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1、機 械 工 程 控 制 基 礎(chǔ) （ 第 二 章 ） 第 二 章 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型2.1 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程2.2 系 統(tǒng) 的 傳 遞 函 數(shù)2.3 系 統(tǒng) 的 傳 遞 函 數(shù) 方 框 圖 及 其 簡 化2.4 考 慮 擾 動 的 反 饋 控 制 系 統(tǒng) 的 傳 遞 函 數(shù)2.5 相 似 原 理2.6 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 空 間 模 型2.7 數(shù) 學 模 型 的 MATLAB描 述 第 二 章 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型 * 系 統(tǒng) 信 號 流 圖 本 章 要 熟 悉 下 列 內(nèi) 容 ：1、 建 立 基 本 環(huán) 節(jié) （ 質(zhì) 量 -彈 簧 -阻 尼 系 統(tǒng) 和 電路 網(wǎng) 絡(luò) ）

2、的 數(shù) 學 模 型 及 模 型 的 線 性 化2、 重 要 的 分 析 工 具 ： 拉 氏 變 換 及 反 變 換3、 經(jīng) 典 控 制 理 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) ： 傳 遞 函 數(shù)4、 控 制 系 統(tǒng) 的 圖 形 表 示 ： 方 框 圖 及 信 號 流 圖5、 受 控 機 械 對 象 的 數(shù) 學 模 型6、 繪 制 實 際 機 電 系 統(tǒng) 的 函 數(shù) 方 框 圖7、 現(xiàn) 代 控 制 理 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) ： 狀 態(tài) 空 間 模 型與 上 述 相 關(guān) 的 應(yīng) 用 。 2.1控 制 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 及 線 性 化 一 、 數(shù) 學 模 型 建 立 控 制 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模

3、型 ， 并 在 此 基 礎(chǔ) 上 對控 制 系 統(tǒng) 進 行 分 析 、 綜 合 ， 是 機 電 控 制 工 程 的 基本 方 法 。 如 果 將 物 理 系 統(tǒng) 在 信 號 傳 遞 過 程 中 的 動態(tài) 特 性 用 數(shù) 學 表 達 式 描 述 出 來 ， 就 得 到 了 組 成 物理 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型 。 經(jīng) 典 控 制 理 論 采 用 的 數(shù) 學 模 型 主 要 以 傳 遞 函數(shù) 為 基 礎(chǔ) 。 而 現(xiàn) 代 控 制 理 論 采 用 的 數(shù) 學 模 型 主 要以 狀 態(tài) 空 間 方 程 為 基 礎(chǔ) 。 而 以 物 理 定 律 及 實 驗 規(guī)律 為 依 據(jù) 的 微 分 方 程 又 是 最

4、 基 本 的 數(shù) 學 模 型 ， 是列 寫 傳 遞 函 數(shù) 和 狀 態(tài) 空 間 方 程 的 基 礎(chǔ) 。 數(shù) 學 模 型 是 定 量 地 描 述 系 統(tǒng) 的 動 態(tài) 性 能 、揭 示 系 統(tǒng) 的 結(jié) 構(gòu) 、 參 數(shù) 與 動 態(tài) 性 能 之 間 的 數(shù) 學 表達 式 。 （ 是 描 述 物 理 系 統(tǒng) 的 運 動 規(guī) 律 、 特 性 和 輸入 輸 出 關(guān) 系 的 一 個 或 一 組 方 程 式 ） 。 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型 可 分 為 靜 態(tài) 和 動 態(tài) 數(shù) 學 模 型 。 靜 態(tài) 數(shù) 學 模 型 ： 反 映 系 統(tǒng) 處 于 平 衡 點 （ 穩(wěn) 態(tài) ）時 ， 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 有 關(guān) 屬 性

5、變 量 之 間 關(guān) 系 的 數(shù) 學 模 型 。即 只 考 慮 同 一 時 刻 實 際 系 統(tǒng) 各 物 理 量 之 間 的 數(shù) 學關(guān) 系 ， 不 管 各 變 量 隨 時 間 的 演 化 ， 輸 出 信 號 與 過去 的 工 作 狀 態(tài) （ 歷 史 ） 無 關(guān) 。 因 此 靜 態(tài) 模 型 都 是代 數(shù) 式 ， 數(shù) 學 表 達 式 中 不 含 有 時 間 變 量 。 動 態(tài) 數(shù) 學 模 型 ： 描 述 動 態(tài) 系 統(tǒng) 瞬 態(tài) 與 過 渡態(tài) 特 性 的 模 型 。 也 可 定 義 為 描 述 實 際 系 統(tǒng) 各 物理 量 隨 時 間 演 化 的 數(shù) 學 表 達 式 。 動 態(tài) 系 統(tǒng) 的 輸出 信 號

6、 不 僅 取 決 于 同 時 刻 的 激 勵 信 號 ， 而 且 與它 過 去 的 工 作 狀 態(tài) 有 關(guān) 。 微 分 方 程 或 差 分 方 程常 用 作 動 態(tài) 數(shù) 學 模 型 。 對 于 給 定 的 動 態(tài) 系 統(tǒng) ， 數(shù) 學 模 型 不 是 唯 一的 。 工 程 上 常 用 的 數(shù) 學 模 型 包 括 ： 微 分 方 程 ，傳 遞 函 數(shù) 和 狀 態(tài) 方 程 。 對 于 線 性 系 統(tǒng) ， 它 們 之間 是 等 價 的 。 針 對 具 體 問 題 ， 選 擇 不 同 的 數(shù) 學模 型 。 建 立 數(shù) 學 模 型 是 控 制 系 統(tǒng) 分 析 與 設(shè) 計 中 最重 要 的 工 作 ！ v二

7、 、 建 立 方 法 目 前 工 程 上 采 用 的 方 法 主 要 是 a.分 析 計 算 法 分 析 計 算 法 是 根 據(jù) 支 配 系 統(tǒng) 的 內(nèi) 在 運 動規(guī) 律 以 及 系 統(tǒng) 的 結(jié) 構(gòu) 和 參 數(shù) ， 推 導 出 輸 入量 和 輸 出 量 之 間 的 數(shù) 學 表 達 式 ， 從 而 建 立數(shù) 學 模 型 適 用 于 簡 單 的 系 統(tǒng) 。 vb.工 程 實 驗 法 工 程 實 驗 法 ： 它 是 利 用 系 統(tǒng) 的 輸 入 -輸 出 信號 來 建 立 數(shù) 學 模 型 的 方 法 。 通 常 在 對 系 統(tǒng) 一無 所 知 的 情 況 下 ， 采 用 這 種 建 模 方 法 。但 實

8、 際 上 有 的 系 統(tǒng) 還 是 了 解 一 部 分 的 ， 這 時 稱為 灰 盒 ， 可 以 分 析 計 算 法 與 工 程 實 驗 法 一 起 用 ，較 準 確 而 方 便 地 建 立 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型 。 實 際 控制 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型 往 往 是 很 復(fù) 雜 的 ， 在 一 般 情況 下 ， 常 常 可 以 忽 略 一 些 影 響 較 小 的 因 素黑 盒輸 入 輸 出 來 簡 化 ， 但 這 就 出 現(xiàn) 了 一 對 矛 盾 ， 簡 化 與 準 確 性 。不 能 過 于 簡 化 ， 而 使 數(shù) 學 模 型 變 的 不 準 確 ， 也不 能 過 分 追 求 準 確 性

9、 ， 使 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型 過 于復(fù) 雜 。v 如 果 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型 是 線 性 微 分 方 程 ， 這 樣的 系 統(tǒng) 就 是 線 性 系 統(tǒng) 。 在 建 模 時 將 會 遇 到 模 型 簡 化 與 模 型 精 度 間 的 矛盾 問 題 ， 所 以 必 須 對 系 統(tǒng) 全 面 了 解 ， 有 了 豐 富的 實 踐 經(jīng) 驗 ， 才 能 分 析 出 系 統(tǒng) 中 各 部 分 結(jié) 構(gòu) 及參 數(shù) 作 用 和 影 響 主 次 ， 建 立 一 個 既 簡 化 又 有 一定 準 確 度 的 適 用 模 型 。 三 、 微 分 方 程 的 建 立 微 分 方 程 是 控 制 系 統(tǒng) 最

10、基 本 的 數(shù) 學 模 型 ， 要 研究 系 統(tǒng) 的 運 動 ， 必 須 列 寫 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 。 一 個控 制 系 統(tǒng) 由 若 干 具 有 不 同 功 能 的 元 件 組 成 ， 首 先要 根 據(jù) 各 個 元 件 的 物 理 規(guī) 律 ， 列 寫 各 個 元 件 的 微分 方 程 ， 得 到 一 個 微 分 方 程 組 ， 然 后 消 去 中 間 變量 ， 即 得 控 制 系 統(tǒng) 總 的 輸 入 和 輸 出 的 微 分 方 程 。 v例 1.機 械 平 移 系 統(tǒng) 求 在 外 力 F(t)作 用 下 ，物 體 的 運 動 軌 跡 。 mk F(t) x(t)位 移阻 尼 系 數(shù)

11、f 阻 尼 器彈 簧（ 一 ） 機 械 系 統(tǒng)1.平 移 系 統(tǒng) 首 先 確 定 ： 輸 入 F(t),輸 出 x(t)其 次 ： 理 論 依 據(jù)1.牛 頓 第 二 定 律 物 體 所 受 的 合 外 力 等 于 物體 質(zhì) 量 與 加 速 度 的 乘 積 2.牛 頓 第 三 定 律 作 用 力 等 于 反 作 用 力 ,現(xiàn) 在我 們 單 獨 取 出 m進 行 分 析 ， 這 里 不 考 慮 重力 的 影 響 。 maF txfF tkxF而 )()(21mF1(彈 簧 的 拉 力 ) F(t)外 力F2阻 尼 器 的 阻 力 )()()()()()( 21 txmtxftkxtF maFFtF

12、txa 代 入 上 式 得寫 微 分 方 程 時 ， 常 習 慣 于 把 輸 出 寫 在 方 程 的左 邊 ， 輸 入 寫 在 方 程 右 邊 ， 而 且 微 分 的 次 數(shù)由 高 到 低 排 列 。 機 械 平 移 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程為 ： )()()()( tFtkxtxftxm s 2.齒 輪 傳 動 系 統(tǒng)工 程 實 例 解 : 為 了 建 立 微 分 方 程 ， 將 各 環(huán) 節(jié) 轉(zhuǎn) 動 慣 量 、 質(zhì)量 和 阻 尼 系 數(shù) 歸 算 到 軸 。（ 1） 每 個 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 及 工 作 臺 質(zhì) 量 歸 算 s （ 2） 傳 動 剛 度 歸 算 （ 3） 粘 性 阻 尼

13、 系 數(shù) 歸 算 機 械 傳 動 系 統(tǒng) 簡 化 為 等 效 機 械 傳 動 系 統(tǒng)（ 4） 數(shù) 控 機 床 機 械 傳 動 系 統(tǒng) 微 分 方 程 （ 5） 等 效 機 械 傳 動 系 統(tǒng) 以 電 機 軸 轉(zhuǎn) 角 為 輸 入 量 ， 工 作 臺位 移 為 輸 出 量 的 微 分 方 程 。應(yīng) 用 點 評 質(zhì) 量 -彈 簧 -阻 尼 系 統(tǒng) 機 電 控 制 系 統(tǒng) 的 受 控 對 象 是 機 械 系 統(tǒng) 。在 機 械 系 統(tǒng) 中 ， 有 些 構(gòu) 件 具 有 較 大 的 慣 性 和剛 度 ， 有 些 構(gòu) 件 則 慣 性 較 小 、 柔 度 較 大 。 在集 中 參 數(shù) 法 中 ， 我 們 將 前

14、 一 類 構(gòu) 件 的 彈 性 忽略 將 其 視 為 質(zhì) 量 塊 ， 而 把 后 一 類 構(gòu) 件 的 慣 性忽 略 而 視 為 無 質(zhì) 量 的 彈 簧 。 這 樣 受 控 對 象 的機 械 系 統(tǒng) 可 抽 象 為 質(zhì) 量 -彈 簧 -阻 尼 系 統(tǒng) 。 k1 J11 J12 m31 m32 k122k121 k231 k232 k31 k32 J3 J2 m2 電 動 機 減 速 器 工 作 臺 +工 件 k1 m1 k121 k122 m2 k231 k232 k31 k32 m31+m32 系 統(tǒng) 1 系 統(tǒng) 3系 統(tǒng) 2 D1 D2 D3 D M tfi tyok D s （ 二 ） 電

15、氣 系 統(tǒng)1.無 源 電 路 網(wǎng) 絡(luò) 1i 2i io0o dddd uutuCRCRtuCRCR )( 2211222211 s s 解 ： （ 1） 根 據(jù) 基 爾 霍 夫 定 律 建 立 電 機 電 樞 回 路 方 程 s （ 2） 根 據(jù) 牛 頓 第 二 定 律 建 立 電 動 機 轉(zhuǎn) 子 的 運 動 方 程 s（ 3） 電 樞 電 感 L通 常 較 小 ， 若 忽 略 不 計 ， 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程可 簡 化 為 ad22 dd)(dd uKtKKRctRJ mm （ 4） 當 電 樞 電 感 L， 電 阻 R均 較 小 ， 都 忽 略 不 計 時 ， 系 統(tǒng) 的微 分 方

16、程 進 一 步 簡 化 為 autK ddd 2.有 源 電 路 網(wǎng) 絡(luò) dttuCRtu oi )()( )()( tudttuRC io 四 、 數(shù) 學 模 型 的 線 性 化1.線 性 模 型 ： 滿 足 疊 加 性 與 齊 次 性 ， 用 來 描 述 線 性 系 統(tǒng) 。v定 義 ： 如 果 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學 模 型 是 線 性 微 分 方 程 ， 這 樣 的 系 統(tǒng) 就是 線 性 系 統(tǒng) 。 線 性 元 件 ： 具 有 疊 加 性 和 齊 次 性 的 元 件 稱 為 線 性 元 件 。疊 加 性 指 當 幾 個 激 勵 信 號 同 時 作 用 于 系 統(tǒng) 時 ， 總 的 輸 出 響

17、應(yīng) 等于 每 個 激 勵 單 獨 作 用 所 產(chǎn) 生 的 響 應(yīng) 之 和 。 齊 次 性 指 當 輸 入 信 號乘 以 某 常 數(shù) 時 ， 響 應(yīng) 也 倍 乘 相 同 的 常 數(shù) 。 即 若 為 線 性 系 統(tǒng) ， 則 2.非 線 性 模 型 ： 不 滿 足 疊 加 性 或 齊 次 性 ， 用 非 線 性 方 程 表 示 。 用 來 描 述 非 線 性 系 統(tǒng) 。 )()(: tytxf )()()()( 2121 tytytxtxf 非 線 性 元 件 ： 不 具 有 疊 加 性 和 齊 次 性 的 元 件 稱為 非 線 性 元 件 。 如 果 元 件 輸 入 為 r（ t） 、 r1（ t

18、） 、 r2（ t） ， 對應(yīng) 的 輸 出 為 c（ t） 、 c1（ t） 、 c2（ t） 如 果 r（ t） =r1（ t） +r2（ t） 時 ， c（ t） =c1（ t）+c2（ t） 滿 足 疊 加 性 如 果 r（ t） =ar1（ t） 時 ， c（ t） =ac1（ t） 滿 足 齊 次 性 滿 足 疊 加 性 和 齊 次 性 的 元 件 才 是 線 性 元 件 。 線 性 系 統(tǒng) 重 新 定 義 ： 若 組 成 系 統(tǒng) 的 各 元 件 均為 線 性 元 件 ， 則 系 統(tǒng) 為 線 性 系 統(tǒng) 。 線 性 方 程 不 一 定 滿 足 疊 加 性 和 齊 次 性 。 例 如

19、y=kx是 線 性 元 件 輸 入 x1y1輸 出 x2y2 輸 入 x1 x2 對 應(yīng) 輸 出 y1 y2 滿 足 疊 加性 k為 常 數(shù) ， kx1ky1 滿 足 齊 次 性所 表 示 的 元 件 為線 性 元 件 y=kx+b(b為 常 數(shù) 0)線 性 方 程 ， 所 表 示的 元 件 不 是 線 性 元 件 . 為 什 么 呢 ？ 輸 入 x1y1輸 出 y1 kx1+b x2y2 y2 =kx2+b 輸 入 x1 x2輸 出 y=k(x1 x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2不 滿 足 疊加 性 k為 常 數(shù) :kx1輸 出 y=k(kx1)+b=k2x1+b ky 1

20、=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1不 滿 足 齊 次 方 程 。所 表 示 的 元 件 不 是 線 性 元 件 。又 例 如 ： 元 件 的 數(shù) 學 模 型 為 ： 線 性 元 件 )()()( txtyty 不 是 線 性 元 件 btxtyty )()()(元 件 的 數(shù) 學 模 型 為 ： 非 線 性 元 件 ： 不 具 有 疊 加 性 和 齊 次 性 的 元 件 稱為 非 線 性 元 件 。 如 果 元 件 輸 入 為 r（ t） 、 r1（ t） 、 r2（ t） ， 對應(yīng) 的 輸 出 為 c（ t） 、 c1（ t） 、 c2（ t） 如 果 r（ t） =r1（ t）

21、 +r2（ t） 時 ， c（ t） =c1（ t）+c2（ t） 滿 足 疊 加 性 如 果 r（ t） =ar1（ t） 時 ， c（ t） =ac1（ t） 滿 足 齊 次 性 滿 足 疊 加 性 和 齊 次 性 的 元 件 才 是 線 性 元 件 。 線 性 系 統(tǒng) 重 新 定 義 ： 若 組 成 系 統(tǒng) 的 各 元 件 均為 線 性 元 件 ， 則 系 統(tǒng) 為 線 性 系 統(tǒng) 。 線 性 方 程 不 一 定 滿 足 疊 加 性 和 齊 次 性 。 例 如 y=kx是 線 性 元 件 輸 入 x1y1輸 出 x2y2 輸 入 x1 x2 對 應(yīng) 輸 出 y1 y2 滿 足 疊 加性 k

22、為 常 數(shù) ， kx1ky1 滿 足 齊 次 性所 表 示 的 元 件 為線 性 元 件 y=kx+b(b為 常 數(shù) 0)線 性 方 程 ， 所 表 示的 元 件 不 是 線 性 元 件 . 為 什 么 呢 ？ 輸 入 x1y1輸 出 y1 kx1+b x2y2 y2 =kx2+b 輸 入 x1 x2輸 出 y=k(x1 x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2不 滿 足 疊加 性 k為 常 數(shù) :kx1輸 出 y=k(kx1)+b=k2x1+b ky 1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1不 滿 足 齊 次 方 程 。所 表 示 的 元 件 不 是 線 性 元 件 。又

23、例 如 ： 元 件 的 數(shù) 學 模 型 為 ： 線 性 元 件 )()()( txtyty 不 是 線 性 元 件 btxtyty )()()(元 件 的 數(shù) 學 模 型 為 ： 線 性 化 方 法 ： 一 般 可 在 系 統(tǒng) 工 作 平衡 點 附 近 ， 對 非 線 性 方 程 采 用 臺 勞 級 數(shù) 展開 進 行 線 性 化 ， 略 去 高 階 項 ， 保 留 一 階 項 ，就 可 得 到 近 似 的 線 性 模 型 。 由 于 反 饋 系 統(tǒng) 不 允 許 出 現(xiàn) 大 的 偏 差 ，因 此 ， 這 種 線 性 化 方 法 對 于 閉 環(huán) 控 制 系 統(tǒng)具 有 實 際 意 義 。 圖 2-7

24、 圖 2-8 D 閥 控 液 壓 缸 例 )( 0L0L0 ,xpfQ Lpp xxLL pp xxL0L0L pp ,xpf xx ,xpf,xpfQ L0L 0 L0L 0)( LcqL pKxKQ L0L 0L0L 0 pp xxLLcpp xxLq p ,xpfKx ,xpfK , dtydAQ )( dtydDdt ydMAp 22L )()( )()()( xKdtydAADKdt ydAMK qc22c )()()( txKtyAADKtyAMK qcc 線 性 化 方 法 ： 假 設(shè) 變 量 相 對 于 某 一 工 作 狀 態(tài)（ 平 衡 點 ） 偏 差 很 小 。 設(shè) 系 統(tǒng)

25、的 函 數(shù) 關(guān) 系 為簡 寫 為 。 如 果 系 統(tǒng) 的 工 作 平 衡 點為 ， 則 方 程 可 以 在 點 附 近 臺 勞 展 開 如 果 很 小 ， 可 以 忽 略 其 高 階 項 ，因 此 上 述 方 程 可 寫 成 增 量 方 程 形 式 其 中 ， ， ，)()( txfty )(xfy yx, x 222 )()(21)()()()( xxdx xfdxxdxxdfxfxfy xx xKy )(xfyyyy xxx xxdxdfK 非 線 性 微 分 方 程 的 求 解 很 困 難 。 在 一 定 條件 下 ， 可 以 近 似 地 轉(zhuǎn) 化 為 線 性 微 分 方 程 ，可 以 使

26、 系 統(tǒng) 的 動 態(tài) 特 性 的 分 析 大 為 簡 化 。實 踐 證 明 ， 這 樣 做 能 夠 圓 滿 地 解 決 許 多 工程 問 題 ， 有 很 大 的 實 際 意 義 。v線 性 化 的 方 法 （ 1） .忽 略 弱 非 線 性 環(huán) 節(jié) （ 如 果 元 件 的 非 線性 因 素 較 弱 或 者 不 在 系 統(tǒng) 線 性 工 作 范 圍 以內(nèi) ， 則 它 們 對 系 統(tǒng) 的 影 響 很 小 ， 就 可 以 忽略 ） （ 2） .偏 微 法 （ 小 偏 差 法 ， 切 線 法 ， 增 量 線性 化 法 ） 偏 微 法 基 于 一 種 假 設(shè) ， 就 是 在 控 制 系 統(tǒng) 的 整個 調(diào)

27、節(jié) 過 程 中 ， 各 個 元 件 的 輸 入 量 和 輸 出 量只 是 在 平 衡 點 附 近 作 微 小 變 化 。 這 一 假 設(shè) 是符 合 許 多 控 制 系 統(tǒng) 實 際 工 作 情 況 的 ， 因 為 對閉 環(huán) 控 制 系 統(tǒng) 而 言 ， 一 有 偏 差 就 產(chǎn) 生 控 制 作用 ， 來 減 小 或 消 除 偏 差 ， 所 以 各 元 件 只 能 工作 在 平 衡 點 附 近 。 0 xy飽 和 （ 放 大 器 ）y0 x0 y=f(x)A(x0,y0) A(x0,y0)平 衡 點 ， 函 數(shù) 在 平 衡 點 處 連 續(xù) 可 微 ， 則 可將 函 數(shù) 在 平 衡 點 附 近 展 開

28、成 臺 勞 級 數(shù) 忽 略 二 次 以 上 的 各 項 ， 上 式 可 以 寫 成 這 就 是 非 線 性 元 件 的 線 性 化 數(shù) 學 模 型 202200 )(!21)()( 00 xxdxydxxdxdyyxfy xxxky 0yyy 0 xxx 0 xdxdyk s 五 、 列 寫 系 統(tǒng) 微 分 方 程 的 基 本 步 驟將 系 統(tǒng) 或 元 件 劃 分 為 若 干 環(huán) 節(jié) ， 確 定 每 一 環(huán) 節(jié) 的 輸 入量 和 輸 出 量 。第 1步 按 照 信 號 的 傳 遞 順 序 ， 從 系 統(tǒng) 輸 入 端 開 始 ， 根 據(jù) 各 變量 遵 循 的 運 動 規(guī) 律 ， 列 出 運 動

29、過 程 中 各 個 環(huán) 節(jié) 的 動 態(tài)微 分 方 程 。第 2步 對 非 線 性 項 應(yīng) 進 行 線 性 化 處 理 。第 3步 消 除 所 建 立 各 微 分 方 程 的 中 間 變 量 ， 得 到 描 述 系 統(tǒng) 輸 入量 和 輸 出 量 之 間 關(guān) 系 的 微 分 方 程第 4步 一 般 將 與 輸 出 量 有 關(guān) 的 各 項 放 在 方 程 左 側(cè) ， 與 輸 入 量 有關(guān) 的 各 項 放 在 方 程 右 側(cè) ， 各 階 導 數(shù) 項 按 降 冪 排 列 ， 整 理系 統(tǒng) 或 元 件 的 微 分 方 程第 5步 2.2 拉 氏 變 換 及 反 變 換Laplace（ 拉 普 拉 斯 ）

30、變 換 是 描 述 、 分 析連 續(xù) 、 線 性 、 時 不 變 系 統(tǒng) 的 重 要 工 具 ！2.2.1 拉 氏 變 換 定 義 定 義 拉 氏 變 換 可 理 解 為 廣 義 單 邊 傅 立 葉變 換 。 傅 氏 變 換 建 立 了 時 域 和 頻 域 間 的 聯(lián)系 ， 而 拉 氏 變 換 建 立 了 時 域 和 復(fù) 頻 域 間 的聯(lián) 系 。 s 復(fù) 數(shù) 和復(fù) 變 函 數(shù) 復(fù) 數(shù)1 復(fù) 數(shù) 運 算 規(guī) 則3 2復(fù) 變 函 數(shù) 零點 和 極 點 s 123 s 546 s 兩 個 復(fù) 數(shù) 相 加 （ 或 相 減 ）1 兩 個 復(fù) 數(shù) 相 乘2 兩 個 復(fù) 數(shù) 相 除3 用 矢 量 表 示 復(fù)

31、 數(shù)1 )( 111 rs )( 222 rs兩 個 復(fù) 數(shù) 相 乘2 )()( 2121221121 rrrrss 兩 個 復(fù) 數(shù) 相 除3 )( 212122 1121 rrrrss s 拉氏變換的定義 實 部 j虛 部vusG j)( +復(fù) 變 函 數(shù) =1 )( )()( 21 21 pspss zszsKsG 234 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 拉氏變換的定義 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 1 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 1 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學

32、 基 礎(chǔ) 2 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 34 1 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 階 躍 函 數(shù) 2 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 單 位 脈 沖 函 數(shù) 3 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 4 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 5 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 第 二 章 機 械 工 程 控

33、制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 6 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 拉 氏 變 換主 要 運 算 定 理線 性 定 理 相 似 定 理時 域 位 移 定 理 微 分 定 理 復(fù) 域 位 移 定 理1 2 345積 分 定 理 6積 分 定 理 8初 值 定 理 7卷 積 定 理 9 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 線 性 定 理相 似 定 理 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 時 域 位 移 定 理復(fù) 域 位 移 定 理 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機

34、械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 微 分 定 理 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 積 分 定 理多 重 積 分 的 拉 氏 變 換當 所 有 初 始 值 均 為 零 時 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 初 值 定 理終 值 定 理卷 積 定 理 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 拉氏逆變換的數(shù)學方法 有 理 函 數(shù) 法部 分 分 式 法查 表 法 根 據(jù) 拉 氏 逆 變 換 公 式求 解 。Laplace變 換 表 查 出 相應(yīng)

35、 的 原 函 。通 過 代 數(shù) 運 算 將 一 個 復(fù)雜 的 象 函 數(shù) 化 為 數(shù) 個 簡單 的 部 分 分 式 之 和 。 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 只 包 含 不 相 同 極 點 的 情 況1 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 只 包 含 不 相 同 極 點 的 情 況1 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 只 包 含 不 相 同 極 點 的 情 況1 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章

36、 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 包 含 多 重 極 點 的 情 況2 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 包 含 多 重 極 點 的 情 況2 s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 第 一 步 通 過 拉 氏 變 換 將 常 微 分 方 程 化為 象 函 數(shù) 的 代 數(shù) 方 程 ；解 出 象 函 數(shù) ；第 二 步 由 拉 氏 逆 變 換 求 得 常 微 分 方 程的 解 。第 三 步 s 第 二

37、章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) s 第 二 章 機 械 工 程 控 制 論 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 2.2.2 簡 單 函 數(shù) 的 拉 氏 變 換 2cos 2sin sincos sincos jj jj jj ee jee je je 正 弦 函 數(shù) sin t1（ t） 和 余 弦 函 數(shù)cos t1（ t） 的 拉 氏 變 換 2200 1121 2sin1sin sjsjsj dtejeedtetttL sttjtjst 2200 1121

38、2cos1cos s sjsjs dteeedtetttL sttjtjst 的 拉 氏 變 換 證 ： ttx )( s dssXttxL ttxLdtettx etdttx dsedttx dsdtetxdssX st ssts st stss 000 01 周 期 函 數(shù) 的 象 函 數(shù) 設(shè) 函 數(shù) x(t)是 以 T為 周 期 的 周 期 函 數(shù) ，即 x(t+T)=x(t)， 則證 ： T stsT dtetxetxL 01 1 0 10 120limn TnnT stT TnnT stTT ststn stdtetx dtetxdtetxdtetx dtetxtxL 令 則 nTt

39、 T stsTn T ssnTn T nTs dtetxe dexe denTxtxL 00 0 0 0 1 1 拉 氏 反 變 換 公 式 為 簡 寫 為 ja ja stdsesXjtx 21 sXLtx 1 在 一 般 機 電 控 制 系 統(tǒng) 中 ， 通 常 遇 到 如 下 形式 的 有 理 分 式 其 中 ， 使 分 母 為 零 的 s值 稱 為 極 點 ， 使 分 子為 零 的 s值 稱 為 零 點 。 則 有其 中 ， nnnn mmmm asasas bsbsbsbsX 111 1110 kgkrrr mmmm dscsdscspspsps bsbsbsbsX l 1121121

40、11 1110 121 nkkkrrr gl 2121 2 nnnnn mmmm nnnn mmmm ps aps aps aps a pspsps bsbsbsb asasas bsbsbsbsX 112211 21 1110 111 1110 式 中 ， 是 常 值 ， 為 極 點 處 的 留 數(shù) ，可 由 下 式 求 得 將 式 （ 2.19） 拉 氏 反 變 換 ， 可 利 用 拉 氏 變 換表 得 ka kps kpskk pssXa teaeaea sXLtx tpntptp n 121 211 例 試 求 的 拉 氏 反 變 換 。解 ： 23 32 ss ssX 21 21 3

41、23 3 212 sasa ss sss ssX teetx sssX sss sa sss sa tt s s12 2112 1221 3 2121 3 2 22 11 含 共 軛 復(fù) 數(shù) 極 點 情 況 nnnnnmmmm nnnn mmmm ps aps aps ajsjs asa pspsjsjs bsbsbsb asasas bsbsbsbsX 113321 31110 111 1110 式 中 ， 是 常 值 ， 可 由 以 下 步 驟 求 得將 上 式 兩 邊 乘 , 兩 邊 同時 令 （ 或 同 時 令 ） ，得 （ 2.21）分 別 令 式 （ 2.21） 兩 邊 實 部 、

42、 虛 部 對 應(yīng) 相 等 ，即 可 求 得 。 可 通 過 配 方 ， 化 成 正 弦 、 余弦 象 函 數(shù) 的 形 式 ， 然 后 求 其 反 變 換 。21,aa jsjs js js jsjs jsjssX asa 21 21,aadcss asa 2 21 例 試 求 的 拉 氏 反 變 換 。解 ：將 該 式 兩 邊 同 乘 ， 并 令 ， sss ssX 23 1 sass asasss ssss ssX 32 21223 1111 12 ss 2321 js 63212123211 jsjs asass 即 解 得 又 121 23212321 ajaaj 1212323 212

43、1 aaa 01 21aa 11 0233 sssss sa 故 則 sss s ssssss ssX 12321 23332321 21 12321 23332111 2222 222 tttetx t 1123cos23sin3321 含 共 軛 復(fù) 根 的 情 況 ， 也 可 用 第 一 種 情 況 的 方法 。 值 得 注 意 的 是 ， 此 時 共 軛 復(fù) 根 相 應(yīng) 兩 個分 式 的 分 子 和 是 共 軛 復(fù) 數(shù) ， 只 要 求 出其 中 一 個 值 ， 另 一 個 即 可 得 到 。例 求 的 拉 氏 反 變 換 。解 ： ka 1ka sss ssX 23 1 sajs aj

44、s asss ssX 32123 232123211 632123211 2321231 jjssss sa js 則則 63212 ja 11 0233 sssss sa sjs jjs jsss ssX 12321 63212321 63211 23 ttte tejejtx t tjtj 1123cos23sin33 1163216321 21 23212321 含 多 重 極 點 的 情 況 nnnnrr jrjrrrrr nrr mmmm nnnn mmmm ps aps aps a ps aps aps aps a pspsps bsbsbsb asasas bsbsbsbsX 1

45、111 1111111 11 1110 111 1110 式 中 ， jra 可 由 下 式 求 得 1111 1111 111 1!11!1 psrrr psrjjjr psrr psrr pssXdsdra pssXdsdja pssXdsda pssXa 利 用 拉 氏 變 換 解 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 例 解 方 程 ， 其 中 ， 解 ： 將 方 程 兩 邊 取 拉 氏 變 換 ， 得 將 代 入 ， 并 整 理 ，得 所 以 66)(5)( tytyty 20,2)0( yy ssYyssYysysYs 660500)( 2 20,2)0( yy 3425132 61

46、22 2 ssssss sssY tt eety 32 451 2.3 傳 遞 函 數(shù) 以 及 典 型 環(huán) 節(jié) 的 傳 遞 函 數(shù) 傳 遞 函 數(shù) 是 在 拉 氏 變 換 的 基 礎(chǔ) 上 ， 以 系 統(tǒng) 本身 的 參 數(shù) 描 述 的 線 性 定 常 系 統(tǒng) 輸 入 量 與 輸 出 量 的關(guān) 系 式 ， 它 表 達 了 系 統(tǒng) 內(nèi) 在 的 固 有 特 性 ， 而 與 輸入 量 或 驅(qū) 動 函 數(shù) 無 關(guān) 。 它 可 以 是 無 量 綱 的 ， 也 可以 是 有 量 綱 的 ， 視 系 統(tǒng) 的 輸 入 、 輸 出 量 而 定 ， 它包 含 著 聯(lián) 系 輸 入 量 與 輸 出 量 所 需 要 的 量

47、 綱 。 它 不能 表 明 系 統(tǒng) 的 物 理 特 性 和 物 理 結(jié) 構(gòu) ， 許 多 物 理 性質(zhì) 不 同 的 系 統(tǒng) ， 有 著 相 同 的 傳 遞 函 數(shù) ， 正 如 一 些不 同 的 物 理 現(xiàn) 象 可 以 用 相 同 的 微 分 方 程 描 述 一 樣 。 表 2-2 等 效 彈 性 剛 度 說 明 力 學 模 型 時 域 方 程 拉 氏 變 換 式 等 效 彈 簧 剛 度 彈 簧 k x(t) tkxtf skXsF k 阻 尼 器 D x(t) txDtf sDsXsF Ds 質(zhì) 量 M x(t) txMtf sXMssF 2 2Ms 表 2-2 復(fù) 阻 抗 說 明 比 例 環(huán)

48、節(jié) （ 其 中 k為 常 數(shù) ） tui tu i tuo 2R 2R 1R 1212)( RRkRRsU sU io ksG 比 例 環(huán) 節(jié) （ 其 中 k為 常 數(shù) ）1z 2z tni tno 2121)( zzkzzsN sNsG io ksG 一 階 慣 性 環(huán) 節(jié) （ 其 中 T為 時間 常 數(shù) ） 11)( TssG R C tui tuo ti 11 RCssU sUsG io 一 階 慣 性 環(huán) 節(jié) （ 其 中 T為 時間 常 數(shù) ） 11)( TssG k txo txi D 11 skDsX sXsG io 積 分 環(huán) 節(jié) (其 中 k為 常 數(shù) ）sksG )( sRC

49、sU sUsG io 1 二 階 振 蕩 環(huán) 節(jié) （ 其 中 0 1） 121)( 22 TssTsG )2,( 122 1 1122 2 LCRCLCT sLCLCRCsLC RCsLCssU sUsG io 二 階 振 蕩 環(huán) 節(jié) （ 其 中 0 1） 121)( 22 TssTsG MkfkMT skMMkfskM kkfsMs sF sYsG io 2, 122 /11 222 見 光 盤 課 件 （ 第 二 章 第 四 、 五 節(jié) ） 2.6 系 統(tǒng) 信 號 流 圖 及 梅 遜 公 式信 號 流 圖 中 的 網(wǎng) 絡(luò) 是 由 一 些 定 向 線 段 將 一 些 節(jié) 點 連 接 起 來組

50、 成 的 。 其 中 ， 節(jié) 點 用 來 表 示 變 量 或 信 號 ， 輸 入 節(jié) 點 也 稱源 點 ， 輸 出 節(jié) 點 也 稱 阱 點 ， 混 合 節(jié) 點 是 指 既 有 輸 入 又 有 輸出 的 節(jié) 點 ； 定 向 線 段 稱 為 支 路 ， 其 上 的 箭 頭 表 明 信 號 的 流向 ， 各 支 路 上 還 標 明 了 增 益 ， 即 支 路 上 的 傳 遞 函 數(shù) ； 從 輸入 節(jié) 點 到 輸 出 節(jié) 點 的 通 路 上 通 過 任 何 節(jié) 點 不 多 于 一 次 的 通路 稱 為 前 向 通 路 ， 起 點 與 終 點 重 合 且 與 任 何 節(jié) 點 相 交 不 多于 一 次 的

51、 通 路 稱 為 回 路 。 從 輸 入 變 量 到 輸 出 變 量 的 系 統(tǒng) 傳 遞 函 數(shù) 可 由梅 遜 公 式 求 得 。 梅 遜 公 式 可 表 示 為 k kkP1P fd,e,f edb,c cba a LLLLLL1 第 k條 前 向 通 路 的 傳 遞 函 數(shù) ； 第 k條 前 向 通 路 特 征 式 的 余 因 子 ， 即對 于 流 圖 的 特 征 式 ,將 與 第 k條 前 向 通 路相 接 觸 的 回 路 傳 遞 函 數(shù) 代 以 零 值 ， 余 下 的 即 為 。kPk k 例 ： G4H1G2G7H2G2G3G4G5H2G6G4G5H2G2G7H2G4H11 G4H1

52、)G1G2G7(1G1G6G4G5G1G2G3G4G5Xi(s)Xo(s) 2.7 受 控 機 械 對 象 數(shù) 學 模 型 一 般 整 個 機 械 傳 動 系 統(tǒng) 的 特 性 可 以 用 若 干 相互 耦 合 的 質(zhì) 量 彈 簧 阻 尼 系 統(tǒng) 表 示 。 其 中 每 部分 的 動 力 學 特 性 可 表 示 為 如 下 傳 遞 函 數(shù) 22 22 122 11 mksmkmkDs mkkkDsmssF sX 為 了 得 到 良 好 的 閉 環(huán) 機 電 系 統(tǒng) 性 能 ， 對于 受 控 機 械 對 象 ， 應(yīng) 注 意 以 下 方 面 : （ 1） 高 諧 振 頻 率 一 般 整 個 機 械 傳

53、 動 系 統(tǒng) 的 特 性 可 以 用 若干 相 互 耦 合 的 質(zhì) 量 彈 簧 阻 尼 系 統(tǒng) 表 示 。 為 了 滿 足 機 電 系 統(tǒng) 的 高 動 態(tài) 特 性 ， 機 械 傳 動的 各 個 分 系 統(tǒng) 的 諧 振 頻 率 均 應(yīng) 遠 高 于 機 電 系統(tǒng) 的 設(shè) 計 截 止 頻 率 。 各 機 械 傳 動 分 系 統(tǒng) 諧 振頻 率 最 好 相 互 錯 開 。 另 外 ， 對 于 可 控 硅 驅(qū) 動裝 置 ， 應(yīng) 注 意 機 械 傳 動 系 統(tǒng) 諧 振 頻 率 不 能 與控 制 裝 置 的 脈 沖 頻 率 接 近 ， 否 則 將 產(chǎn) 生 機 械噪 聲 并 加 速 機 械 部 件 的 磨 損

54、。 （ 2） 高 剛 度 在 閉 環(huán) 系 統(tǒng) 中 ， 低 剛 度 往 往 造 成 穩(wěn) 定 性下 降 ， 與 摩 擦 一 起 ， 造 成 反 轉(zhuǎn) 誤 差 ， 引 起 系統(tǒng) 在 被 控 位 置 附 近 振 蕩 。 在 剛 度 的 計 算 中 ， 需 要 注 意 機 械 傳 動 部件 的 串 并 聯(lián) 關(guān) 系 。 對 于 串 聯(lián) 部 件 （ 例 如 在 同一 根 軸 上 ） ， 總 剛 度 k為 (2.36)式 中 ， 各 分 部 件 剛 度 。k kii n 111ki 對 于 并 聯(lián) 部 件 （ 例 如 同 一 支 承 上 有 幾 個 軸承 ） ， 總 剛 度 k為 (2.37)式 中 ， 各 分

55、 部 件 剛 度 。 從 低 速 軸 上 的 剛 度 折 算 到 高 速 軸 上 時 ，等 效 的 剛 度 k為 (2.38)式 中 ， i 升 速 比 。k kii n 1k i 21 1ikk （ 3） 適 當 阻 尼 機 械 傳 動 分 系 統(tǒng) 的 阻 尼 比 為 (2.39) 一 般 電 機 驅(qū) 動 裝 置 從 驅(qū) 動 電 壓 到 輸 出 轉(zhuǎn) 速的 數(shù) 學 模 型 是 二 階 振 蕩 環(huán) 節(jié) ,存 在 所 需 要 的 機械 傳 動 環(huán) 節(jié) 較 合 適 的 阻 尼 比 。 增 加 機 械 傳 動阻 尼 比 往 往 引 起 摩 擦 力 增 加 ， 進 而 產(chǎn) 生 摩 擦反 轉(zhuǎn) 誤 差 的

56、不 利 影 響 。 另 一 方 面 ， 為 了 衰 減機 械 振 動 和 顫 振 現(xiàn) 象 ， 又 需 要 增 加 機 械 傳 動阻 尼 比 。 針 對 以 上 矛 盾 的 要 求 ， 根 據(jù) 經(jīng) 驗 ，適 當 的 機 械 傳 動 阻 尼 比 可 選 為 0.10.2。 D mk2 1 （ 4） 低 轉(zhuǎn) 動 慣 量 快 速 性 是 現(xiàn) 代 機 電 一 體 化 系 統(tǒng) 的 顯 著 特點 。 在 驅(qū) 動 力 矩 一 定 的 前 提 下 ， 轉(zhuǎn) 動 慣 量 越小 ， 加 速 性 能 越 好 。 機 械 傳 動 部 件 對 于 電 動 機 等 驅(qū) 動 裝 置 是負 載 ， 通 常 將 其 折 算 成 電

57、 動 機 轉(zhuǎn) 軸 上 的 轉(zhuǎn) 動慣 量 來 評 價 它 對 快 速 性 的 影 響 。 如 圖 齒 輪 傳 動 機 構(gòu) ， 主 動 輪 由 電 動 機 驅(qū) 動 ，從 動 輪 通 過 軸 帶 動 負 載 轉(zhuǎn) 動 。 假 設(shè) 電 動 機 軸上 的 轉(zhuǎn) 矩 為 ， 轉(zhuǎn) 角 為 ， 轉(zhuǎn) 動 慣 量 為 ； 從 動 軸 上 的 負 載 轉(zhuǎn) 矩 為 ， 轉(zhuǎn) 角 為 ， 轉(zhuǎn)動 慣 量 為 ， 阻 尼 系 數(shù) 為 ； 主 動 輪 和 從 動輪 的 齒 數(shù) 分 別 為 和 ， 速 比 。1T , 1 1J2T 22J 2D1z 2z 12 / zzi 1 22T 依 題 意 ， 有 izzttTT tTtT T

58、TtDtJ TTtJ 1d/d d/d dddd dddd dd 211212c2c1 2c21c1 2c2222222 c1121 21 消 去 中 間 變 量 ， 可 得 (2.45) （ 2.46）其 中 ， 方 程 （ 2.45） 是 折 合 到 主 動 軸 的 關(guān) 系式 ， 方 程 （ 2.46） 是 折 合 到 從 動 軸 的 關(guān) 系 式 。iTTtiDtiJJ 21122212221 dddd 2122222212 dddd TiTtDtJJi 當 折 合 到 主 動 軸 上 時 ， 從 動 軸 上 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量和 阻 尼 系 數(shù) 都 要 除 以 傳 動 比 的 平 方 ，

59、 負 載 轉(zhuǎn)矩 除 以 傳 動 比 。 因 此 ， 減 速 傳 動 時 ， 相 當 于電 動 機 帶 的 負 載 變 小 了 ， 也 可 以 說 電 動 機 帶負 載 的 力 矩 增 大 了 。 反 之 ， 當 折 合 到 從 動 軸上 時 ， 主 動 軸 上 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 和 阻 尼 系 數(shù) 都 要乘 以 傳 動 比 的 平 方 ， 輸 入 轉(zhuǎn) 矩 乘 以 傳 動 比 。 將 方 程 （ 2.45） 和 （ 2.46） 進 行 拉 氏 變 換 后 ，可 得 22221 211 iBsiJJs isTsTs 2212 212 BsJJis TsiTs 當 從 動 軸 彈 性 剛 度 為

60、時 ， 可 列 寫 主 動 軸 和 從動 軸 的 動 力 學 方 程 為 21212121 dd iiKTtJ 2212222222 dddd TiKtDtJ sTsiKsiKsJ 12212221 sTsKsDsJsiK 22222212 可 見 ， 當 折 合 到 主 動 軸 上 時 ， 從 動 軸 上 的 轉(zhuǎn)動 慣 量 和 阻 尼 系 數(shù) 以 及 剛 度 都 要 除 以 傳 動 比的 平 方 ， 負 載 轉(zhuǎn) 矩 除 以 傳 動 比 ， 從 動 軸 的 轉(zhuǎn)角 則 乘 以 傳 動 比 。 反 之 ， 當 折 合 到 從 動 軸 上時 ， 主 動 軸 上 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 和 阻 尼 系 數(shù)

61、 以 及 剛度 都 要 乘 以 傳 動 比 的 平 方 ， 輸 入 轉(zhuǎn) 矩 乘 以 傳動 比 ， 主 動 軸 的 轉(zhuǎn) 角 則 除 以 傳 動 比 。 聯(lián) 立 求 解 代 數(shù) 方 程 組 （ 2-51） 和 （ 2-52） ，可 得 若 ， 變 為 剛 性 傳 動 ， 前 面 推 導 的 完全 剛 性 情 況 。 2 222221221321 22122221 iDKsKiJJsDJsJJs sTiKsTKsDsJs 2 222221221321 22221122 iDKsKiJJsDJsJJs sTiKsJsTiKs 2K 絲 杠 螺 母 副 傳 動 有 類 似 的 結(jié) 果 。 如 下 圖 ，

62、 設(shè)電 動 機 驅(qū) 動 轉(zhuǎn) 矩 為 ， 轉(zhuǎn) 角 為 ， 電 動 機轉(zhuǎn) 子 與 絲 杠 一 起 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 為 ； 設(shè) 工 作 臺連 同 工 件 一 起 的 質(zhì) 量 為 m， 位 移 為 x， 負 載 阻力 為 f， 工 作 臺 與 導 軌 之 間 的 粘 性 阻 尼 系 數(shù) 為D， 基 本 導 程 為 。 mT mmJ hP m x D fmmJ m hPmT 根 據(jù) 上 圖 ， 可 得 （ 2.55） （ 2.56）式 中 ， 絲 杠 螺 母 副 傳 動 比 定 義 為 22mmm iDsimJs isFsTs DsmJis sFsiTsX m2 mxPi mh2 若 絲 杠 彈 性

63、 剛 度 為 ， 則 有 KDKsmJiDsJmsJs siKFsTKiDsmss m22m3m m22m KDKsmJiDsJmsJs sFKsJsiKTsX m22m3m 2mm 上 述 結(jié) 果 可 以 推 廣 到 更 加 復(fù) 雜 的 機 械 傳 動 系統(tǒng) 。 任 何 機 械 傳 動 系 統(tǒng) ， 經(jīng) 過 簡 化 ， 都 可 以得 到 類 似 上 述 方 程 所 描 寫 的 動 態(tài) 數(shù) 學 模 型 。由 這 些 方 程 可 以 看 出 ， 若 阻 尼 系 數(shù) D比 較 小 ，分 母 方 括 號 中 將 有 一 對 共 軛 復(fù) 根 。 不 考 慮 負載 力 （ 或 轉(zhuǎn) 矩 ） ， 由 輸 入

64、轉(zhuǎn) 矩 到 主 動 軸 轉(zhuǎn) 角的 傳 遞 函 數(shù) ， 由 于 分 子 和 分 母 多 項 式 都 有 一對 數(shù) 值 相 近 的 共 軛 復(fù) 根 ， 可 以 作 為 一 對 偶 極子 相 消 ， 因 而 ， 可 以 近 似 為 二 階 系 統(tǒng) ； 而 由輸 入 轉(zhuǎn) 矩 到 工 作 臺 位 移 的 傳 遞 函 數(shù) ， 由 于 分子 為 常 數(shù) 項 ， 因 而 是 一 個 四 階 系 統(tǒng) ， 且 有 一對 共 軛 復(fù) 根 。 進 給 傳 動 鏈 例 進 給 傳 動 鏈 例 進 給 傳 動 鏈 例2lv dtd2lm2ldtd2mltT 2l ldtdvm2tTl 進 給 傳 動 鏈 例 lvf2tT

65、f 2lv 2lf2l2lftT 2f 進 給 傳 動 鏈 例 ssX2lfsXsl22lMJsT sTZZsXsJl2ZZsT sTZZsXsJl2ZZZZsXl2ZZZZsk oo2233 343o22342 221o213412o3412i 進 給 傳 動 鏈 例 進 給 傳 動 鏈 例 進 給 傳 動 鏈 例 狀 態(tài) 空 間 方 程 伴 隨 計 算 機 的 發(fā) 展 ， 以 狀 態(tài) 空 間 理 論 為基 礎(chǔ) 的 現(xiàn) 代 控 制 理 論 的 數(shù) 學 模 型 采 用 狀 態(tài) 空間 方 程 ， 以 時 域 分 析 為 主 ， 著 眼 于 系 統(tǒng) 的 狀態(tài) 及 其 內(nèi) 部 聯(lián) 系 ， 研 究 的

66、 機 電 控 制 系 統(tǒng) 擴 展為 多 輸 入 -多 輸 出 的 時 變 系 統(tǒng) 。 所 謂 狀 態(tài) 方 程 是 由 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 變 量 構(gòu) 成 的 一階 微 分 方 程 組 ;狀 態(tài) 變 量 是 足 以 完 全 表 征 系 統(tǒng)運 動 狀 態(tài) 的 最 小 個 數(shù) 的 一 組 變 量 。 狀 態(tài) 變 量相 互 獨 立 但 不 唯 一 。 狀 態(tài) 空 間 方 程 可 表 示 成 （ 狀 態(tài) 方 程 ） （ 2.63） （ 輸 出 方 程 ） (2.64)式 中 ， n維 狀 態(tài) 矢 量 ； n n維 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 系 數(shù) 矩 陣 ；uxx BA uxy DC nxxx 21x nnnn nnaaa aaa aaaA 21 22221 11211 r維 控 制 矢 量 ； n r維 系 統(tǒng) 控 制 系 數(shù) 矩 陣 ； m維 輸 出 矢 量 ； ruuu 21u nrnn rrbbb bbb bbbB 21 22221 11211 myyy 21y m n維 輸 出 狀 態(tài) 系 數(shù) 矩 陣 ； m r維 輸 出 控 制 系 數(shù) 矩 陣 ； mnmm nnccc ccc cccC 21 2