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1、 數(shù)學思想方法是指現(xiàn)實世界的空間形式和 數(shù)量關系反映到人的意識中，經過思維活動產生的結果，是 對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質認識 . 數(shù)學思想：是對數(shù)學內容的進一步提煉和概括，是對數(shù) 學知識的本質認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，帶有普遍的 指導意義，是建立數(shù)學模型和用數(shù)學解決問題的指導思想 . 數(shù)學方法：是指從數(shù)學角度提出問題、解決問題過程中 所采用的各種方式、手段、途徑等 . 數(shù)學思想和數(shù)學方法是緊密聯(lián)系的，兩者的本質相同， 只是站在不同的角度看問題，故?；旆Q為“數(shù)學思想方法” . 初中數(shù)學中的主要數(shù)學思想方法有： 化歸與轉化思想； 方程與函數(shù)思想； 數(shù)形結合思想； 分類討論思想； 統(tǒng)計思想； 整

2、體思想； 消元法； 配方法； 待定系數(shù)法等 . 分類討論思想方法 分類討論思想是指當數(shù)學問題不宜統(tǒng)一方法處理時，我們常 常根據研究對象性質的差異，按照一定的分類方法或標準 ,將 問題分為全而不重，廣而不漏的若干類，然后逐類分別進行 討論，再把結論匯總，得出問題的答案的思想 . 分類原則： (1)分類中的每一部分都是相互獨立的； (2)一次分類必須是同一個標準； (3)分類討論應逐級進行 .分類思想有利于完整地考慮問題，化 整為零地解決問題 . 分類討論問題常與開放探索型問題綜合在一起，貫穿于代數(shù)、 幾何的各個數(shù)學知識板塊，不論是在分類中探究，還是在探究 中分類，都需有扎實的基礎知識和靈活的思維

3、方式，對問題進 行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，切忌以偏概全 . 【 例 1】 (2010 常州中考 )如圖， 已知二次函數(shù) y=ax2+bx+3的圖象 與 x軸相交于點 A、 C，與 y軸相交 于點 B， A( 0)，且 AOB BOC. 9 4， (1)求 C點坐標、 ABC的度數(shù)及二次函數(shù) y=ax2+bx+3的關系式； (2)在線段 AC上是否存在點 M(m， 0).使得以線段 BM為直徑的圓 與邊 BC交于 P點 (與點 B不同 )，且以點 P、 C、 O為頂點的三角形 是等腰三角形？若存在，求出 m的值；若不存在，請說明理由 . 【 思路點撥 】 【 自主解答 】 (1)由題意，得 B(0,

4、3). AOB BOC， OAB=OBC ， OC=4， C(4,0). OAB+OBA=90 ， OBC+OBA=90 .ABC=90 . y=ax 2+bx+3的圖象經過點 A( 0)， C(4,0)， O A O B 2 . 2 5 3. O B O C 3 O C 9, 4 2 1 81 9 a a b 3 0 3 .16 4 7 16 a 4b 3 0 b 12 17 y x x 3. 3 12 ， 解 得 (2)存在 . 如圖 1，當 CP=CO時， 點 P在以 BM為直徑的圓上， BM為圓的直徑 . BPM=90 ， PMAB. CPM CBA. 所以 CM=5. m= -1.

5、CP CM 4 CM , 25CB CA 5 4 ， 即 如圖 2，當 PC=PO時，點 P在 OC垂 直平分線上，所以 PC=PO=PB，所以 PC= BC=2.5. 由 CPM CBA，得 當 OC=OP時， M點不在線段 AC上 . 綜上所述， m的值為 或 -1. 1 2C P C M 25 , C M . C B C A 8 25 7 m 4 . 88 所 以 7 8 1.(2011 浙江中考 )解關于 x的不等式組： a x 2 x 3 . 9 a x 9a 8 【 解析 】 由得 (a-1)x 2a-3, 由得 x 當 a=1時，由得 -2 -3成立 ,x 當 a 1時， x 當

6、 1 a 此時不等式組的解是 x a x 2 x 3 9 a x 9a 8 ， 8, 9 8, 9 2 a 3 12 a 1 a 1 ， 1 9 1 82, 1 0 a 1 9時 ， 8, 9 當 a 時， 此時不等式組的解是 x 當 a 1時，不等式組的解集為 a 1，所以 a-1 0， 所以不等式組的解為 x 綜上所述：當 1a 時，不等式組的解集是 x 當 a 時，不等式組的解集是 x 當 a 1時，不等式組的解集為 1 9 1 82 1 0 a 1 9 ， 2a 3, a1 8 2 a 3x. 9 a 1 2a 3. a1 8 9 12 2 , a1 19 10 8 9； 19 10

7、2a 3a1 ； 8 2 a 3x. 9 a 1 數(shù)形結合思想 數(shù)形結合思想是指把問題中的數(shù)量關系與形象直觀的幾何圖 形有機地結合起來，并充分利用這種結合尋找解題的思路， 使問題得到解決的思想方法 .在分析問題的過程中，注意把數(shù) 和形結合起來考查，根據問題的具體情形，把圖形性質的問 題轉化為數(shù)量關系的問題，或者把數(shù)量關系的問題轉化為圖 形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難 為易，獲取簡便易行的方法 . 數(shù)形結合思想方法是初中數(shù)學中一種重要的思想方法 .數(shù)是形 的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，用數(shù)形結合的思想解題可 分兩類：一是利用幾何圖形的直觀表示數(shù)的問題，它常借用 數(shù)軸、函數(shù)圖

8、象等；二是運用數(shù)量關系來研究幾何圖形問題， 常需要建立方程 (組 )或建立函數(shù)關系式等 . 【 例 2】 (2010 曲靖中考 )如圖，在平 面直角坐標系 xOy中，拋物線 y=x2向左 平移 1個單位，再向下平移 4個單位， 得到拋物線 y=(x-h)2+k,所得拋物線與 x軸交于 A、 B兩點 (點 A在點 B的左邊 )與 y軸交于點 C，頂點為 D. (1)求 h、 k的值； (2)判斷 ACD的形狀，并說明理由； (3)在線段 AC上是否存在點 M，使 AOM與 ABC相似 .若存在， 求出點 M的坐標；若不存在，說明理由 . 【 思路點撥 】 【 自主解答 】 (1)y=x 2的頂點

9、坐標為 (0,0), y=(x -h)2+k的頂點坐標為 D(-1,-4), h= -1,k=-4. (2)由 (1)得 y=(x+1)2-4. 當 y=0時 ,(x+1)2-4=0,x1=-3,x2=1, A( -3,0),B(1,0). 當 x=0時 ,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3, C 點坐標為 (0， -3). 又因為頂點坐標 D(-1,-4), 作出拋物線的對稱軸 x=-1交 x軸于點 E. 作 DFy 軸交 y軸于點 F. 在 Rt AED中， AD2=22+42=20； 在 Rt AOC中， AC2=32+32=18； 在 Rt CFD中， CD2=12+12=2

10、； AC2+CD2=AD2， ACD是直角三角形 . (3)存在 . 由 (2)知， AOC為等腰直角三角形， BAC=45 ,在 AC上取點 M， 連接 OM，過 M點作 MGAB 于點 G, AC= 若 AOM ABC,則 MGAB,AG 2+MG2=AM2, 1 8 3 2 . A O A M A B A C 3 A M 3 3 2 9 2 A M . 4 4 432 ， 即 ， 292 81 94 A G MG , 2 16 4 93 O G A O A G 3 . 44 39 M M ( ) . 44 （ ） 點 在 第 三 象 限 ， ， 若 AOM ACB，則 OG=AO-AG=

11、3-2=1. M 點在第三象限， M(-1， -2). 綜上、所述，存在點 M使 AOM與 ABC相似，且這樣的點 有兩個，其坐標分別為 ( ),(-1,-2). A O A M A C A B ， 2 2 3 A M 3 4 A M 2 2 , 43 2 3 2 22AM A G M G 2 , 22 即 ， 39, 44 2.(2010 十堰中考 )如圖，點 C、 D是以 線段 AB為公共弦的兩條圓弧的中點， AB=4， 點 E、 F分別是線段 CD、 AB上的動點，設 AF=x， AE2-FE2=y,則能表示 y與 x的函數(shù)關系的圖象是 ( ) 【 解析 】 選 C.延長 CD交 AB于

12、點 G， 則 CGAB ， AG=BG=2， AE2-FE2=EG2+AG2-(EG2+FG2) =4-FG2=4-(2-x)2 =-x2+4x, y= -x2+4x.且根據題意知 x0,y0. 故選 C. 3.(2010 成都中考 )如圖，在 ABC中， B=90 ,AB=12 mm,BC=24 mm,動點 P從 點 A開始沿邊 AB向 B以 2 mm/s的速度移動 (不與點 B重合 )，動點 Q從點 B開始沿邊 BC向 C以 4 mm/s的速度 移動 (不與點 C重合 ).如果 P、 Q分別從 A、 B同時出發(fā)，那么經 過 _秒 ,四邊形 APQC的面積最小 . 【 解析 】 設 P、 Q

13、分別從 A、 B同時出發(fā)，那么經過 t秒，四邊形 APQC的面積為 S， 則 S= AB BC- BP BQ = 12 24- (12-2t) 4t, S=4t 2-24t+144 =4(t-3)2+108, 當 t=3 s時，四邊形 APQC的面積最小 . 答案： 3 1 2 1 2 1 2 1 2 4.(2010 臨沂中考 )如圖，二次函數(shù) y=-x2+ax+b的圖象與 x軸交于 A(- ， 0)、 B(2， 0)兩點，且與 y軸交于點 C； 1 2 (1)求該拋物線的解析式，并判斷 ABC的形狀； (2)在 x軸上方的拋物線上有一點 D，且以 A、 C、 D、 B四點為頂 點的四邊形是等

14、腰梯形，請直接寫出 D點的坐標； (3)在此拋物線上是否存在點 P，使得以 A、 C、 B、 P四點為頂 點的四邊形是直角梯形？若存在，求出 P點的坐標；若不存在， 說明理由 . 【 解析 】 (1)根據題意，將 A(- ， 0)， B(2， 0)代入 y=-x2+ax+b中， 得 解這個方程組，得 a= b=1, 該拋物線的解析式為 y=-x2+ x+1, 當 x=0時， y=1, 點 C的坐標為 (0,1), 在 AOC中， 1 2 11 a b 0 ,42 4 2 a b 0 3, 2 3 2 在 BOC中， ABC是直角三角形 . 2 2 2 215A C O A O C ( ) 1

15、. 22 2 2 2 2 2 2 2 B C O B O C 2 1 5 . 15 A B O A O B 2 , 22 5 25 A C B C 5 A B , 44 (2)點 D的坐標為 ( 1). (3)存在 .由 (1)知， ACBC. 若以 BC為底邊，則 BCAP ， 如圖 1所示，可求得直線 BC的解析式為 y= +1, 直線 AP可以看作是由直線 BC平移得到的，所以設直線 AP的解 析式為 y= +b, 把點 A( 0)代入直線 AP的解析式，求得 b= 3 2， 1x 2 1x 2 1 2， 1. 4 直線 AP的解析式為 y= 點 P既在拋物線上，又在直線 AP上， 點

16、P的縱坐標相等，即 解得 11x. 24 2 3 1 1x x 1 x , 2 2 4 12 51 x , x . 22 53 x , y . 22 53 P ( , ) . 22 舍 去 當 時 若以 AC為底邊，則 BPAC ，如圖 2所示 . 可求得直線 AC的解析式為 y=2x+1. 直線 BP可以看作是由直線 AC平移得到的 , 所以設直線 BP的解析式為 y=2x+b， 把點 B(2,0)代入直線 BP的解析式，求得 b=-4, 直線 BP的解析式為 y=2x-4. 點 P既在拋物線上，又在直線 BP上， 點 P的縱坐標相等 , 即 -x2+ +1=2x-4, 解得 x1= x2=

17、2(舍去 ), 當 x= 時， y=-9， 點 P的坐標為 ( ,-9). 綜上所述，滿足題目條件的點 P為 ( )或 ( ). 3x 2 5, 2 5 2 5 2 53, 22 5,9 2 化歸轉化思想 化歸思想是一種最基本的數(shù)學思想，用于解決問題時的基本 思路是化未知為已知，把復雜的問題簡單化，把生疏的問題 熟悉化，把非常規(guī)問題化為常規(guī)問題，把實際問題數(shù)學化， 實現(xiàn)不同的數(shù)學問題間的相互轉化，這也體現(xiàn)了把不易解決 的問題轉化為有章可循，容易解決的問題的思想 . 【 例 3】 (2009 泉州中考 )如圖，等腰梯形花圃 ABCD的底邊 AD 靠墻，另三邊用長為 40米的鐵欄桿圍成，設該花圃的

18、腰 AB的 長為 x米 . (1)請求出底邊 BC的長 (用含 x的代數(shù)式表示 )； (2)若 BAD=60 ，該花圃的面積為 S米 2. 求 S與 x之間的函數(shù)關系式 (要指出自變量 x的取值范圍 )，并 求當 S= 時 x的值； 如果墻長為 24米，試問 S有最大值還是最小值？這個值是多 少？ 93 3 【 思路點撥 】 【 自主解答 】 (1)AB=CD=x 米， BC=40-AB-CD=(40-2x)米 . (2) 如圖，過點 B、 C分別作 BEAD 于 E， CFAD 于 F，在 Rt ABE中， AB=x， BAE=60 ， AE= x， BE= 同理 DF= x,CF= 又 E

19、F=BC=40-2x, AD=AE+EF+DF= x+40 -2x+ x=40-x 1 2 3x 2 ， 1 2 3x 2 ， 1 2 1 2 解得： x1=6， x2= (舍去 )， x=6. 2 2 1 3 3 S ( 4 0 2 x 4 0 x ) x x ( 8 0 3 x ) 2 2 4 3 3x 2 0 3x ( 0 x 2 0) 4 3 S 9 3 3 3x 2 0 3x 9 3 3 4 當 時 ， 220 3 由題意，得 40-x24 ，解得 x16, 結合得 16x 20. 由得， 函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一段， 其對稱軸為 x= 16 由上圖可知， 2 2 3 S 3x

20、 20 3x 4 3 40 400 3 x 3 , 4 3 3 3 a 3 0 , 4 （ ） 40 3， 40 3， 當 16x 20時， S隨 x的增大而減小， 當 x=16時， S取得最大值 . 此時， S最大值 = 23 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 8 3 . 4 5.如圖， ABCD是一矩形紙片， E是 AB上 的一點，且 BEEA=53,EC= 把 BCE沿折痕 EC向上翻折，若點 B恰好 落在 AD邊上，設這個點是 F，以點 A為 原點，以直線 AD為 x軸，以直線 BA為 y軸建立平面直角坐標系， 則過點 F、點 C的一次函數(shù)解析式為 _. 15 5, 【 解析 】

21、 BEEA=53,BE=EF,EFEA=53,AFAE=43. AEF=DFC, AEF DFC, 設 BE=5x, 則 AF=4x,CD=8x,FD=6x,BC=10 x, 又 CE= 由勾股定理得 x=3,所以 BC=30,AF=12,CD=24， F(12,0),C(30,-24), CF 的解析式為 y= +16. 答案： y= +16 A F D C 4 , A E D F 3 15 5, 4x 3 4x 3 6.(2011 涼山中考 )我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界 前列，其中“楊輝三角”就是一例 .如圖，這個三角形的構造 法則：兩腰上的數(shù)都是 1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)

22、之 和，它給出了 (a+b)n(n為正整數(shù) )的展開式 (按 a的次數(shù)由大到 小的順序排列 )的系數(shù)規(guī)律 .例如，在三角形中第三行的三個 數(shù) 1， 2， 1，恰好對應 (a+b)2=a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第 四行的四個數(shù) 1， 3， 3， 1，恰好對應著 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3展開式中的系數(shù)等等 . (1)根據上面的規(guī)律，寫出 (a+b)5的展開式 . (2)利用上面的規(guī)律計算： 25-5 24+10 23-10 22+5 2-1. 【 解析 】 (1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (2)原式 =25+5 24 (

23、-1)+10 23 (-1)2+10 22 (-1)3 +5 2 (-1)4+(-1)5=(2-1)5=1. 7.(2010 威海中考 )(1)探究新知： 如圖，已知 ADBC,AD=BC ，點 M， N是直線 CD上任意兩點 . 求證： ABM與 ABN的面積相等 . 如圖，已知 ADBE,AD=BE,ABCD EF,點 M是直線 CD上任一點，點 G是直線 EF上任一點 .試判斷 ABM與 ABG的面 積是否相等，并說明理由 . (2)結論應用： 如圖，拋物線 y=ax2+bx+c的頂點為 C(1,4),交 x軸于點 A(3,0),交 y軸于 點 D.試探究在拋物線 y=ax2+bx+c上

24、 是否存在除點 C以外的點 E，使得 ADE與 ACD的面積相等？若存在，請求出此時點 E的坐標； 若不存在，請說明理由 . (友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知” 中的結論 .) 【 解析 】 (1) 分別過點 M,N作 MEAB ， NFAB, 垂足分別為點 E,F. ADBC,AD=BC, 四邊形 ABCD為平行四邊形 . ABCD.ME=NF. S ABM= AB ME,S ABN= AB NF, S ABM=S ABN. 1 2 1 2 相等 .理由如下：分別過點 D,E作 DHAB,EKAB, 垂足分別 為 H,K. 則 DHA=EKB=90 . ADBE, DAH

25、=EBK. AD=BE, DAH EBK. DH=EK, CDABEF ， S ABM= AB DH, S ABG= AB EK,S ABM=S ABG. 1 2 1 2 (2)存在 . 因為拋物線的頂點坐標是 C(1,4),所以，可設拋物線的表達式 為 y=a(x-1)2+4.又因為拋物線經過點 A(3,0),將其坐標代入上 式，得 0 a(3-1)2+4, 解得 a=-1. 該拋物線的表達式為 y=-(x-1)2+4, 即 y=-x2+2x+3. D 點坐標為 (0， 3). 設直線 AD的表達式為 y=kx+3，代入點 A的坐標，得 0=3k+3，解 得 k=-1. 直線 AD的表達式為

26、 y=-x+3. 過 C點作 CGx 軸，垂足為 G，交 AD于點 H，則 H點的縱坐標為 -1+3 2. CH=CG -HG=4-2=2. 設點 E的橫坐標為 m， 則點 E的縱坐標為 -m2+2m+3. 過 E點作 EFx 軸，垂足為 F，交 AD于點 P，則點 P的縱坐標為 3-m， EFCG. 由 (1)可知：若 EP=CH,則 ADE與 ADC的面積相等 . (a)若 E點在直線 AD的上方 (如圖 )， 則 PF 3-m, EF=-m2+2m+3. EP=EF -PF=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m. -m2+3m=2.解得 m1=2,m2=1. 當 m=2時， PF=

27、3-2=1,EF=3. E 點坐標為 (2， 3). 同理當 m=1時， E點坐標為 (1， 4)，與 C點重合，故舍去 . (b)若 E點在直線 AD的下方 (如圖 )， 則 PE=(3-m)-(-m2+2m+3)=m2-3m, m 2-3m=2,解得 34 3 17 3 17m , m . 22 當 m= 時， E點的縱坐標為 當 m= 時， E點的縱坐標為 在拋物線上存在除點 C以外的點 E，使得 ADE與 ACD的面 積相等， E點的坐標為 E1(2,3); 3 17 2 3 17 1 1732 22 ； 3 17 2 3 17 1 173 2 . 22 2 3 17 1 17E ( , ) ; 22 3 3 17 1 17E ( , ) . 22