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1、第 五 章 四 邊 形第 二 節(jié) 矩 形 、 菱 形 和 正 方 形 考點(diǎn)精講矩 形 菱 形 和 正 方 形 矩 形菱 形正 方 形平 行 四 邊 形 、 矩 形 、 菱 形 、正 方 形 之 間 的 關(guān) 系 矩 形 性 質(zhì)判 定面 積 ： S _（ a， b表 示 長(zhǎng) 和 寬 ）ab 性 質(zhì) 1.邊 ： 對(duì) 邊 平 行 且 相 等 ， 即2.角 ： 四 個(gè) 角 都 是 直 角 ,即 ABC= BCD= ADC= BAD=903.對(duì) 角 線 ： 矩 形 的 對(duì) 角 線 相 等 ,即 AC _，4.對(duì) 稱 性 ： 既 是 中 心 對(duì) 稱 圖 形 又 是 軸 對(duì) 稱 圖 形 ， 有 _條 對(duì) 稱

2、軸 ,A D=BC ,AD _AB=CD BCAB CD BD2 判定 1.有 一 個(gè) 角 是 _的 平 行 四 邊 形 是 矩 形2.有 三 個(gè) 角 都 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形3.對(duì) 角 線 _的 平 行 四 邊 形 是 矩 形 ,即 直 角相 等平 行 四 邊 形 ABCDAC =BD 四 邊 形 ABCD是 矩 形 菱 形 性 質(zhì)判 定面 積 ： S (m、 n分 別 表 示 兩條 對(duì) 角 線 的 長(zhǎng) )12mn 性 質(zhì) 四 條 邊 都 相 等 ， 即 AB=BC=CD=DA 對(duì) 邊 平 行 ， AB CD， AD BC2.角 ： 對(duì) 角 相 等 ， DAB = DCB,

3、 ADC = ABC3.對(duì) 角 線4.對(duì) 稱 性 ： 既 是 中 心 對(duì) 稱 圖 形 又 是 軸 對(duì) 稱 圖 形 ， 有 _條 對(duì) 稱 軸1.邊 2 3.對(duì)角線 菱 形 的 對(duì) 角 線 互 相 垂 直 且 _,即對(duì) 角 線 平 分 一 組 對(duì) 角 ， 即 AO=OC,DO=OBAC BD平 分 _平 分 DAB與 BCD _平 分 ABC與 ADCBDAC 判定 2.對(duì) 角 線 _的 平 行 四 邊 形 是 菱 形 ,即3.四 條 邊 _的 四邊 形 是 菱 形 ， 即 平 行 四 邊 形 ABCD 四 邊 形 ABCD是 菱 形四 邊 形 ABCDAB=BC=CD=AD 四 邊 形 ABCD

4、是 菱 形AC BD1.有 一 組 鄰 邊 _的 平 行 四 邊 形 是 菱 形相 等互 相 垂 直相 等11 12 13 正 方 形 性 質(zhì)判 定面 積 ： S (a表 示 邊 長(zhǎng) )a2 性 質(zhì) 四 條 邊 都 相 等 ， 即 AB=BC=CD=AD 對(duì) 邊 平 行 ， 即 AB CD, AD BC2.角 ： 四 個(gè) 角 都 是 直 角 ， 即 ABC= BCD= ADC= BAD=903.對(duì) 角 線4.對(duì) 稱 性 :既 是 中 心 對(duì) 稱 圖 形 又 是 軸 對(duì) 稱 圖 形 ，有 4條 對(duì) 稱 軸 1.邊 3.對(duì)角線 對(duì) 角 線 互 相 _且 相 等 對(duì) 角 線 平 分 一 組 對(duì) 角

5、,即 AC BD OA=OC,OB=OD AC=BD垂 直 平 分 DAC= CAB= _ DCA= ACB=45 ADB= BDC= _ ABD= DBC=4514 454515 16 判定 1.有 一 個(gè) 角 是 _的 菱 形 是 正 方 形2.有 一 組 _相 等 的 矩 形 是 正 方 形3.有 一 組 鄰 邊 相 等 ， 并 且 有 一 個(gè) 角 是 直 角 的 平 行 四 邊 形 是 正 方 形4.對(duì) 角 線 相 等 的 _是 正 方 形5.對(duì) 角 線 互 相 _的 矩 形 是 正方 形 ， 即6.對(duì) 角 線 垂 直 平 分 且 相 等的 四 邊 形 是 正 方 形 ， 即17 18

6、 直 角鄰 邊 矩 形 ABCD 四 邊 形ABCD是 正 方 形OA=OC,OB=OD 四 邊 形ABCD是 正 方 形20 AC=BDAC BD菱 形19 垂 直 平 行 四 邊 形 、 矩 形 、 菱 形 和 正 方 形 四 者 之 間 的 關(guān) 系 ：平 行 四 邊 形 菱 形矩 形 正 方 形 一 組 鄰 邊 有 一 個(gè) 角 是 有 一 個(gè) 角 是2123相 等 直 角 直 角22 一 組 鄰 邊 24 相 等有 一 組 鄰 邊 相 等 ， 一 個(gè) 角 是 90 重難點(diǎn)突破一 矩 形 的 性 質(zhì) 與 判 定例 1 如 圖 ， 在 平 行 四 邊 形 ABCD中 ， BAD的 平 分 線

7、 交CD于 點(diǎn) E， 交 BC的 延 長(zhǎng) 線 于 點(diǎn) F， 連 接 BE， F=45 .（ 1） 求 證 ： 四 邊 形 ABCD是 矩 形 ；（ 2） 若 AB=14， DE=8， 求 sin AEB的 值 . 例 1題 圖 【 思 維 教 練 】（1）要證四邊形ABCD是矩形，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以只需證四邊形ABCD的一個(gè)角為直角結(jié)論即可得證；（2）過點(diǎn)B 作BH AE于點(diǎn)H，構(gòu)建Rt BEH .要求sin AEB的值，只需求得BH ,BE的值.在RtBCE和RtAH B中，分別由勾股定理和銳角三角函數(shù)求得BE和BH的值，即可求解. 例 1題 圖 （ 1） 證 明 ： 四

8、邊 形 ABCD是 平 行 四 邊 形 ， AD BC， DAF= F， F=45 ， DAE=45 ， AF是 BAD的 平 分 線 ， EAB= DAE=45 ， DAB= 90 ， 四 邊 形 ABCD是 矩 形 ； 例 1題 圖 （ 2） 解 ： 如 解 圖 ， 過 點(diǎn) B作 BH AE于 點(diǎn) H . 四 邊 形 ABCD是 矩 形 ， AB=CD， AD=BC， DCB= D=90 . AB=14， DE=8， CE=6.在 Rt ADE中 ， DAE=45 ， DEA= DAE=45 ， AD=DE=8， BC=8. 例 1題 解 圖 在 Rt BCE中 ， 由 勾 股 定 理 得

9、 ：BE= =10.在 Rt AH B中 ， H AB=45 , BH =ABsin45 =7 ， 在 Rt BH E中 ， BH E 90 , sin AEB .2 2BC CE 27 210BHBE 例 1題 解 圖 1.矩形判定的一般思路：首先判定是否為平行四邊形，若為平行四邊形，然后找角或者對(duì)角線的關(guān)系，若角度容易求， 則可找其一角為90，便可判定是矩形；若對(duì)角線容易求，則證明其對(duì)角線相等便可判定是矩形.若為一般四邊形，則可證四個(gè)角為直角，便可判定是矩形. 滿分技法 2.運(yùn)用矩形性質(zhì)計(jì)算的一般思路：根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角 ，一條對(duì)角線將矩形分成兩個(gè)直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)求線

10、段的長(zhǎng)是常用的思路，又因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等且互相平分，故可借助對(duì)角線的關(guān)系得到全等三角形.矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形，在矩形性質(zhì)相關(guān)的計(jì)算和證明中要注意這個(gè)結(jié)論的運(yùn)用，建立能夠得到線段或角度的等量關(guān)系. 3.對(duì)于解決矩形中的折疊問題，有以下3方面的考慮：（1）折疊的性質(zhì)：位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕成軸對(duì)稱圖形；滿足折疊性質(zhì)即折疊前后的兩部分圖形全等，對(duì)應(yīng)邊、角、線段、周長(zhǎng)、面積等均相等；折疊之后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分；（2）找出隱含的折疊前后的位置關(guān)系（平行或垂直）和數(shù)量關(guān)系（相等）；（3）一般運(yùn)用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知識(shí)及方程思想，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，解方程來(lái)求

11、線段長(zhǎng). 【 拓 展 1】 如 圖 ， 四 邊 形 ABCD是 矩 形 ， AB=4, AD=3,把矩 形 沿 直 線 AC折 疊 ， 點(diǎn) B落 在 點(diǎn) E處 ， AE交 CD于 點(diǎn) F，連 接 DE， 則 DF的 長(zhǎng) 是 ( )A. B. C. D. 拓 展 1題 圖43 83 78 258 【 解 析 】 四邊形ABCD是矩形， AD=BC3, AB=DC=4, ADF=90,由折疊的性質(zhì)可得BC=EC, CEF= ABC=90, AD=CE, ADF= CEF，在ADF與CEF中， ADFCEF（AAS）， FA=FC,設(shè)DFx,則FAFC=DC-DF=4-x,在RtDFA中，由勾股定理

12、得：DA 2+DF2=AF2,即32+x2=(4-x)2,解得x= ,即DF的長(zhǎng)是 . ADF= CEF AFD= CFE AD=CE， 78 78【 答 案 】 C 【 拓 展 2】 如 圖 ， 在 矩 形 ABCD中 ， DE平 分 ADC交 BC于 點(diǎn) E， EF AD交 AD于 點(diǎn) F， 若 EF 3， AE= 5， 則 AD等 于 _. 拓 展 2題 圖【 解 析 】 四邊形ABCD是矩形， ADC90，又 DE平分 ADC， ADE ADC45， EF AD，EFD是等腰直角三角形， FD=EF=3.在RtAEF中，AF 4， ADAF+FD=4+3=7.2 2AE EF7 12

13、二 菱 形 性 質(zhì) 的 相 關(guān) 計(jì) 算例 2 如 圖 ， 在 菱 形 ABCD中 ， BAD=70 ， AB的 垂 直 平分 線 交 對(duì) 角 線 AC于 點(diǎn) F， 垂 足 為 點(diǎn) E， 連 接 DF， 則 CDF等 于 ( )A. 75B. 70C. 60D. 55 例 2題 圖 【 思 維 教 練 】要求 CDF的度數(shù)，觀察圖形 CDF= ADC- FDA，分別求出 ADC 和 FDA的度數(shù)即可求解，已知四邊形ABCD是菱形， BAD的度數(shù)，易求 ADC 和 FAD的度數(shù)，又由于EF垂直平分AB，連接BF，BD，進(jìn)而得到AF=BF，BF=DF，故AFDF，即 FDA= FAD， CDF的度數(shù)

14、進(jìn)而得解. 【 解 析 】如解圖，連接BD，BF，四邊形ABCD為菱形， BAD70， ADC =110, FAD35,又 EF垂直平分AB，AC垂直平分BD， AF=BF,BF=DF， DF=AF， FDA= FAD35， CDF= ADC- FDA=110-35=75. 例 2題 解 圖【 答 案 】 A 滿 分 技 法菱形的計(jì)算常涉及下面幾種：（1）求角度時(shí)，應(yīng)注意菱形的四條邊相等和對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)等，以及結(jié)合等腰三角形和平行線的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為要求的角，直到找到與已知的角存在的關(guān)系；（2）求長(zhǎng)度（線段長(zhǎng)或者周長(zhǎng)）時(shí)，應(yīng)注意使用等腰三角形的性質(zhì)：若菱形中存在一個(gè)頂角為60，則菱形被 連

15、接另外兩點(diǎn)的對(duì)角線所割的兩個(gè)三角形為等邊三角形，故在計(jì)算時(shí)，可借助等邊三角形的性質(zhì)，由于菱形的對(duì)角線互相垂直，也應(yīng)注意使用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含特殊角的直角三角形等進(jìn)行計(jì)算；（3）求面積時(shí)，可利用菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，面積等于對(duì)角線之積的一半進(jìn)行計(jì)算. 【 拓 展 3】 如 圖 ， 菱 形 ABCD的 周 長(zhǎng) 是 20， 對(duì) 角 線 AC，BD相 交 于 點(diǎn) O， 若 BD 6， 則 菱 形 ABCD的 面 積 是 ( )A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 拓 展 3題 圖【 解 析 】 菱形ABCD的周長(zhǎng)是20， AB=204=5， AC BD，OB

16、 BD=3，OA= =4, AC= 2OA=8,菱形ABCD的面積是 ACBD 8624.2 2AB OB 1212 12 【 拓 展 4】 如 圖 ， 在 菱 形 ABCD中 ， 點(diǎn) O是 對(duì) 角 線 AC的三 等 分 點(diǎn) ， 連 接 OB、 OD， 且 OB OC=OD， 已 知 AC=3，那 么 菱 形 的 邊 長(zhǎng) 為 ( )A. B. 2 C. D. 拓 展 4題 圖3 5 12 32【 解 析 】 四邊形ABCD是菱形， AB=BC, BAC= ACB，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，AC=3， OBOC AC1， BAC= ACB= OBC,BOCABC, 即 ， AB 2=3, AB

17、= .313 OB BCAB AC1 3BCAB A 三 正 方 形 性 質(zhì) 的 相 關(guān) 計(jì) 算例 3 如 圖 ， 正 方 形 ABCD的 邊 長(zhǎng) 為 6， 點(diǎn) E、 F分 別 在 AB，AD上 ， 若 點(diǎn) E為 AB的 中 點(diǎn) ， 且 滿 足 BE+DF=EF， 則 EF的 長(zhǎng) 為 ( )A. 4 B. 3 C. 5 D. 4例 3題 圖2 2 【 思 維 教 練 】要求EF 的長(zhǎng)度，觀察圖形EF在RtAEF中，因?yàn)轭}中未給出特殊角度，可以考慮用勾股定理，所以需計(jì)算出AF 和AE 的長(zhǎng)度.由于點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則AEBE= AB，AB已知，進(jìn)而求得AE的長(zhǎng)度，設(shè)EFx，又因?yàn)锽E+DFEF，

18、即DFEF-BE，AF=AD-DF，將AF用x表示出來(lái)，代入 AF2+AE2=EF2 中列方程求解即可. 12 【 解 析 】設(shè)EF= x ,四邊形ABCD是正方形， AB=AD=6，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)， AE=BE=3， DF=x-3, AF=AD-DF6-(x-3)=9-x，在RtAEF中， AF2+AE2=EF2， (9-x)2+32=x2， x=5，即EF=5.【 答 案 】 C 滿分技法對(duì)于正方形性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算問題，應(yīng)注意合理運(yùn)用其性質(zhì)及由性質(zhì)得到的一些結(jié)論：1.四邊相等，四角相等，均為90；2.對(duì)角線垂直平分且相等；3.對(duì)角線平分一組對(duì)角得到45角；4.邊長(zhǎng)與對(duì)角線的長(zhǎng)度比為1 .2 【 拓 展 5】 （ 2016龍巖） 如 圖 ， 將 正 方 形 紙 片 按 如 圖 折 疊 ，AM為 折 痕 ， 點(diǎn) B落 在 對(duì) 角 線 AC上 的 點(diǎn) E處 ， 則 CME_. 拓 展 5題 圖【 解 析 】 四邊形ABCD是正方形， B=90, ACB=45,由折疊的性質(zhì)得： AEM= B=90, CME90- 4545. 45