《《離散數(shù)學》第9—11章 習題詳解!》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《離散數(shù)學》第9—11章 習題詳解!（49頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三部分代數(shù)結構 第九章代數(shù)系統(tǒng) 內容提要 1 二元運算與一元運算 二元運算設S為集合，函數(shù)f：S S S稱為S上的二元運算這時也稱S對f是封閉的 一元運算設S為集合，函數(shù)f：S S稱為S上的一元運算這時也稱S對f是封閉的 二元與一元運算的算符 ，倡， ，等 二元與一元運算的表示法表達式或者運算表 2 二元運算的性質 （）涉及一個二元運算的算律 交換律：橙 x，y S，x y y x 結合律：橙 x，y，z S，（x y） z x （y z） 冪等律：橙 x S，x x x 消去律：橙 x，y S，x y x z且x癡 y z，y x z x且x癡 y z， （）涉及兩個不同二元運算的算律 分

2、配律：橙 x，y，z S，x （y倡 z） （x y）倡（ x z）， （y倡 z） x （y x）倡（ z x） 吸收律：與倡可交換，橙 x，y S，x （x倡 y） x， x倡（ x y） x （）二元運算的特異元素 單位元e：橙 x S，x e e x x 零元：橙 x S，x x 冪等元x：x x x 可逆元x及其逆元y（也記作x ）：x y y x e （）有關的重要結果 定理9 1 單位元如果存在，則是惟一的 定理9 2 零元如果存在，則是惟一的 定理9 3 如果S，則單位元不等于零元 定理9 4 對于可結合的二元運算，可逆元素x只有惟一的逆元x 3 代數(shù)系統(tǒng) 代數(shù)系統(tǒng)非空集合S與

3、S上的k個一元或二元運算f，f， fk組成的系統(tǒng)，記作S，f， f， fk 同類型的代數(shù)系統(tǒng)與同種的代數(shù)系統(tǒng) 子代數(shù)設V S，f，f， ， fk 是代數(shù)系統(tǒng)，B徹 S，如果B對f，f， ， fk都是封閉的，且 B和S含有相同的代數(shù)常數(shù)，則稱B，f，f， ， fk 是V的子代數(shù) 平凡子代數(shù)與真子代數(shù) 積代數(shù)設V A， 和V B，倡 是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，和倡為二元運算，在集合 A B上如下定義二元運算 ，橙 a，b ， a，b A B，有 a，b a，b a a，b倡 b 稱V A B， 為V與V的積代數(shù)，記作V V這時也稱V和V為V的因子代數(shù) 重要結果： 任何代數(shù)系統(tǒng)V都存在子代數(shù)，V是V的平凡

4、子代數(shù) V的子代數(shù)與V不僅是同類型的，也是同種的 定理9 暢 5 積代數(shù)能夠保持因子代數(shù)的下述運算性質：交換律、結合律、冪等律、分配律、吸 收律、單位元、零元、可逆元素等 4 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構 同態(tài)映射設V A， 和V B，倡 是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，f：V V，且橙 x，y A有 f（x y） f（x）倡 f（y），則稱f是V到V的同態(tài)映射，簡稱同態(tài) 單同態(tài)、滿同態(tài)與同構 基本要求 會判斷給定函數(shù)f是否為集合S上的二元或一元運算 會判斷或者證明二元運算的性質 671第三部分代數(shù)結構 會求二元運算的特異元素 掌握子代數(shù)的概念 掌握積代數(shù)的定義及其性質 能夠判斷函數(shù)是否為同態(tài)并分析同態(tài)的性質 習

5、題課 本章的習題主要有以下題型 題型一判斷運算是否封閉（集合與運算是否構成代數(shù)系統(tǒng)），并對封閉的運算確定其性質 及特異元素 以下集合和運算是否構成代數(shù)系統(tǒng)？如果構成，說明該系統(tǒng)是否滿足交換律、結合律？ 求出該運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元 （）有理數(shù)集Q，x倡 y x y （）自然數(shù)集N，x倡 y xy （）正整數(shù)集Z ，x倡 y （x，y），即求x與y的最大公約數(shù) （） A R，x倡 y x y （） A ， ， ， x倡 y y （） A Z，x倡 y x y xy， 為普通加法 對于下列集合和二元運算，判斷在A上是否封閉，如果是封閉的，則指出它是否滿足交換 律、結合律，是否有零元

6、和單位元 （） A P （a，b），a倡 b a b （） SS，其中S為任意非空集合，運算為函數(shù)合成 （） A是非空集合B上所有關系的矩陣集合，倡為關系矩陣乘法（相加采用邏輯加） （） A nZ nkk Z，n是正整數(shù)，倡為普通乘法 （） A P （a，b），橙 x，y A，x倡 y x磑 y，磑為集合的對稱差 （）非空集合B上所有等價關系的集合，橙 x，y A，x倡 y x y 設A a，b，c，運算倡 ， ，如表所示，說明這些運算是否滿足交換律、結合律、冪等 律、消去律，求這些運算的單位元、零元、冪等元和所有可逆元素的逆元 表9 1 倡 a b c a a a a b a b c c a

7、 c c a b c a a a a b b b b c c c c a b c a a b a b a a a c a a a 771第九章代數(shù)系統(tǒng) 解答與分析 （）構成；交換，不結合，無單位元、零元、可逆元； （）構成；交換，不結合，無單位元、零元、可逆元； （）構成；交換，結合，無單位元和可逆元，零元； （）構成；交換，不結合，無單位元、零元、可逆元； （）不構成； （）構成；交換、結合，單位元，零元，可逆元是和， ，（） 在討論運算性質時注意給定的是什么集合比如（）中的運算不是定義在整數(shù)集Z上，而 是定義在有理數(shù)集Q上，那么除了零元以外，其他有理數(shù)x都是可逆元素，且x x x （）封閉

8、；交換、結合，單位元是碬，零元是a，b； （）封閉；可結合，僅當S為單元集時可交換，單位元是恒等函數(shù)，S為單元集時單位元也是 零元； （）封閉；可結合，僅當B為單元集時可交換；單位元為單位矩陣，零元為全矩陣； （）封閉；可交換、可結合；僅當n 時有單位元，是零元； （）封閉；可交換、可結合；單位元是空集；沒有零元； （）當B時B上的所有等價關系只有恒等關系和全域關系，運算封閉；此時運算具有 交換律和結合律，單位元是恒等關系，零元為全域關系當B時兩個等價關系的并集不一 定具有傳遞性，運算不封閉 注意：有的問題中對所給定的集合或者參數(shù)沒有加以具體說明如（）中的S集合，（）與 （）中的B集合，（）中

9、的正整數(shù)n等，當這些集合或者參數(shù)取不同的值時，系統(tǒng)涉及交換律、單 位元、零元、可逆元等性質有可能會發(fā)生改變，因此要針對不同取值進行分析 倡運算滿足交換、結合、冪等律，不滿足消去律單位元是b；零元是a；a，b，c都是冪等 元；可逆元只有b，b b 運算滿足結合律，冪等律，不滿足交換律和消去律沒有單位元和零元，也沒有可逆元素， a，b，c都是冪等元 運算不滿足交換律、結合律、冪等律和消去律；沒有單位元、零元、可逆元素；只有a是冪 等元 通過運算表可以判別運算性質，也可以求運算的特異元素具體方法如下： 如果運算表的元素關于主對角線成對稱分布，那么運算是可交換的，如例子的倡運算 如果主對角線元素的排列

10、順序與表頭元素的排列順序（例子中的a，b，c）一樣，那么運算是 冪等的，如例子中的倡和運算 如果在運算表中的某行或者某列（除了零元所在的行和列之外）有兩個相同的元素，那么運 算不滿足消去律例如上述的倡運算，由于a是零元，不考慮a所在的行與列，在c所在的行與 列中c都出現(xiàn)了次，這就意味著b倡 c c倡 c或者c倡 b c倡 c，但是顯然沒有b c因此，破壞 871第三部分代數(shù)結構 了消去律 如果一個元素所在的行和列的元素排列順序都與表頭元素排列順序（例子中的a，b，c）一 致，那么這個元素是單位元如倡運算表中的b 如果一個元素的行和列的元素都是這個元素自身，那么這個元素是零元如倡運算表中的 a，

11、其所在的行和列元素全是a，因此它是零元 如果元素x在主對角線中排列的位置與表頭中的位置一致，那么這個元素是冪等元如倡 運算表中的a a在表頭中的位置是第一位，在主對角線也是排在第一位類似的，b與c也滿足 要求 最后談談對結合律的判斷為判斷結合律是否成立應該對A中所有元素x，y，z驗證（xy）z x（yz）是否為真如果A中有n個元素，必須驗證n個等式注意到以下事實：如果x，y，z中 存在單位元或者零元，那么等式一定成立因此驗證只需對A中的非單位元和非零元進行例 如對于倡運算只需驗證（c倡 c）倡 c c倡（ c倡 c）是否成立，顯然這是成立的，因此滿足結合律 對于運算，既沒有單位元，也沒有零元，

12、這種簡化驗證的方法就不起作用了但是觀察到運算具 有下述特征：每個元素都是左零元，即滿足x y x因此，無論是（x y） z還是x （y z）都等于 最左邊的元素x，從而證明了結合律對于運算，上述方法都沒有用觀察運算表只有a b b，其他都是a有可能在涉及a b的運算中破壞結合律由于 （b b） b a b b a b a b （b b）， 因此運算不滿足結合律 題型二確定代數(shù)系統(tǒng)的子集是否構成子代數(shù) 設V Z， ，問Z，V是否為V的子代數(shù)系統(tǒng)？為什么？如果是，說明其中哪 些是平凡的，哪些是真子代數(shù) 設V A，磑 ，其中A P （，），磑為集合的對稱差，試給出V的所有的子代數(shù)， 并說明哪些是平凡

13、的子代數(shù)，哪些是真子代數(shù) 解答與分析 都構成V的子代數(shù)，顯然和V關于運算是封閉的，而對于任意i，j Z，i j （i j） Z，Z關于運算也是封閉的和V是平凡的，和Z是真子代數(shù) 構成V的子代數(shù) A 碬， 平凡的：B 碬， V 非平凡的： 元的：B 碬， B 碬， B 碬， B 碬， B 碬， B 碬， B 碬， 元的：B 碬， B 碬， B 碬， ， B 碬， B 碬， B 碬， 以上子代數(shù)中除了V之外，都是真子代數(shù) 971第九章代數(shù)系統(tǒng) 題型三確定積代數(shù)中的運算 設V ， ，V ， ，其中 （x，y）表示x與y中較大的數(shù)， （x，y）表示x與y中較小的數(shù)，與可以看作二元運算考慮積代數(shù)V V

14、（）設積代數(shù)中的二元運算為運算，給出它的運算表； （）說明積代數(shù)中的單位元和零元 解答與分析 （）運算表如表所示 表9 2 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （）單位元是， ，零元是， 題型四判斷或證明函數(shù)是同態(tài)（同構） 設 C， ，V R， 是代數(shù)系統(tǒng)，為普通乘法下面哪個函數(shù)f是V到V 的同態(tài)？如果f是同態(tài)，指出f是否為單同態(tài)、滿同態(tài)和同構，并求出V在f下的同態(tài)像；如果 不是，請說明理由 （） f：C R，f （z） z，橙 z C；

15、（） f：C R，f （z） z，橙 z C； （） f：C R，f （z） ，橙 z C； （） f：C R，f （z） ，橙 z C 設V A， ，V B，倡 和V C， 都是含有一個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)， 證明 （） V碖 V； （）若V碖 V，則V碖 V； （）若V碖 V，V碖 V，則V碖 V 解答與分析 （）不是同態(tài)，因為f（ ） ，f（） f（） ； （）是同態(tài)，不是單同態(tài)，也不是滿同態(tài)與同構，同態(tài)像f（V） R ； （）是同態(tài)，不是單同態(tài)，也不是滿同態(tài)與同構，同態(tài)像f（V） ； （）不是同態(tài)，因為f（ ） ，f（） f（） 081第三部分代數(shù)結構 （）恒等函數(shù)IA是從A到A的雙射函

16、數(shù)，且橙 x，x V有 IA（x x） x x IA（x） IA（x） 因此V碖 V （）若V碖 V，則存在同構映射f ：V V，那么f ：V V為雙射下面證明f 為同態(tài) 橙 y，y V，存在x，x V使得f（x） y，f（x） y x f （y倡 y） 癡 f（x） f（f （y倡 y） y倡 y f（x）倡 f（x） f（x x） 癡 x x x f （y） f （y） 于是f （y倡 y） f （y） f （y），從而有V碖 V （）由已知存在同構映射f ：V V，g V V，易見f g是V到V的雙射下面證明它也 是同態(tài)映射任取x，x V，則有 f g（x x） g（f（x x） g（f

17、（x）倡 f（x） g（f（x） g（f（x） f g（x） f g（x） 從而得到V碖 V 習題、解答或提示 習題九 列出以下運算的運算表： （） A ， ，橙 x A， x是x的倒數(shù)，即x x ； （） A ，橙 x，y A，有x y （x，y）， （x，y）是x和y之中較大的數(shù) 設A ，S AA， （）試列出S中的所有函數(shù)； （）給出S上合成運算的運算表 設A a，b，c，a，b，c R，能否確定a，b，c的值使得 （） A對普通乘法封閉； （） A對普通加法封閉 判斷下列集合對所給的二元運算是否封閉： （）整數(shù)集合Z和普通的減法運算； （）非零整數(shù)集合Z倡和普通的除法運算； （）全體n

18、 n實矩陣集合Mn（R）和矩陣加法及乘法運算，其中n； （）全體n n實可逆矩陣集合關于矩陣加法和乘法運算，其中n； （）正實數(shù)集合R 和運算，其中運算定義為 181第九章代數(shù)系統(tǒng) 橙 a，b R ，a b ab a b （） n Z ，nZ nzz Z，nZ關于普通的加法和乘法運算； （） A a，a， an，n 運算定義如下： 橙 a，b A，a b b （） S x x Z 關于普通的加法和乘法運算； （） S ，S關于普通的加法和乘法運算； （） S xx n，n Z ，S關于普通的加法和乘法運算 對于上題中封閉的二元運算判斷是否適合交換律，結合律和分配律 對習題中封閉的二元運算找出它

19、的單位元、零元和所有可逆元素的逆元 設倡為Z 上的二元運算，橙 x，y Z ， x倡 y （x，y），即x和y之中較小的數(shù) （）求倡，倡； （） 倡在Z 上是否滿足交換律、結合律和冪等律？ （）求倡運算的單位元、零元及Z 中所有可逆元素的逆元 S Q Q，Q為有理數(shù)集，倡為S上的二元運算，橙 a，b ， x，y S有 a，b 倡 x，y ax，ay b （） 倡運算在S上是否可交換、可結合？是否為冪等的？ （） 倡運算是否有單位元、零元？如果有，請指出，并求S中所有可逆元素的逆元 R為實數(shù)集，定義以下個函數(shù)f，f， f橙 x，y R有 f（ x，y ） x y， f（ x，y ） x y f（

20、 x，y ） x y， f（ x，y ） （x，y） f（ x，y ） （x，y）， f（ x，y ） x y （）指出哪些函數(shù)是R上的二元運算； （）對所有R上的二元運算說明是否為可交換、可結合、冪等的； （）求所有R上二元運算的單位元、零元以及每一個可逆元素的逆元 令S a，b，S上有個二元運算：倡 ， ，和，分別由表確定 表9 3 倡 a b a a a b a a a b a a b b b a a b a b a b a a a b a a b b a b （）這個運算中哪些運算滿足交換律、結合律、冪等律？ （）求每個運算的單位元、零元及所有可逆元素的逆元 設S ，問下面定義的運算能

21、否與S構成代數(shù)系統(tǒng)S，倡 ？如果能構成 代數(shù)系統(tǒng)則說明并運算是否滿足交換律、結合律，并求倡運算的單位元和零元 281第三部分代數(shù)結構 （） x倡 y （x，y），（x，y）是x與y的最大公約數(shù)； （） x倡 y （x，y），（x，y）是x與y的最小公倍數(shù)； （） x倡 y 大于等于x和y的最小整數(shù)； （） x倡 y 質數(shù)p的個數(shù)，其中x p y 設S ff是a，b上的連續(xù)函數(shù)，a，b R，a b，問S關于下面每個運算是否構成代 數(shù)系統(tǒng)？如果能構成代數(shù)系統(tǒng)，說明該運算是否適合交換律和結合律，并求出單位元和零元 （）函數(shù)加法，即（f g）（x） f（x） g（x），橙 x a，b （）函數(shù)減法，即

22、（f g）（x） f（x） g（x），橙 x a，b （）函數(shù)乘法，即（f g）（x） f（x） g（x），橙 x a，b （）函數(shù)除法，即（ fg ）（x） f（x）g（x），橙 x a，b 設A a，b，試給出A上一個不可交換、也不可結合的二元運算 下面各集合都是N的子集，它們能否構成代數(shù)系統(tǒng)V N， 的子代數(shù)： （） xx N x的某次冪可以被整除； （） xx N x與互素； （） xx N x是的因子； （） xx N x是的倍數(shù) 設V Z， ， ，其中和分別代表普通加法和乘法，對下面給定的每個集合確 定它是否構成V的子代數(shù)，為什么？ （） S nn Z； （） S n n Z； （

23、） S ， 設V ， ， ，其中x y表示取x和y之中較大的數(shù) V ，倡， ，其中x倡 y表示取x和y之中較小的數(shù)求出V和V的所有的子代數(shù)指出哪些是平凡的子 代數(shù)，哪些是真子代數(shù) V R倡 ， ，其中R倡為非零實數(shù)集合，為普通乘法，判斷下面的哪些函數(shù)是V的 自同態(tài)？是否為單自同態(tài)、滿自同態(tài)和自同構？計算V的同態(tài)像 （） f（x） x；（） f（x） x；（） f（x） x； （） f（x） x ；（） f（x） x；（） f（x） x V Z， ， ， V Zn，磑，磗 ，其中Z為整數(shù)集， ，分別為普通加法與乘 法，Zn ， n ，磑與磗分別為模n加法和模n乘法令f ：Z Zn，f（x） （x

24、） n 證明f為V到V的滿同態(tài)映射 設V A， ，V B，倡 為同類型代數(shù)系統(tǒng)，V V是積代數(shù)，定義函數(shù)f：A B A，f（ x，y ） x，證明f是V V到V的同態(tài)映射 381第九章代數(shù)系統(tǒng) 解答或提示 運算表如表，表所示 表9 4 x x 表9 5 （） f ， ， ， ； f ， ， ， ； f ， ， ， ； f ， ， ， （）運算表如表所示 （）可以，A ，； （）不可以 表9 6 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f （）封閉； （）不封閉； （）加法、乘法都封閉；（）加法不封閉，乘法封閉； （）不封閉；（）加法、乘法都封

25、閉； （）封閉； （）加法不封閉，乘法封閉（）加法不封 閉，乘法封閉； （）加法不封閉，乘法封閉 （）沒有交換律、結合律，對于一個運算不能考慮分配律； （）加法滿足交換律、結合律，乘法滿足結合律，乘法對加法滿足分配律； （）乘法滿足結合律； （）加法和乘法都滿足交換律、結合律，乘法對加法滿足分配律； （）滿足結合律； （）乘法滿足交換律、結合律； （）乘法滿足交換律、結合律； （）乘法滿足交換律、結合律 （）沒有單位元、零元，沒有可逆元素 481第三部分代數(shù)結構 （） n階全矩陣是加法單位元，也是乘法的零元；n階單位矩陣是乘法單位元；加法沒有零 元任意n階矩陣M對于加法都是可逆元素，其逆元為

26、M；只有n階可逆矩陣（行列式不為） 對乘法是可逆元素，其逆元為M （）乘法單位元為n階單位矩陣，沒有零元每個矩陣M都有逆元M （）加法單位元，沒有零元，每個元素x都可逆，其逆元是它的相反數(shù) x當n 時，乘 法有單位元，只有兩個可逆元素： ，（ ） 當n 時乘法沒有單位元和可逆 元素 （）沒有單位元和零元，也沒有可逆元素 （）乘法單位元為，只有是可逆元素， （）乘法單位元為，只有是可逆元素， 乘法零元是 （）乘法沒有單位元、零元以及可逆元素 （） 倡 ，倡 ； （）滿足交換律、結合律、冪等律； （）沒有單位元，是零元沒有可逆元素 （）不可交換反例： ， 倡 ， ， ， ， 倡 ， ， 可結合，因

27、為橙 a，b ， c，d ， g，f Q Q， （ a，b 倡 c，d ）倡 g，f ac，ad b 倡 g，f acg，acf ad b a，b 倡（ c，d 倡 g，f ） a，b 倡 cg，cf d acg，acf ad b 不是冪等的，因為， 倡 ， ， （）容易驗證， 為單位元，沒有零元當a時， a，b 的逆元為a ， ba （）都是R上的二元運算 （）除了f以外都是可交換的，除了f和f以外都是可結合的，f和f是冪等的 （） f的單位元是，沒有零元，每個實數(shù)x的逆元是 x f沒有單位元和零元，也沒有可 逆元素 f的單位元是，零元是，除了以外，實數(shù)x的逆元是x f，f和f沒有單位元和零

28、 元，也沒有可逆元素 （）交換律：倡 ， ， ；冪等律： ； 結合律：倡 ， ， ；由于（a a） b b b a，a （a b） a a b，運算沒有結合律 （） 倡運算無單位元，a是零元；運算單位元是a，無零元，a a，b b；和運算無單位 元和零元 （）能構成代數(shù)系統(tǒng)滿足交換律、結合律，無單位元，零元是； （）不能構成代數(shù)系統(tǒng)； （）能構成代數(shù)系統(tǒng)滿足交換律、結合律，單位元是，零元是； （）不能構成代數(shù)系統(tǒng) 581第九章代數(shù)系統(tǒng) （）是代數(shù)系統(tǒng)滿足交換律與結合律單位元是常函數(shù)f，橙 x a，b，f （x） ，沒 有零元； （）是代數(shù)系統(tǒng)不滿足交換律，也不滿足結合律無單位元和零元； （）是

29、代數(shù)系統(tǒng)滿足交換律、結合律單位元為常函數(shù)f，橙 x a，b，f（x） 零元為 （）中的f； （）不構成代數(shù)系統(tǒng) 如表所示，a b b a， （b a） b a b b， b （a b） b b a 表9 7 a b a b b b a a （）能； （）不能； （）不能； （）能 （）能，因為S對加法和乘法都封閉； （）不能，因為對加法不封閉； （）不能，因為對加法不封閉 V的子代數(shù)為，；V的子代數(shù)為，其中平凡的子 代數(shù)為，；真子代數(shù)為， （）、（）和（）的函數(shù)f不是自同態(tài) （）是自同態(tài)，但不是單自同態(tài)，也不是滿自同態(tài)，不是自同構，f（V） R ， ； （）是自同態(tài)，但不是單自同態(tài)，也不是滿自

30、同態(tài)，不是自同構，f（V） R ， ； （）是自同態(tài)、單自同態(tài)、滿自同態(tài)、自同構 f（V） V 顯然f是滿射，且橙 x，y Z有 f（x y） （x y） n （x） n磑（ y） n f（x）磑 f（y） f（x y） （x y） n （x） n磗（ y） n f（x）磗 f（y） 設V V A B， ，橙 x，y ， x，y A B，有 f（ x，y x，y ） f（ x x，y倡 y ） x x f（ x，y ） f（ x，y ） 于是f是V V到V的同態(tài)映射 小測驗 試題 填空題（每小題分，共分） 681第三部分代數(shù)結構 （）設A ， ，則A關于普通加法、減法、乘法、除法中運算是 封閉

31、的； （）設R倡為非零實數(shù)集，以下各式右邊的運算為普通四則運算， a b a b ，a倡 b ab ，a b ab，a b a b 則在R倡上不可結合的運算是運算； （）設Z ，磗為模乘法，即x磗 y （xy） 則Z，磗 的運算表為 ； （）設Z為整數(shù)集，橙 a，b Z，a b a b ，橙 a Z，a的逆元a ； （）設代數(shù)系統(tǒng)V Z， ，其中Z為整數(shù)集合，Z kk Z， 為普通加法則V 的子代數(shù)是； （）設代數(shù)系統(tǒng)V A， ， A a b b a a，b Z ， 為矩陣加法則V中運算的單位 元和矩陣a b b a的逆元分別是 簡答題（每小題分，共分） （）判斷正整數(shù)集合Z 和下面的每個二元

32、運算是否構成代數(shù)系統(tǒng)如果是，則說明這個運 算是否適合交換律、結合律和冪等律，并求出單位元和零元 a b （a，b），a倡 b （a，b），a b ab，a b ab ba （）設A a，b，試給出A上所有的一元運算，并找出一個既不可交換也不可結合的二元 運算 （）設代數(shù)系統(tǒng)V，V，V中的運算分別如表所示，說明這些運算是否滿足交換律、結 合律和冪等律，求出單位元、零元和所有可逆元素的逆元（如果存在的話） 表9 8 a b c a a a a b b b b c c c c 倡 a b c a a b c b b a c c c c c a b c a a b c b b b c c c c b

33、（）代數(shù)系統(tǒng)V P （a，b），磑 ，磑為集合的對稱差運算，求出V的所有子代數(shù)，并說 明哪些是非平凡的真子代數(shù) 證明題（每小題分，共分） （）設V A， 是代數(shù)系統(tǒng)，V中適合結合律，存在單位元，且每個元素都有逆元，證明 橙 a，b，c A，a b a c癡 b c 781第九章代數(shù)系統(tǒng) （）設V Q倡 ， 和V Q， 是代數(shù)系統(tǒng)，其中Q是有理數(shù)集合，Q倡 Q 和分別代表普通乘法和加法證明不存在V到V的同構映射 應用題（分） 設是非空有窮字母表，是上的有限個字符構成的序列序列中的字符個數(shù)稱為串的 長度，記作表示空串， 對任意的k N，令 k表示上的所有長度為k的串的集 合，那么 倡 i i表示上

34、的所有串的集合在 倡定義連接運算，橙 ， 倡 ， a a am， b b bn，那么 aa am b b bn回答下面的問題： （）如果 n， 倡 等于什么？ （） 倡與連接運算構成代數(shù)系統(tǒng)，分析這個系統(tǒng)是否滿足交換律、結合律、冪等律和消去 律，是否具有單位元和零元 （）令f： 倡 N，f（） ，證明f構成 倡 ， 到N， 的滿同態(tài)映射 答案或解答 （）乘法和除法； （）和倡； （）運算表如表所示 表9 9 磗 （） a； （） nZ nkk Z，n N； （） ， a bb a （ ） ，倡，運算構成代數(shù)系統(tǒng)和倡運算滿足交換律、結合律與冪等律倡運算零元是 運算的單位元是 （） 個一元運算和所

35、要求的二元運算的運算表如表所示 表9 1 0 a a b a a a b b a b b a a b b b a b a b b b a a 881第三部分代數(shù)結構 （b a） b a b b，b （a b） b b a，a b b a （）運算滿足結合律、冪等律 倡運算滿足交換律、結合律，單位元為a，零元為c a a，b b 運算滿足交換律、結合律，單位元為a a a （）子代數(shù)為碬，碬， a，碬， b，碬， a，b，V除了碬和V以外都是非平凡 的真子代數(shù) （） 橙 a，b，c A，a b a c癡 a （a b） a （a c） 癡（ a a） b （a a） c癡 e b e c癡 b

36、c （）假設f是V到V的同構，那么f（） ，于是有 f（ ） f（ ） f（ ）（ ） f（） 從而得f（ ） ，這與f的單射性矛盾 （） 倡 （）不滿足交換律和冪等律，滿足結合律和消去律，單位元是空串，沒有零元 （） 橙 ， 倡 ， aa am， bb bn f（ ） f（a a am bb bn） m n f（ ） f（ ） 因此f是同態(tài)下面證明f的滿射性由于非空，至少存在一個字符屬于，比如說a對于任意 自然數(shù)k，令k個a構成的串為x，那么f（x） k，因此 f N 981第九章代數(shù)系統(tǒng) 第十章群與環(huán) 內容提要 1 半群與獨異點 半群設V S， 為代數(shù)系統(tǒng)，為二元運算，如果是可結合的，則稱

37、V為半群 獨異點設V S， 為半群，若e S是關于運算的單位元，則稱V是獨異點，記作V S， ，e 半群與獨異點的冪運算 x e（只對獨異點成立）， x x， xn xnx， xmxn xm n， （xm）n xmn 子半群和子獨異點半群和獨異點的子代數(shù) 2 群的定義及實例 群設G ， 為代數(shù)系統(tǒng)，為二元運算，如果運算是可結合的，存在e G ，并且對于G中 的任何元素x都有x G ，則稱G為群 群的實例整數(shù)加群Z， ，實數(shù)加群R， ，有理數(shù)加群Q， ，復數(shù)加群 C，模n整數(shù)加群Zn，磑 ， n階實矩陣的加群Mn（R）， ， 四元群G e，a，b，c， 平凡群e，有限群，無限群，交換群（群），循

38、環(huán)群a ，n元置換群 元素的冪a G ，n Z，則a的n次冪 an e， n an a， n （a ）m， n ，n m 元素的階設G是群，a G ，使得等式ak e成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作ak， 稱a為k階元若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱a為無限階元 3 群的基本性質 （）定理10 1 群的冪運算規(guī)則設G為群，則 橙 a G ，（a ） a 橙 a，b G ，（ab） b a 橙 a G ，anam an m，n，m Z 橙 a G ，（an）m anm，n，m Z 若G為交換群，則（ab）n anbn 推廣形式為（a a ar） a r a r a a （）定理10 2 G為群，則

39、G適合消去律，即橙 a，b，c G有ab ac癡 b c和ba ca癡 b c （）定理10 3 G為群，a G且ar設k是整數(shù)，則ak e騁 rk且有a a 4 子群 判定定理設G為群，H是G的非空子集， 判定定理一（定理）： H G 騁橙 a，b H有ab H且橙 a H有a H 判定定理二（定理）： H G 騁橙 a，b H有ab H 判定定理三（定理）： H是G的非空有窮子集，則H G 騁橙 a，b H有ab H 實例 元素a的生成子群a ak k Z 中心C aa G 橙 x G （ax xa） 重要結果 子群的交仍是子群，兩個子群的并一般不構成子群 子群的結構偏序集L（G ），徹

40、稱為G的子群格，其中L（G ） HH是G的子群 5 群的分解 陪集設H G ，a G ，稱Ha hah H是H在G中的右陪集，a為Ha的代表元素 陪集的性質（定理定理）：設H是群G的子群 （） He H （） 橙 a G有a Ha （） a Hb騁 ab H騁 Ha Hb （）在G上定義關系R ：橙 a，b G ， a，b R 騁 ab H，則R是G上的等價關系，且aR Ha （） 橙 a G ，H Ha Lagrange定理（定理）設G是有限群，H是G的子群，則G H G H，其 中G H是H的陪集個數(shù)，稱為H在G中的指數(shù) 重要推論 （）設G是n階群，則橙 a G ，a是n的因子，且有an

41、e （）階為素數(shù)的群G一定是循環(huán)群 6 循環(huán)群 循環(huán)群G a ak k Z，其中a稱為G的生成元 191第十章群與環(huán) n階循環(huán)群和無限循環(huán)群 重要結果 （）定理10 11 設G a 是循環(huán)群若G是無限循環(huán)群，則G只有兩個生成元，即a和 a 若G是n階循環(huán)群，則G含有矱（ n）個生成元對于任何小于n且與n互質的自然數(shù)r，ar是 G的生成元 （）定理10 12 設G a 是循環(huán)群，則G的子群仍是循環(huán)群若G a 是無限循環(huán) 群，則G的子群除e以外都是無限循環(huán)群若G a 是n階循環(huán)群，則對n的每個正因子d， G恰好含有一個d階子群 7 置換群 n元置換設S ， n，S上的任何雙射函數(shù)： S S稱為S上

42、的n元置換 三種表示法：置換符號表示、不相交的輪換表示、對換表示 奇置換與偶置換 n元置換群及其實例：n元對稱群Sn，n元交錯群An，n元置換群（Sn的子群） An Sn，An n！ ，Sn n！ 重要結果 Polya計數(shù)定理設N ， n是被著色物體的集合，G ， ， 是N上的置 換群用m種顏色對N中的元素進行著色，則在G的作用下不同的著色方案數(shù)是 M G 鈔 g k mc（ k） 其中c（ k）是置換 k的輪換表示式中包含 輪換在內的輪換個數(shù) 8 環(huán)的定義和性質 環(huán)設R ， ， 是代數(shù)系統(tǒng)， 和是二元運算如果滿足以下條件： （） R ， 構成交換群， （） R ， 構成半群， （） 運算關于

43、運算適合分配律 則稱R ， ， 是一個環(huán) 環(huán)的實例整數(shù)環(huán)，有理數(shù)環(huán)，實數(shù)環(huán)，復數(shù)環(huán)，n階實矩陣環(huán)，模n的整數(shù)環(huán) 環(huán)的運算性質設R ， ， 是環(huán)，則 （） 橙 a R ，a a （） 橙 a，b R ，（ a）b a（ b） ab （） 橙 a，b，c R ，a（b c） ab ac，（b c）a ba ca （） 橙 a，a， an，b，b， bm R （n，m） 鈔 n i ai 鈔 m j bj 鈔 n i 鈔 m j aibj 291第三部分代數(shù)結構 9 特殊的環(huán) 定義設R ， ， 是環(huán)， （）若環(huán)中乘法適合交換律，則稱R是交換環(huán) （）若環(huán)中乘法存在單位元，則稱R是含幺環(huán) （）若橙 a，

44、b R ，ab 癡 a b ，則稱R是無零因子環(huán) （）若R既是交換環(huán)、含幺環(huán)，也是無零因子環(huán)，則稱R是整環(huán) （）設R是整環(huán)，且R中至少含有兩個元素若橙 a R 倡 ，其中R 倡 R ，都有a R ， 則稱R是域 整環(huán)和域的實例有理數(shù)域、實數(shù)域和復數(shù)域，整數(shù)環(huán)是整環(huán)，不是域對于模n的整數(shù)環(huán) Zn，若n是素數(shù)，則Zn是域 基本要求 判斷或者證明給定集合和運算是否構成半群、獨異點、群、環(huán)、域 會運用群的基本性質證明相關的命題 能夠證明G的子集構成G的子群 熟悉陪集的定義和性質 熟悉拉格朗日定理及其推論 會求循環(huán)群的生成元及其子群 熟悉n元置換的表示方法、乘法以及n元置換群 能夠運用定理解決簡單的計數(shù)

45、問題 了解環(huán)的運算性質，能進行環(huán)中的運算 習題課 本章的習題主要有以下題型 題型一判別或驗證給定集合和運算構成半群、獨異點、群、環(huán)、域 判斷下面集合關于給定運算能否構成半群、獨異點和群如果不能，請說明理由 （） n n Z關于普通加法； （） m n m，n Z關于普通乘法； （）實數(shù)集R關于運算，其中運算定義為a b （a b）； （）設R為實數(shù)集， R R關于運算，其中運算定義為a， b c， d a c，b d 391第十章群與環(huán) 在整數(shù)環(huán)中定義倡和兩個運算，橙 a，b Z有a倡 b a b ， a b a b ab，證明 Z，倡， 構成環(huán) 解答與分析 （）構成半群、獨異點和群； （）構

46、成半群與獨異點，但不構成群，因為沒有逆元； （）不構成半群，運算沒有結合律，例如 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （）構成半群、獨異點和群 先驗證封閉性橙 a，b Z有a倡 b，a b Z，下面驗證結合律任取a，b，c Z （a倡 b）倡 c （a b ）倡 c （a b ） c a b c a倡（ b倡 c） a倡（ b c ） a （ b c ） a b c （a b） c （a b ab） c （a b ab） c （ a b ab）c a b c （ ab ac bc） abc a（ b c） a（ b c bc） a （ b c bc） a（b c bc） a b c

47、 （ ab ac bc） abc 為倡運算的單位元 a為a關于倡運算的逆元倡運算滿足交換律，所以Z關于倡運算 構成交換群，關于運算構成半群最后證明關于倡運算滿足分配律 a（ b倡 c） a（ b c ） a （ b c ） a（b c ） a b c ab ac （a b）倡（ a c） （a b ab） （ a c ac） a b a c ab ac a b c ab ac 綜合上述， Z，倡， 構成環(huán) 求解這類問題的主要方法是根據(jù)定義進行驗證對于半群要驗證封閉性和結合律；對于獨異 點要驗證封閉性、結合律以及單位元；對于群，除了進行以上驗證之外，還必須驗證每個元素都有 逆元；而對于環(huán)則除了驗

48、證兩個運算分別構成交換群和半群之外，還要驗證乘法對加法的分 配律 題型二群或環(huán)中簡單的計算題 這些計算包括：計算元素的階、元素的冪、子群的陪集、循環(huán)群的生成元和子群、置換群中的 乘積和逆、同態(tài)像、環(huán)中公式的展開式等 設Z為模整數(shù)加群，求所有元素的階 設G為群，x，y屬于G ，且yxy x，其中x不是單位元，y是階元求x的階 設G為模加群，求 在G中所有的左陪集 設G的運算表如表所示，問G是否為循環(huán)群？如果是，求出它所有的生成元和 子群 491第三部分代數(shù)結構 表10 1 abcdef a abcdef b bcdefa c cdefab d defabc e efabcd f fabcde 設

49、R ， ， 是環(huán)，a，b為環(huán)中任意元素，計算（a b）（b a） 在域Z中解下列方程組： x y x y 解答與分析 所有元素的階為： ， ， ， （ yxy ）（yxy ） x癡 yxy x yxy x癡 x y yx y是階元癡 y y 由上述三個結果得到 x yx y yx y yyx x癡 x e 因為x，所以x 確定x的階的基本方法就是到出如下的等式：xk e然后在k的正因子中尋找x的階 ， 的不同左陪集有個，即 ， ， ， ， 對于有限群G ，子群H的不同的陪集數(shù)（右陪集數(shù)或左陪集數(shù)）為G H，一般采取枚舉的 方法計算H的所有的陪集，以右陪集為例求解步驟如下： 第一個右陪集就是H自

50、身 任選元素a G H，求Ha，作為第二個右陪集 任選元素b G （ H Ha），做第三個右陪集Hb 任選元素c G （ H Ha Hb），做第四個右陪集， 依次做下去，由于G是有限群，經(jīng)過有限步就可以得到G的全體右陪集 591第十章群與環(huán) 易見a為單位元由于生成元的階與群的階相等只要是階元就是生成元 b，所 以b為生成元，因而G是循環(huán)群 c，d，e，c，d，e不是生成元 f ，因而f也是 生成元子群有a a， c c，e，a， d d，a，G （ a b）（b a） （a ab ba b）（b a） ab ab bab b a aba ba b a 由第一個方程得到y(tǒng) x ，代入第二個方程得

51、到x 從而得到x ，y 題型三子群的證明與子群格結構 設G為群，a是G中的階元，證明G中與a可交換的元素構成G的子群 設為虛數(shù)單位，即 ，令 G ， ， ， 則G關于矩陣乘法構成群找出G的所有子群，并畫出它的子群格 解答與分析 令H xx G xa ax，下面證明H是G的子群首先e屬于H，H是G的非空子集 任取x，y H，有 （xy ）a x（y a） x（a y） x（ay） x（ya） xa y xay axy a（xy ） 因此xy 屬于H由判定定理命題得證 證明子群可以用判定定理，特別是判定定理二證明的步驟是：首先驗證H非空，然后對任 取的x，y H，證明xy H 令A，B，C，D分別

52、表示 ， ， ， ，G的運算表如表所示 G的子群有個，即 平凡子群： A A，G 階子群： A A， A， 階子群： B A，B， A， B， C A，C， A， C， D A，D， A， D G的子群格如圖所示 對于較小的有限群G ，可以按照子群格的結構從底層（平凡子群e）開始，然后逐層向上， 從小到大枚舉它的子群，直到G本身為止，從而得到一個子群格目前還沒有高效的對每個群都 適用的枚舉算法可以嘗試計算每個元素的階，找到由每個元素生成的子群，然后按照它們之間 的包含關系做出一個偏序結構接著從下層向上逐步檢查子群的并集，看看它們是否構成新的更 大的子群如果能夠構成，就把它加到這個偏序結構中；否

53、則就需要把運算所產生的新元素加到 其中，直到它關于運算封閉為止由并集所產生的新子群需要加到偏序結構中 691第三部分代數(shù)結構 表10 2 A A B B C C D D A A A B B C C D D A A A B B C C D D B B B A A D D C C B B B A A D D C C C C C D D A A B B C C C D D A A B B D D D C C B B A A D D D C C B B A A圖 題型四證明群中的簡單性質 設G為群，a G是有限階元，對于任意x G ，證明xax a 證明偶數(shù)階群必含階元（習題十第題） 解答與分析 設a

54、n，xax m由下式 （xax ）n xanx e 有mn由于a可以表示成 a x （xax ）（x ） 根據(jù)前面的結果，也有nm綜合上述有m n 證明元素a和b的階相等的基本方法是：設an，bm，然后證明nm和mn為此，只 要證明am e和bn e在化簡am或bn時，使用的公式主要有：群中的結合律以及元素的冪運算 規(guī)則，即 （ab）c a（bc） （a ） a，（a a an） an a a an am an m，（an）m anm 由x e騁 x或換句話說，對于G中元素x，如果x，必有x x由于x x ，階大于的元素成對出現(xiàn)，共有偶數(shù)個那么剩下的階和階元總共應該是偶數(shù)個階 元只有個，就是單

55、位元，從而證明了G中必有階元 以上證明題都涉及群的簡單性質這類問題通常要求證明以下命題： 群中的元素相等，這里的元素通常是若干元素運算的結果； 群中的子集相等； 元素的階相等或者整除； 791第十章群與環(huán) 其他簡單命題，如交換性等 基本的證明方法可以總結如下： 證明群中元素相等的基本方法就是用結合律、消去律、單位元及逆元的性質、群的冪運算 規(guī)則等對等式進行變形和化簡 證明子集相等的基本方法就是證明兩個子集相互包含 證明兩個元素的階r和s相等、r整除s、某個元素的階等于r等命題的基本方法是證明整 除在證明中可以使用結合律、消去律、冪運算規(guī)則以及關于元素的階的性質（定理）特別 地，可能用到a為階或

56、階元的充分必要條件a a 題型五定理的應用 設H，H分別是群G的r，s階子群，若（r，s） ，證明H H e（習題十第題） 解答與分析 易見H H是H的子群，也是H的子群由定理，子群的階是群的階的因子，因 此H H 整除r，也整除s從而，H H 整除r與s的最大公因子由已知r與s的最大公因 子（r，s） ，這就得到H H 根據(jù)定理，可以給出一些與有限群相關的計數(shù)結果設H為G的子群，a是G中元 素，N（a） xx G ，xa ax為a的正規(guī)化子（可以證明N（a）也是G的子群并且C徹 N（a）， 那么有 HxHx C是N（a） 和G 的因子 aa 是N（a） 和G 的因子 an 是a的因子 圖 a

57、 e騁 a a 騁 a或 題型六定理的應用 用種顏色涂色 的方格棋盤，每個方格一種顏色如果 允許棋盤任意旋轉或翻轉，問有多少種不同的涂色方案？ 如圖， T是一棵七個結點的樹，我們用黑白兩色對T的 結點著色如果交換T的某個左子樹與右子樹以后，一種著色方案 變成另一種著色方案，則認為這兩種方案是同樣的方案問不同的 著色方案有多少種？ 解答與分析 群G的置換結構為： 恒等置換： （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯）個 繞中心旋轉度，度：（瞯 瞯 瞯 瞯） （瞯 瞯 瞯 瞯） （瞯） 個 繞中心旋轉度：（瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯） 個 翻轉度

58、：（瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯） （瞯） （瞯） 個 891第三部分代數(shù)結構 根據(jù)定理，不同的著色方案數(shù)是 M （ ） 置換群G含有如下個置換： （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） 根據(jù)定理有 M （ ） 圖中有個對稱軸，即過結點、的垂直線，所有的置換都可以用圍繞這些軸的翻 轉來表示需要注意的是，這些置換必須構成群如果兩個置換合成以后得到一個新的置換，那么 就要把這個新的置換加到群中去，直到所

59、有置換的集合關于合成運算封閉為止這里的合成恰好 產生個新的置換，因此群中共有個置換 習題、解答或提示 習題十 設A ，試給出半群AA， 的運算表，其中為函數(shù)的復合運算 判斷下列集合關于指定的運算是否構成半群，獨異點和群： （） a是正實數(shù)，G an n Z，運算是普通乘法； （） Q 為正有理數(shù)集，運算是普通乘法； （） Q 為正有理數(shù)集，運算是普通加法； （）一元實系數(shù)多項式的集合關于多項式的加法； （）一元實系數(shù)多項式的集合關于多項式的乘法； （） Un xx C xn ，n為某個給定的正整數(shù)，C為復數(shù)集合，運算是復數(shù)乘法 在R中定義二元運算倡使得橙 a，b R， a倡 b a b ab

60、證明R，倡 構成獨異點 991第十章群與環(huán) S a，b，c，倡是S上的二元運算，且橙 x，y S，x倡 y x， （）證明S關于倡運算構成半群； （）試通過增加最少的元素使得S擴張成一個獨異點 設V a，b，倡 是半群，且a倡 a b，證明 （） a倡 b b倡 a； （） b倡 b b 設V S，倡 是可交換半群，若a，b是V中的冪等元，證明a倡 b也是V中的冪等元 設G a ba，b Z，為虛數(shù)單位，即 驗證G關于復數(shù)加法構成群 設S ，磗為模乘法，即 橙 x，y S，x磗 y （xy） 問S，磗 構成什么代數(shù)系統(tǒng)（半群，獨異點，群）？為什么？ 設Z為整數(shù)集合，在Z上定義二元運算如下： 橙

61、 x，y Z，x y x y 問Z關于運算能否構成群？為什么？ 設A xx R x，在A上定義個函數(shù)如下： f（x） x，f（x） x ，f（x） x， f（x） （ x） ， f（x） （x ） x ， f（x） x（x ） 令F為這個函數(shù)構成的集合，運算為函數(shù)的復合運算 （）給出運算的運算表； （）驗證F ， 是一個群 設G ， ， ， ，證明G關于矩陣乘法構成一個群 Zn ， n ，定義 T xx Zn且（x，n） 這里的（x，n）表示x與n的最大公約數(shù)，證明T關于模n乘法構成群 證明定理的（）（）和（），即設為群，證明 （） 橙 a，b G ，（ab） b a ； （） 橙 a G ，

62、（an）m anm； （）若G為交換群，則（ab）n anbn 證明定理即證明群G中運算適合消去律 設G為群，若橙 x G有x e，證明G為交換群 設G為群，證明e為G中惟一的冪等元 設G為群，a，b，c G ，證明 abcbcacab 證明偶數(shù)階群必含階元 002第三部分代數(shù)結構 設G為非群，證明G中存在非單位元a和b，a b，且ab ba 設G為Mn（R）上的加法群，n，判斷下述子集是否構成子群 （）全體對稱矩陣； （）全體對角矩陣； （）全體行列式大于等于的矩陣； （）全體上（下）三角矩陣 設G為群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N（a）表示G中與a可交換的元素構成的 集合，即 N（a）

63、 xx G xa ax 證明N（a）是G的子群 設H是群G的子群，x G ，令 xHx xhx h H 證明xHx 是G的子群，稱為H的共軛子群 畫出群Z，磗 的子群格 設H和K分別為群G的r，s階子群，若r和S互素，證明H K e 對以下各小題給定的群G 和G ，以及f：G G ，說明f是否為群G 到G 的同態(tài)，如果 是，說明是否為單同態(tài)、滿同態(tài)和同構求同態(tài)像f（G ） （） G Z， ， G R倡 ， ，其中R倡為非零實數(shù)集合， 和分別表示數(shù)的加法 和乘法 f：Z R倡 ，f（x） ， x是偶數(shù)， x是奇數(shù) （） G Z， ， G A， ，其中和分別表示數(shù)的加法和乘法，A xx C x，其

64、中C為復數(shù)集合 f：Z A，f（x） x x （） G R， ， G A， ， 和以及A的定義同（） f：R A，f（x） x x 證明循環(huán)群一定是阿貝爾群，說明阿貝爾群是否一定是循環(huán)群，并證明你的結論 設G 為循環(huán)群，f是群G 到G 的同態(tài)，證明f（G ）也是循環(huán)群 設G a 是階循環(huán)群 （）求出G的所有生成元； （）求出G的所有子群 設，是元置換，且 ， ， （）計算， ， ， ； 102第十章群與環(huán) （）將， ， 表成不交的輪換之積； （）將（）中的置換表示成對換之積，并說明哪些為奇置換，哪些為偶置換 如果允許立方體在空間任意轉動，用n種顏色著色立方體的個面，證明不同的著色方 案數(shù)是（n

65、 n n n） 一個圓環(huán)上等距離地鑲有顆珠子，每顆珠子可以是紅、藍、黃三種顏色，問有多少種不 同的鑲嵌方案？ 設A a ba，b Z， ，證明關于復數(shù)加法和乘法構成環(huán)，稱為高斯整數(shù)環(huán) 設f（x） a ax a x anxn，a，a， an為實數(shù)，稱f（x）為實數(shù)域上的n次多 項式，令 A f（x） f（x）為實數(shù)域上的n次多項式，n N 證明A關于多項式的加法和乘法構成一個環(huán)，稱為實數(shù)域上的多項式環(huán) 判斷下列集合和給定運算是否構成環(huán)、整環(huán)和域，如果不能構成，說明理由 （） A a ba，b Q，其中 ，運算為復數(shù)加法和乘法； （） A z z Z，運算為實數(shù)加法和乘法； （） A zz Z，運

66、算為實數(shù)加法和乘法； （） A xx x Z，運算為實數(shù)加法和乘法； （） A a b a，b Q，運算為實數(shù)加法和乘法 在域Z中解下列方程和方程組： （） x ； （） x z ， z x ， x y 設a和b是含幺環(huán)R中的兩個可逆元，證明： （） a也是可逆元，且（ a） a ； （） ab也是可逆元，且（ab） b a 設R是環(huán)，令 C xx R 橙 a R （xa ax） C稱作R的中心，證明C是R的子環(huán) 證明定理 （），即設R是環(huán)，則橙 a，b，c R ，有 a（b c） ab ac，（b c）a ba ca 答案或提示 f ， ， ， ，f ， ， ， ，f ， ， ， ，f ， ， ， ，運算表如表所示 202第三部分代數(shù)結構 表10 3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f （）構成半群、獨異點和群； （）構成半群、獨異點和群； （）構成半群，不構成獨異點，也不構成群； （）構成半群、獨異點和群； （）構成半群和獨異點，不構成群； （）構成半群、獨異點和群 顯然運算是封閉的，下面證明結合律橙 a，b，c R， （