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1、4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 1 第一宇宙速度：由地面處發(fā)射使物體環(huán) 繞地球運動，所需的最小速度。 例 1 設于地球表面處 發(fā)射速度為 的物體，到達距地面高度為 h處， 以速度 繞地球作勻速圓周運動 0v v h m Em R hR mmGmv R mmGmv EE 22 0 2 1 2 1 解： 物體只受萬有引力作用，選物體和地球系統(tǒng) 從發(fā)射到在軌道上繞地運動，系統(tǒng)機械能守恒 初態(tài) 末態(tài) 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 2 又由第二定律，得 2 2 hR mGm hR v m E 解得 hR Gm R Gm v EE 2 0 當 (或 ） hR 0h 13 0 109.7

2、sm R Gm v E 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 3 (1) 衛(wèi)星的動能和機械能。 (2) 如要使衛(wèi)星脫離地球引力范圍，這顆衛(wèi) 星在地面最小的發(fā)射速度。 例 2 一質量為 m的人造地球衛(wèi)星，沿半徑 為 r的圓軌道繞地球運行。求 (1) 解 rmrmmG E 2 2 v設地球質量為 m E , 則有 衛(wèi)星的動能為 rGmm E2 221 vmE k 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 4 (無窮遠處為萬有引力勢能零點 ) 衛(wèi)星的勢能為 rGmmE Ep 衛(wèi)星的機械能為 r G m m r G m mE EE 2 r G m m E 2 (2) 以衛(wèi)星和地球為系統(tǒng)，系統(tǒng)機械能守恒

3、 R mGmE E p 1衛(wèi)星在地面發(fā)射時的勢能為 在地面附近發(fā)射的最小速度為 v0 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 5 脫離地球引力時，相當于衛(wèi)星距地球無窮遠處， 此時引力勢能為零，取此時衛(wèi)星速度為 v 則有 0)(21 20 RGmmm Ev 由此解出 R Gm E2 0 v 2R mGg E Rg20 v 16 sm2.118.91037.62 22 0 2 1 2 1 mv R G m mmv E )( 當 v=0時， v0具有最小值 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 6 逃逸速度：物體脫離引力所需要的最小速率 R Gm E2 0 v 若 c0 黑洞 由于引力特大，以至于

4、其發(fā)出的光 子及掠過其旁的任何物質都被吸收回去， 所以看不到它發(fā)出的光，顧名思義稱其 為黑洞。 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 7 當 m一定時 20 2 c GMR 收縮到 視界半徑 設想 1)把地球變成黑洞 mm86.8 遺憾 ？ 162 2411 20 103 1098.51067.622 c GMR 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 8 2)把太陽變成黑洞 162 3011 20 103 1099.11067.622 c GMR m31095.2 3)引力理論： 轉化為黑洞的只能是質 量滿足一定條件的恒星 mm 7.2 太陽的 質量 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版

5、 9 例 3 質量為 M的直角三角形木塊，傾角為 ， 有一質量為 m 的物體從木塊頂端離地面高 度 h 處，由靜止沿斜面下滑。若不計所有摩 擦力，求 m 滑到底端時木塊的速度大小 m h Mv M rv 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 10 解： 分析 M和 m的受力情況， 系統(tǒng)機械能守恒 選系統(tǒng)：由 M， m和地球組成， 過程： m靜止在最高處到 m滑到底端 初始狀態(tài)： m靜止在最高處 機械能 mgh 末狀態(tài) ： m滑到底端， 機械能 22 2 1 2 1 mM mvMv N Mv M gM MN N rv g m 以地面為參考系， 地 面為勢能零點 4-4 機械能守恒舉例 物理學

6、第五版 11 )( 1 2 1 2 1 22 mM mvMvm g h m和 M系統(tǒng)動量守恒？ 動量在水平方向上守恒？ （為什么） )( 20 Mxm Mvvm m相對地面的運動速 度是由 m相對 M的沿斜面 速度 和 m相對地面速度 疊加而成。 rv Mv mv Mv rv o y x 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 12 所以 Mrm vvv )3(c o s rMxm vvv )4(c o s2222 MrrMm vvvvv 2s i n 2 c o s mMmM gh mv M 四式聯(lián)立可解得 mv Mv rv o y x 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 13 討論：

7、(1)本題也可以用牛頓第二定律 求解，但要復雜得多 (2)本題求解中最容易犯的兩種錯誤 一是：動量守恒定律的分析 二是：在有相對運動的情況下速度的計算 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 14 小結： 在求解力學問題時 首先分析運動中有否有守恒量，因守恒 定律適用范圍廣且計算方便 （ 1） 其次運用牛頓第二定律的一次積分形 式 動量原理和功能關系 （ 2） 最后運用牛頓第二定律逐步求解 （ 3） 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 15 小結： 應用守恒定律解題時的思路 與用牛頓定律解題不同 （ 1） 無需具體分析系統(tǒng)中間過程的受力細節(jié)。 （ 2） 守恒定律形式中只涉及到系統(tǒng)的始末 狀

8、態(tài)物理量。 （ 3） 解題步驟大致是：選系統(tǒng)，明過程， 審條件，列守恒，解方程。 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 16 例 4 一彈簧 ,原長為 l0,勁度系數為 k,上端固 定 ,下端掛一質量為 m的物體 ,先用手托住 ,使 彈簧不伸長 .(1)如將物體托住慢慢放下 ,達靜 止 (平衡位置 )時 ,彈簧的最大伸長和彈性力是 是多少 ？ (2)如將物體突然放 手 ,物體到達最低位置時 ,彈 簧的伸長和彈性力各是多少 ？ 物體經過平衡位置時的速度 是多少 ？ l0 x0 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 17 分析 :平衡位置是物體受合外力為零的位置。 物體懸掛于彈簧下端 ,受重力

9、和彈性力作用 . 取物體 ,彈簧和地球為系統(tǒng)時 , ,所 以 ,系統(tǒng)的機械能守恒 .彈性勢能零點通常選 在彈簧的原長處 . 0 ine AA 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 18 解 :(1) 設物體處在平衡位置時 ,彈簧的靜伸長 量為 x0.取坐標 Ox向下為正 ,以平衡位置為坐標 原點 . 00 mgkx k mgx 0 mgkxF 0 得 此時 ,彈簧作用于物體的彈性力大小為 由受力平衡 l0 x0 x O 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 19 (2)突然放手后 ,設物體最 低可到達 x， 此時物體速度 為 v.以“放手”位置和 x處 為系統(tǒng)的始末態(tài) ,此過程系 統(tǒng)的機械

10、能守恒 .選平衡位 置為重力勢能零點 ,彈簧原 長處為彈性勢能零點 . 22 2 1 2 1 mvkxm gx 下面需要求出 v為何值時， x具有極值 l0 x0 x O 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 20 需要求出 v為何值時， x具有極值 具有極值時，一般寫出 xdvdxvfx 0 )( 星式兩邊微分 vmvxkxxmg ddd kxmg mv v x d d 得 v=0時， x具有極值， k mgx 2代入星式，得彈簧的伸長量為 22 2121 mvkxm g x 0dd vx令 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 21 0gxk m gv 22 00 2 1 2 1 mv

11、kxm gx 設物體在平衡位置時的速 度為 v, 仍由機械能守恒定律 得 彈性力大小為 mgkxF 2 l0 x0 x O 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 22 例 5 蕩秋千的原理分析，證明 。 人應在秋千運動到最低點時迅速站起，然后慢 慢下蹲，當秋千蕩到最高點時，再猛然站起， 過了最高點后 再慢慢下蹲， 到了最低點時 再猛地站起， 不斷重復，秋 千即越蕩越高。 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 23 m l l o 4 1 2 3 5 12： 人迅速蹲下，使有 效擺長 om由 l 變?yōu)?l 23：下擺 m-地球 條件 ： E守恒 1 2 m2 = mgl(1 - cos )

12、(1) 34：人站起 系統(tǒng) ： m 條件 ：對 o點角動量守恒 m l = ml (2) v v 4-4 機械能守恒舉例 物理學 第五版 24 45：上擺 系統(tǒng) ： m-地球 條件 ： E守恒 1 2 m2 = mgl(1-cos ) (3) = 1 - cos 1 - cos l 3 l 3 1 人越擺越高，能量哪里來？ 由 (1)、 (2)、 (3)可解得 有 cos 得證。 m l l o 4 1 2 3 5 v v 4-5 碰撞 物理學 第五版 25 1、概念 : 兩個或兩個以上的物體相遇，且相 互作用持續(xù)一個極短暫的時間 碰撞 。 例：碰碰車，鍛鐵，打樁，桌球、滑塊； 狹義：接觸，速

13、度變化 例： 粒子與原子核作用應等。又稱散射。 廣義：接近，短暫互作用，偏離原運動方向。 一、碰撞 4-5 碰撞 物理學 第五版 26 2、特點 物體間相互作用 持續(xù)時間極短 。 作用力變化快，峰值極大， 內力 外力 碰撞一般符合 動量守恒條件 。 時間極短， 位移可略 碰撞過程中物體會產生 形變 。 4-5 碰撞 物理學 第五版 27 二、兩 球的正碰撞（對心碰撞） 1、對心碰撞 :如果兩球在碰撞前的速度在兩球 的中心連線上，則碰撞后的速度也都在這一連 線上，這種碰撞稱為 對心碰撞（正碰撞） 。 碰撞前 10v 20v 1m 2m 碰撞時 12F 21F 1m 2m 1v 2v 碰撞后 1m

14、 2m 4-5 碰撞 物理學 第五版 28 2、恢復系數（牛頓碰撞定律） )( 1 2010 12 vv vve 碰前趨近速度 碰后分離速度 物理實質： 反映總動能損失程度 ； 數值由材料性質定。（實驗測定） 0e1 非對心碰撞又稱為斜碰 ，指碰前速度方向至 少有一個不在球心連線上。 4-5 碰撞 物理學 第五版 29 3、動量守恒方程 )( 22211202101 vmvmvmvm 無動能損失，稱 完全彈性碰撞 ； 4、碰撞分類 動能損失最大，稱 完全非彈性碰撞 ； 有部分動能損失，稱 非完全彈性碰撞 . 4-5 碰撞 物理學 第五版 30 5、碰撞過程中能量的轉化 1m 2m 相遇無形變

15、10v 20v 1f 2f 開始形變 1v 2v 1m 2m 1f 2f 最大形變 1v 2v 1m 2m 10v 20v 1m 2m2010 vv （ 1）追趕階段 。 （ 2）壓縮階段： 第一球追上第二球后，互相 擠壓，形變逐漸增大，直到二球速度相等，此 時二球形變最大，壓縮結束。 4-5 碰撞 物理學 第五版 31 （ 3）恢復階段 后球以彈力作用于前球，使它的速度進一步增 大，前球以彈力作用于后球，使它進一步減速， 這一階段形變逐漸恢復，直到形變不再恢復， 相互作用力為零， 恢復階段結束 1m 2m 分離 1v 2v （ 4）分開階段 21 vv 演示 T3-6.SWF 1f 2f 最

16、大形變 1v 2v 1m 2m 1f 2f 形 變減小 1v 2v 1m 2m 4-5 碰撞 物理學 第五版 32 完全彈性碰撞： 碰后兩球完全恢復原狀 動能 形變能 動能 完全非彈性碰撞： 碰后兩球形變完全沒有恢復 動能 形變能 非完全彈性碰撞： 碰后兩球形變部分恢復 動能 形變能 動能 可能轉化為其他形式能量：熱能，聲能等 4-5 碰撞 物理學 第五版 33 三、速度公式及動能損失 )3(1 21 20102 101 mm vvmevv )4(1 21 20101 202 mm vvmevv )5(1 2 1 2 2010 21 212 vv mm mmeE 由（ 1）（ 2）可得： 4-

17、5 碰撞 物理學 第五版 34 四、討論 1完全彈性碰撞 帶入 (3)， (4)得： 21 20210211 2)( mm mmm vv v 21 1012012 2 2)( mm mmm vvv 1 2010 12 vv vve 動能損失 22010 21 2121 2 1 vv mm mmeE 完全彈性碰撞， 動能不損失 1e 4-5 碰撞 物理學 第五版 35 （ 1） 若 21 mm 注意 交換速度 應用：核反應堆中 , 為中子的減速，應選碳核、 重氫核等較輕元素 102201 vvvv ， 21 2021021 1 2)( mm mmm vv v 21 1012012 2 2)( m

18、m mmm vvv 4-5 碰撞 物理學 第五版 36 完全彈性碰撞 （五個小球質量全同） 4-5 碰撞 物理學 第五版 37 12 mm (3)若 ,且 0 20 v (2)若 0 20 v12 mm ,且 應用：核反應堆中防護材料（反射層） , 應選鉛等較重元素） 0 2101 vvv ， 102101 2 vvvv ， 21 2021021 1 2)( mm mmm vv v 21 1012012 2 2)( mm mmm vvv 4-5 碰撞 物理學 第五版 38 2完全非彈性碰撞 21 202101 21 mm vmvmvv 由動量守恒可得： 0 2010 12 vv vv e 動能

19、損失 22010 21 2121 2 1 vv mm mmeE 動能損失最大 4-5 碰撞 物理學 第五版 39 動能損失： 3非完全彈性碰撞 22010 21 2121 2 1 vv mm mmeE 設 v20=0， 此時損失的機械能為 210 21 2121 2 1 v mm mmeE 2101 21 22 2 11 vm mm me 碰撞前的機械能 0E 0 2 1 2 1 1 1 E m m e 4-5 碰撞 物理學 第五版 40 0 2 1 2 1 1 1 E m m eE 可知，動能損失與恢復系數及質量比有關。 對鍛打（打鐵）， 動能損失用于工件形變，越 多越好，取 m1m2,用大

20、汽錘。 4-5 碰撞 物理學 第五版 41 l A B 例 1 在碰撞實驗中 ， 常 用如圖所示的儀器 。 A 為一小球 ， B為蹄狀物 ， 質量分別為 m1和 m2。 開始時 ， A球從張角 處落下 ， 然后與靜止的 B物相碰撞 ， 嵌入 B中 一起運動 ， 求兩物到達 最高處的張角 。 4-5 碰撞 物理學 第五版 42 l A B 解 整個過程由 三個階段 組成： 由圖中 A到 B，球 A 受重力和懸 線張力作用，對地球、小球系 統(tǒng)，重力為保守內力，張力不 作功，機械能守恒過程； 取 B點的重力勢能為零 。 小球在 A點速度為 v )1(c o s121 121 glmvm 4-5 碰撞

21、 物理學 第五版 43 A、 B與碰撞過程作用時間極短 ， 可認為是兩 者在 B處瞬間完成的 （ 沒有位移 ） ， 此過程是 完全非彈性碰撞 ， 水平方向的動量守恒； 設小球碰后的速度為 v )2(211 vmmvm 4-5 碰撞 物理學 第五版 44 三個關系聯(lián)立解得 c o s121c o s 2 21 1 mm m 兩者一起上升的過程與第一階段相似 ， 是機械 能守恒的過程 。 )3(c o s121 21221 glmmvmm 4-5 碰撞 物理學 第五版 45 例 2:“ 哥倫比亞”號失事原因中的力學模型 2003年 2月 1日 , 美國“哥 倫比亞”號航天飛機在返回途 中飛臨德州上

22、空時解體墜毀 . 4-5 碰撞 物理學 第五版 46 “哥倫比亞”號事故的直接技術原因 這架航天飛機發(fā)射升空秒后，從其 外部燃料箱外脫落的一塊泡沫材料撞上了航 天飛機左翼前緣的熱保護部件并形成了裂孔。 月日，當航天飛機重返大氣層時，超高 溫氣體從裂孔處進入了“哥倫比亞”號機體， 引發(fā)了一系列連鎖反應，造成航天飛機解體， 名宇航員全部遇難。 2003年 2月 5日新聞發(fā)布會公布的數據 :撞擊 的泡沫塊質量約 1.3kg,撞擊速度約 250m/s, 航天飛機的速度約 700m/s. 4-5 碰撞 物理學 第五版 47 完全非彈性碰撞模型 設航天飛機質量為 M，飛行速度為 v；泡沫塊質 量為 m，撞

23、擊速度為 v0，速度方向與航天飛機 飛行的方向在同一直線上二者相撞后的共同 速度為 v沿航天飛機運動的方向取坐標軸 由動量守恒定律得： vmMmvMv )( 0 )m / s(7 0 0 1 )( 0 0 v M m v M m v mM mvMv v )( mM v 4-5 碰撞 物理學 第五版 48 “ +（ -） ” 泡沫塊與航天飛機運動方向相同（反） smvsmv /,/ 250700 0 泡沫所受平均撞擊力： 時間的估算據美 方研究實驗數據 2 0 1 10112 25070031 . )(. t mvvmF N) N)( 1 1 (1077.2 (1085.5 4 4 F F （同

24、向運動） 反向運動） 4-5 碰撞 物理學 第五版 49 完全彈性正碰撞模型 設 :碰撞前泡沫塊速度為 v1,航天飛機速度為 v2； 碰撞后泡沫塊速度為 v，仍取航天飛機運動的 方向為坐標軸由動量守恒和動能守恒可得： 12 21 21 1 2 1 21 2 vv M m vv M m Mm MvvMm v )( )( )( mM 4-5 碰撞 物理學 第五版 50 smvsmv /,/ 2 5 07 0 0 12 （同向） 反向 sm smv / )(/)( 1 1 5 0 1 6 5 02 5 07 0 02 1 )N(107.111011.2 )25 016 50(3.1 42112 t

25、mvvmF “ +” 同向運動； “ -” 反向運動 )N(1055.51011.2 )25 011 50(3.1 42112 t mvvmF 4-5 碰撞 物理學 第五版 51 由上述計算可知，無論采用哪種模型，無 論泡沫塊的運動方向與航天飛機運動方向相同 還是相反，泡沫塊對 “ 哥倫比亞 ” 號的平均撞 擊力的數量級都達到了 ，該力能夠使航天 飛機左翼等處的隔熱瓦損壞，最終造成機毀人 亡的事故 N104 質點動力學動力學小結 物理學 第五版 52 1、常用定理定律關系 由牛頓第二定律推出： 動量定理 動能定理 機械能守恒定律 動量守恒定律 功能原理 角動量定理 角動量守恒定律 解決問題的思

26、路按此順序倒過來， 首先考慮用守恒定律解決問題。 若要求 力的細節(jié)則必須用牛頓第二定律。 質點動力學動力學小結 物理學 第五版 53 范圍：慣性系、宏觀低速運動（只有動量守 恒、角動量守恒、能量守恒對宏觀、微觀都 適用）。 2、 各定理、定律的適用條件，適用范圍。 3、勢能零點 有些綜合問題，既有重力勢能，又有彈性勢 能，注意各勢能零點的位置，不同勢能零點 位置可以同， 也可以不同。（問：一般選 哪里為勢能零點？） 質點動力學動力學小結 物理學 第五版 54 1、一彈性球沿垂直于墻壁的水平方向與墻壁 碰撞，設球的質量為 m，碰撞前后的速度大 小相等（都是 v），方向相反，有人認為： 墻在球碰撞

27、前后并未運動，其球對墻作用 的沖量為零，試據理評論此說法。 討論 2、下列各物理量中，與參照系有關的物 理量是哪些？（不考慮相對論效應） (1) 質量 (2)動量 (3) 沖量 (4) 動能 (5)勢能 (6)功 作業(yè)： 1011冬季學期大學物理一習題 32-36 質點動力學動力學小結 物理學 第五版 55 32 如圖 所示 , 在光滑水平面上有一彈簧， 其一端固定于光滑的軸承 O 上，另一端栓一 個質量為 m=2kg 的小球，彈簧的質量很小， 原長很短，因此都可以忽略不計。當小球沿 半徑為 r （單位為 m ）的圓周作勻速率圓周 運動時，彈簧作用于質點上的彈性力大小為 3r （單位為 N ）

28、，此時系統(tǒng)的總能量為 12J 。 求質點的運動速率 及圓軌道半徑。 質點動力學動力學小結 物理學 第五版 56 33 如圖 ，在與水平面成 角的光滑斜面上 放一質量為 m 的物體，此物體系于一倔強 系數為 k 的輕彈簧的一端，彈簧的另一端 22 0 2 )( 2 1 2 1 2 1 s i ns i n gm kxkxgmEvm k 固定。設物體最初靜止。 今使物體獲得一沿斜面向 下的速度，設起始動能為 Eko ，試證物體在彈簧伸長 x 時的速率 v 由下式得到： 質點動力學動力學小結 物理學 第五版 57 34 如圖 ，水平小車的 B端固定一彈簧，彈簧自然 長度時，靠在彈簧上的滑塊距小車 A

29、端為 L，已知 小車質量 M=10kg ，滑塊質量 m=1kg ,彈簧的倔強 系數 k=110N/m , L=1.1m ,現將彈簧壓縮 L=0.05m 并維持小車靜止，然后同時釋放滑塊與小車。忽 略一切摩擦。求 : (2)滑塊與彈簧分離后，又 經多少時間滑塊從小車上 掉下來？ (1)滑塊與彈簧剛剛分離時，小車及滑塊相對地的 速度各為多少？ 質點動力學動力學小結 物理學 第五版 58 35 如圖 ，質量為 m 的木塊，從高為 h ，傾 角為 的光滑斜面上由靜止開始下滑，滑入 裝著砂子的木箱中，砂子和木箱的總質量 為 M ，木箱與一端固定、倔強系數為 k 的水 平輕彈簧連接，最初彈簧為原長，木塊落 入后，彈簧的最大壓縮量為 l ，試求木箱與 水平面間的 摩擦系數 。 質點動力學動力學小結 物理學 第五版 59 36 如圖所示，一輛靜止在光滑水平面上的 小車，車上裝有光滑的弧形軌道，總質量為 M 。今有一質量為 m 、速度為 v0 的鐵球，從 軌道下端水平射入，求球沿弧形軌道上升的 最大高度 h 及此后下降離開小車時的速度 v 。