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1、1 基 于 Matlab的 模 糊 聚 類 分 析 及 其 應(yīng) 用管理數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程匯報(bào)學(xué)號(hào)：2120111705姓名：賈珊 預(yù) 備 知 識(shí)1 基 于 MATLAB的 模 糊 聚類 分 析 的 傳 遞 方 法2 實(shí) 例 應(yīng) 用3 3 u 聚 類 分 析 和 模 糊 聚 類 分 析u 模 糊 相 似 矩 陣u 模 糊 等 價(jià) 矩 陣u 模 糊 矩 陣 的 - 截 矩 陣u 模 糊 傳 遞 閉 包 和 等 價(jià) 閉 包 4 定 義 一 ： （ 模 糊 ） 聚 類 分 析 在 科 學(xué) 技 術(shù) ， 經(jīng) 濟(jì) 管 理 中 常 常 需 要 按 一 定 的 標(biāo) 準(zhǔn) (相 似 程度 或 親 疏 關(guān) 系 )進(jìn) 行 分

2、 類 。 對(duì) 所 研 究 的 事 物 按 一 定 標(biāo) 準(zhǔn) 進(jìn) 行分 類 的 數(shù) 學(xué) 方 法 稱 為 聚 類 分 析 。 由 于 科 學(xué) 技 術(shù) ， 經(jīng) 濟(jì) 管 理 中 的 分 類 往 往 具 有 模 糊 性 ， 因此 采 用 模 糊 聚 類 方 法 通 常 比 較 符 合 實(shí) 際 。 我 們 不 能 明 確 地 回答 “是 ” 或 “否 ”， 而 是 只 能 作 出 “在 某 種 程 度 上 是 ” 的 回 答， 這 就 是 模 糊 聚 類 分 析 。 定 義 二 ： 模 糊 相 似 矩 陣 若 模 糊 關(guān) 系 R 是 X 上 各 元 素 之 間 的 模 糊 關(guān) 系 ， 且 滿 足 ： (1)

3、 自 反 性 ： R( x , x ) = 1； (2) 對(duì) 稱 性 ： R( x , y ) = R( y , x ) ； 則 稱 模 糊 關(guān) 系 R 是 X 上 的 一 個(gè) 模 糊 相 似 關(guān) 系 . 當(dāng) 論 域 X = x1, x2, , xn為 有 限 時(shí) ， X 上 的 一 個(gè) 模 糊 相 似關(guān) 系 R 就 是 模 糊 相 似 矩 陣 ， 即 R滿 足 ： (1) 自 反 性 ： I R ( r ii =1 )； (2) 對(duì) 稱 性 ： RT = R ( rij = rji ). 定 義 三 ： 模 糊 等 價(jià) 矩 陣 若 X =x1, x2, , xn 為 有 限 論 域 時(shí) ，

4、X 上 的 模 糊 等 價(jià)關(guān) 系 R 是 一 個(gè) 矩 陣 （ 稱 為 模 糊 等 價(jià) 矩 陣 ） ， 它 滿 足 下 述三 個(gè) 條 件 ：(1) 自 反 性 ： rii=1, i =1, 2, , n。(2) 對(duì) 稱 性 ： rij= rji， i， j =1, 2, , n。(3) 傳 遞 性 ： R R R， 即 .,2,1,1 njirrr ijkjiknk 定 義 四 ： 模 糊 矩 陣 的 截 矩 陣設(shè) A = (aij)m n,對(duì) 任 意 的 0, 1， 稱A= (aij()m n,為 模 糊 矩 陣 A的 - 截 矩 陣 , 其 中 當(dāng) aij 時(shí) ， aij() =1； 當(dāng) a

5、ij 時(shí) ， aij() =0. 顯 然 ， A的 - 截 矩 陣 為 布 爾 矩 陣 . 1110 1100 1011 0011,18.03.00 8.011.02.0 3.01.015.0 02.05.01 3.0AA 若 R 是 X 上 的 模 糊 等 價(jià) 關(guān) 系 ， 則 其 截 關(guān) 系 是 經(jīng) 典 等 價(jià)關(guān) 系 ， 它 們 都 可 將 X 作 一 個(gè) 劃 分 ， 當(dāng) 從 1 下 降 到 0 時(shí) ， 就得 到 一 個(gè) 劃 分 族 ， 而 且 由 于 時(shí) ， R x R x ， 即 R 給 出 的 分 類 結(jié) 果 中 的 每 類 ， 是 R 給 出 的 分 類 結(jié) 果 的 子 類 ， 所以

6、 R 給 出 的 分 類 結(jié) 果 比 R 給 出 的 分 類 結(jié) 果 更 細(xì) 。 隨 著 的下 降 ， R 給 出 的 分 類 越 來 越 粗 ， 這 樣 就 得 到 一 個(gè) 動(dòng) 態(tài) 的 聚 類圖 。 但 通 常 模 糊 關(guān) 系 ， 不 一 定 有 傳 遞 性 ， 因 而 不 是 模 糊 等 價(jià) 關(guān)系 ， 對(duì) 這 種 模 糊 關(guān) 系 直 接 進(jìn) 行 上 述 分 類 顯 然 是 不 合 理 的 。 為 此， 我 們 希 望 尋 求 一 種 方 法 ， 能 將 不 是 等 價(jià) 的 模 糊 關(guān) 系 進(jìn) 行 改 造， 以 便 分 類 使 用 。 定 義 五 ： 模 糊 傳 遞 閉 包設(shè) RF ( X

7、X )， 稱 t(R) 為 R 的 傳 遞 閉 包 ， 如 果 t(R) 滿足 :(1) 傳 遞 性 ： (t(R)2 t(R) ；(2) 包 容 性 ： R t(R) ；(3) 最 小 性 ： 若 R是 X 上 的 模 糊 傳 遞 關(guān) 系 ， 且 R R t(R) R，即 R 的 傳 遞 閉 包 t(R)是 包 含 R 的 最 小 的 傳 遞 關(guān) 系 。 定 義 六 ： 模 糊 等 價(jià) 閉 包設(shè) RF ( X X )， 稱 e(R) 為 R 的 等 價(jià) 閉 包 ， 若 e(R) 滿足 下 述 條 件 ：(1) 等 價(jià) 性 ： e(R) 是 X 上 的 模 糊 等 價(jià) 關(guān) 系 。(2) 包 容

8、 性 ： R e(R)。(3) 最 小 性 ： 若 R 是 X 上 的 模 糊 等 價(jià) 關(guān) 系 ， 且 R R e(R) R 。 顯 然 ， R 的 等 價(jià) 閉 包 是 包 含 R 的 最 小 的 等 價(jià) 關(guān) 系 。 重 要 定 理設(shè) RF ( X X ) 是 相 似 關(guān) 系 ( 即 R 是 自 反 、 對(duì) 稱 模 糊 關(guān)系 ) ， 則 e(R) = t(R) ,即 模 糊 相 似 關(guān) 系 的 傳 遞 閉 包 就 是 它 的 等 價(jià) 閉 包 。 在 實(shí) 際 問 題 中 建 立 的 模 糊 關(guān) 系 ， 多 數(shù) 情 況 下 都 是 相 似關(guān) 系 ， 定 理 給 我 們 提 供 了 一 個(gè) 求 相

9、似 關(guān) 系 的 等 價(jià) 閉 包 的 方 法。 當(dāng) 論 域 為 有 限 集 時(shí) ， 此 法 很 簡(jiǎn) 便 ， 即 對(duì) 相 似 矩 陣 R ， 求 R2， R4， ， 當(dāng) RkRk = Rk 時(shí) ， 便 有 e(R) = t(R) = Rk 。 13 假 設(shè) 待 分 類 對(duì) 象 的 集 合 為 X = X1, X2, , Xn ， 集 合 中 的 每個(gè) 元 素 具 有 m 個(gè) 特 征 ， 設(shè) 第 i 個(gè) 對(duì) 象 Xi 的 第 j ( j = 1, 2, , m ) 個(gè) 特 征 為 xij， 則 Xi 就 可 以 用 這 m 個(gè) 特 征 的 取 值 來描 述 ， 記 Xi = ( xi1, xi2,

10、, xim) ( i =1， 2， ， n )于 是 ,得 到 原 始 數(shù) 據(jù) 矩 陣 為 ： nmnn mmxxx xxx xxx . . .21 22221 11211 u 描 述 事 物 特 征 的 量 綱 是 各 種 各 樣 的 , 為 了 便 于 分 析 和 比較 ,從 而 在 計(jì) 算 的 過 程 中 消 除 這 種 干 擾 。 因 此 要 對(duì) 矩 陣 進(jìn)行 標(biāo) 準(zhǔn) 化 處 理 , 這 可 以 有 各 種 類 型 的 方 法 , 如 平 移 -標(biāo) 準(zhǔn) 差變 換 和 平 移 -標(biāo) 準(zhǔn) 差 變 換 ， 從 而 可 以 把 矩 陣 盡 量 轉(zhuǎn) 化 為 標(biāo)準(zhǔn) 化 矩 陣 。 平 移 標(biāo) 準(zhǔn)

11、差 變 換 ),.,2,1,.,2,1( mjnis xxx j jijij 其中 ni jijjni ijj xxnsxnx 1 21 )(1,1 平 移 極 差 變 換 1|min1|max 1|min nixnix nixxx ijij ijijij Matlab程 序 -bzh1.mu u function Y=bzh1(X)u a,b=size(X);u C=max(X);u D=min(X);u Y=zeros(a,b);u for i=1:au for j=1:b u Y(i,j)=(X(i,j)-D(j)/(C(j)-D(j); %平 移 極 差 變 化 進(jìn) 行 數(shù) 據(jù) 標(biāo) 準(zhǔn)

12、 化u endu endu fprintf(標(biāo) 準(zhǔn) 化 矩 陣 如 下 ： Y=n); u disp(Y)u end u 針 對(duì) 上 述 的 標(biāo) 準(zhǔn) 化 矩 陣 , 計(jì) 算 各 分 類 對(duì) 象 間 的 相 似 程 度 , 從 而 建 立 模 糊 相 似 矩 陣 R= (rij) n n, 這 個(gè) 過 程 又 稱 為 標(biāo) 定 , 計(jì)算 標(biāo) 定 的 方 法 是 很 多 的 , 主 要 包 括 三 大 類 方 法 : (1)相 似 系 數(shù)法 ; (2)距 離 法 ; (3)主 觀 評(píng) 分 法 。 三 類 方 法 各 有 不 同 的 適 用 范圍 , 不 同 的 問 題 需 要 的 方 法 是 不 一

13、 樣 的 。u （ 1） 相 似 系 數(shù) 法 -夾 角 余 弦 法 mk jkmk ikmk jkikij xx xxr 1 21 21 19 mk jkjmk iki xmxxmx 11 1,1 mk jjkmk iikmk jjkiikij xxxx xxxxr 1 21 21 )()( |相 似 系 數(shù) 法 -相 關(guān) 系 數(shù) 法其 中 ， 20 （ 2） 距 離 法 rij = 1 c d (xi, xj )其 中 c為 適 當(dāng) 選 取 的 參 數(shù) .海 明 距 離 mk jkikji xxxxd 1 |),(歐 氏 距 離 mk jkikji xxxxd 1 2)(),(切 比 雪 夫

14、 距 離d (xi, xj ) = | xik- xjk | , 1km （ 3） 主 觀 評(píng) 分 法 請(qǐng) 有 經(jīng) 驗(yàn) 的 人 來 分 別 對(duì) Xi 與 Xj 的 相 似 性 打 分 ， 設(shè)有 s 個(gè) 人 參 加 評(píng) 分 ， 若 第 k 個(gè) 人 (1 k s) 認(rèn) 為 Xi 與 Xj 相 似 的 程 度 為 aij(k) （ 在 0， 1 中 ） ， 他 對(duì) 自 己 評(píng) 分 的 自信 度 也 打 分 ， 若 自 信 度 分 值 是 bij(k) ， 則 可 以 用 下 式 來 計(jì)算 相 似 系 數(shù) : kijsk kijij basr 11 Matlab程 序 -biaod2.m functi

15、on R=biaod2(Y,c) a,b=size(Y); Z=zeros(a);R=zeros(a);for i=1:a for j=1:a for k=1:b Z(i,j)=abs(Y(i,k)-Y(j,k)+Z(i,j); R(i,j)=1-c*Z(i,j);%絕 對(duì) 值 減 數(shù) 法 -歐 氏 距 離 求 模 糊 相似 矩 陣 end endendfprintf(模 糊 相 似 矩 陣 如 下 ： R=n); disp(R) end 所 謂 聚 類 方 法 就 是 依 據(jù) 模 糊 矩 陣 將 所 研 究 的 對(duì) 象 進(jìn) 行分 類 的 方 法 。 對(duì) 于 不 同 的 置 信 水 平 0,

16、1 ， 可 以 得 到不 同 的 分 類 結(jié) 果 ， 從 而 形 成 動(dòng) 態(tài) 聚 類 圖 。 常 用 的 方 法 如下 ：(1) 傳 遞 閉 包 法(2) 布 爾 矩 陣 法(3) 直 接 聚 類 法本 文 基 于 模 糊 聚 類 分 析 的 傳 遞 閉 包 方 法 進(jìn) 行 matlab編 程。 24 當(dāng) X、 Y、 Z 為 有 限 論 域 時(shí) ， 即 X = x1, x2, , xn, Y = y1, y2, , ym ， Z = z1, z2, , zl ， 則 Q、 R、 S （ = Q R） 均 可 表 示 為 矩 陣 形 式 ：Q = (qij)nm , R = (rjk)ml ,

17、S = (sik)nl 其 中S 稱 為 模 糊 矩 陣 Q 與 R 的 乘 積 。 在 當(dāng) 論 域 為 有 限 集 時(shí) ， 傳 遞 閉 包 法 很 簡(jiǎn) 便 ， 即 對(duì) 相似 矩 陣 R ， 求 R 2， R4， ， 當(dāng) RkRk = Rk 時(shí) ， 便 有 e(R) = t(R) = Rk 。 .)( jkijYyik rqs Matlab程 序 -cd3.m function B=cd3(R)a=size(R);B=zeros(a);flag=0;while flag=0for i= 1: a for j= 1: a for k=1:a B( i , j ) = max(min( R( i

18、, k) , R( k, j) ) , B( i , j ) ) ;%R與 R內(nèi) 積， 先 取 小 再 取 大 end endendif B=R flag=1;else R=B;%循 環(huán) 計(jì) 算 R傳 遞 閉 包 endend u 依 次 取 0, 1 ， 截 關(guān) 系 R， R 是 經(jīng) 典 等 價(jià) 關(guān) 系 ， 它誘 導(dǎo) 出 X 上 的 一 個(gè) 劃 分 X/R , 將 X 分 成 一 些 等 價(jià) 類 。 確定 相 應(yīng) 的 截 矩 陣 ， 則 可 以 將 其 分 類 。u 隨 由 大 到 小 ， 分 類 由 細(xì) 到 粗 ， 形 成 一 個(gè) 動(dòng) 態(tài) 的 分 類 圖。 Matlab程 序 - jjz4

19、.m function D k =jjz4(B)L=unique(B);a=size(B);D=zeros(a);for m=length(L):-1:1 k=L(m); for i=1:a for j=1:a if B(i,j)=k D(i,j)=1; else D(i,j)=0;%求 截 距 陣 ， 當(dāng) b ij 時(shí) ， bij() =1； 當(dāng) bij 時(shí) ， bij() =0 end end endfprintf(當(dāng) 分 類 系 數(shù) k=： n);disp(L(m);fprintf(所 得 截 距 陣 為 ： n);disp(D);end 28 環(huán) 境 單 元 分 類 每 個(gè) 環(huán) 境 單

20、 元 可 以 包 括 空 氣 、 水 分 、 土 壤 、 作 物 等 四 個(gè)要 素 。 環(huán) 境 單 元 的 污 染 狀 況 由 污 染 物 在 四 要 素 中 含 量 的 超 限度 來 描 寫 。 假 設(shè) 有 五 個(gè) 單 元 x1, x2, x3, x4, x5， 它 們 的 污 染 數(shù) 據(jù) 如下 表 所 示 。 空 氣 水 分 土 壤 作 物x1 5 5 3 2x2 2 3 4 5 x3 5 5 2 3x4 2 3 4 1x5 2 4 5 1 原 始 矩 陣 X：u X =u 5 5 3 2u 2 3 4 5u 5 5 2 3u 2 3 4 1 其 動(dòng) 態(tài) 分 類 如 圖 3.47 所 示

21、：=1 x1 x3 x4 x5 x2 0.8 0.6 0.5 0.4 動(dòng) 態(tài) 聚 類 圖 u Y=bzh1(X)u 標(biāo) 準(zhǔn) 化 矩 陣 如 下 ： Y=u 1.0000 1.0000 0.3333 0.2500u 0 0 0.6667 1.0000u 1.0000 1.0000 0 0.5000u 0 0 0.6667 0u 0 0.5000 1.0000 0 u R=biaod2(Y,0.1)u 模 糊 相 似 距 離 矩 陣 如 下 ： R=u 1.0000 0.6917 0.9417 0.7417 0.7583u 0.6917 1.0000 0.6833 0.9000 0.8167u 0

22、.9417 0.6833 1.0000 0.6833 0.7000u 0.7417 0.9000 0.6833 1.0000 0.9167u 0.7583 0.8167 0.7000 0.9167 1.0000 u B=cd3(R)u 模 糊 相 似 矩 陣 R的 傳 遞 閉 包 如 下 ： t(R)=u 1.0000 0.7583 0.9417 0.7583 0.7583u 0.7583 1.0000 0.7583 0.9000 0.9000u 0.9417 0.7583 1.0000 0.7583 0.7583u 0.7583 0.9000 0.7583 1.0000 0.9167u 0.

23、7583 0.9000 0.7583 0.9167 1.0000 u jjz4(B)u 當(dāng) 分 類 系 數(shù) 是 k=：u 1u 所 得 截 矩 陣 為 ：u 1 0 0 0 0u 0 1 0 0 0u 0 0 1 0 0u 0 0 0 1 0 u 0 0 0 0 1 u 當(dāng) 分 類 系 數(shù) 是 k=：u 0.9250u 所 得 截 矩 陣 為 ：u 1 0 1 0u 0 1 0 0u 1 0 1 0u 0 0 0 1 u 當(dāng) 分 類 系 數(shù) 是 k=：u 0.9417u 所 得 截 矩 陣 為 ：u 1 0 1 0 0u 0 1 0 0 0u 1 0 1 0 0u 0 0 0 1 0u 0 0

24、 0 0 1 u 當(dāng) 分 類 系 數(shù) 是 k=：u 0.9167u 所 得 截 矩 陣 為 ：u 1 0 1 0 0u 0 1 0 0 0u 1 0 1 0 0u 0 0 0 1 1u 0 0 0 1 1 u 當(dāng) 分 類 系 數(shù) 是 k=：u 0.9000u 所 得 截 矩 陣 為 ：u 1 0 1 0 0u 0 1 0 1 1u 1 0 1 0 0u 0 1 0 1 1u 0 1 0 1 1 u 當(dāng) 分 類 系 數(shù) 是 k=：u 0.7583u 所 得 截 矩 陣 為 ：u 1 1 1 1 1u 1 1 1 1 1u 1 1 1 1 1u 1 1 1 1 1u 1 1 1 1 1 42 謝 謝 大 家 ！