋放的能量主要耗散在裂紋尖端附近 材料的塑性流動中。對于特定材料，能量耗散過程 中所需要的應變能釋放率被稱為臨界應變能釋放率 ，即 可以得到裂紋啟裂所需要的拉伸應力： crG 21 cr f EG a 線彈性斷裂力學 94 K與 之間的關系 根據(jù)能量釋放率得到了 無限大板中的臨界應力 和臨界裂紋長度： 在理想脆性情況下 : C CC2 22,EEa a ICK a K I C I C CC2 , KKa a 2 根據(jù) K準則，也可以得 到 (由 ): IC 2KE 95 斷裂韌性與試件厚度的關系 如果試件較 薄 ，裂紋尖端近 似處于 平面應力狀態(tài) ，裂紋 尖端比較容易發(fā)生塑性流動 ( 最大剪應

55、力 較大 ) ，裂紋尖端的應力容易得到 松馳， 裂紋不易擴展 ，其 斷 裂韌度較高 。 如果試件較 厚 ，裂紋前方的 主要區(qū)域處于 平面應變狀態(tài) （即 較大，最大剪 應力 較?。?因而不容易發(fā)生塑性流動， 試件更 容易發(fā)生脆性斷裂 ， 因此 斷裂韌性較差 。 B c K c K 斷裂韌性與試件厚度的關系 2 2 3 3 2 21122 平面應變 的斷裂韌性通常 用 表示。 是材料的內廩 性質，它表征在平面應變條 件下 I型裂紋起裂時所需的 最低應力強度因子。 33 11 22 2 2 3 3 2 2111222 ICK ICK 96 97 課外作業(yè) 1. 計算無限大板中心穿透 裂紋裂紋尖端的應力場和位 移場。 2. 計算無限大板中心穿透 裂紋裂紋尖端的應力場和位 移場。 3. “小范圍屈服”指的是什么情況 ?線彈性斷裂力學的理 論公式能否使用？如何使用？ 4. 平面應變狀態(tài)下塑性區(qū)的估算。 5. 應力松弛對塑性區(qū)的影響。 6. 等效裂紋模型法的概念。