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1、知 識 綱 要集 合 的 概 念 、集 合 的 包 含 關(guān) 系 、集 合 的 運 算 絕 對 值 不 等 式 的 解 法 ，一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 命 題 、 四 種 命 題 、四 種 命 題 間 的 關(guān) 系 充 分 條 件 與 必 要 條 件 （ 一 ） 要 注 意 理 解 、 正 確 運 用 集 合 概 念例 1 已 知 集 合 M=y|y=x2 1,x R, N=y|y=x 1,x R， 則 M N=（ ）A (0， 1),（ 1， 2） B （ 0， 1） ,（ 1， 2） C y|y=1,或 y=2 D y|y 1分 析 ： 集 合 M、 N是 用 描 述 法 表 示

2、 的 ， 元 素 是實 數(shù) y而 不 是 實 數(shù) 對 (x,y)， 因 此 M、 N分 別 表示 函 數(shù) y=x2 1(x R)， y=x 1(x R)的 值域 ， 求 M N即 求 兩 函 數(shù) 值 域 的 交 集 解 ： M=y|y=x2 1,x R=y|y 1， N=y|y=x 1,x R=y|y R M N=y|y 1 y|(y R)=y|y 1, 應(yīng) 選 D 例 2 若 P=y|y=x2,x R， Q=y|y=x2 1,x R，則 P Q等 于 -（ ）A P B Q C D.不 知 道分 析 ： 類 似 上 題 知 P集 合 是 y=x2（ x R） 的 值 域 集合 ， 同 樣 Q

3、集 合 是 y= x2 1（ x R） 的 值 域 集 合 ，這 樣 P Q意 義 就 明 確 了 解 ： 事 實 上 ， P、 Q中 的 代 表 元 素 都 是 y， 它 們 分 別表 示 函 數(shù) y=x2,y=x2 1的 值 域 ， 由 P=y|y 0,Q=y|y 1， 知 Q P， 即P Q=Q 應(yīng) 選 B. 例 3 若 P=y|y=x2,x R， Q=(x,y)|y=x2,x R，則 必 有 -（ ）(A)P Q= (B)P Q (C)P=Q (D)P Q分 析 ： 有 的 同 學(xué) 一 接 觸 此 題 馬 上 得 到 結(jié) 論P=Q， 這 是 由 于 他 們 僅 僅 看 到 兩 集 合

4、中 的y=x2,x R相 同 ， 而 沒 有 注 意 到 構(gòu) 成 兩 個 集合 的 元 素 是 不 同 的 ， P集 合 是 函 數(shù) 值 域 集 合 ，Q集 合 是 y=x2,x R上 的 點 的 集 合 ， 代 表 元 素根 本 不 是 同 一 類 事 物 解 ： 正 確 解 法 應(yīng) 為 ： P表 示 函 數(shù) y=x2的 值 域 ， Q表 示 拋 物 線y=x2上 的 點 組 成 的 點 集 ， 因 此 P Q= 應(yīng) 選 A 例 4給 出 下 面 各 種 關(guān) 系 0 0; 0 0; ; a a; =0; 0 ; 0; .其 中 正 確 的 是 （ ）A B C D 分 析 :依 次 判 斷

5、每 個 關(guān) 系 是 否 正 確 ,可 運 用 排 除 法 篩 選 。 解 ： 應(yīng) 為 0 0； 正 確 ， 排 除 B， 再 看 哪 個 正 確 ， 由 于 是 0的 真 子 集 ， 因 此 正 確 應(yīng) 選 A （ 二 ） 要 充 分 注 意 集 合 元 素 的 互 異 性例 5若 A=2， 4,a3 2a2 a 7,B=1,a 1,a2 2a 2, (a2 3a 8),a3 a2 3a 7， 且A B=2， 5， 試 求 實 數(shù) a的 值 12解 ： A B=2， 5， a3 2a2 a 7=5,由 此 求 得 a=2或 a= 1 至 此 不 少 學(xué) 生 認(rèn) 為 大 功 告 成 ,事 實 上

6、 ,這 只 是 保證 A=2,4,5,集 合 B中 的 元 素 是 什 么 ,它 是 否 滿 足 元 素 的 互 異性 ,有 待 于 進(jìn) 一 步 考 查 當(dāng) a=1時 ,a 2 2a 2=1與 元 素 的 互 異 性 相 違 背 ,故 應(yīng) 舍 a=1當(dāng) a= 1時 ,B=1,0,5,2,4,與 A B=2， 5相 矛 盾 ,故 又舍 去 a= 1當(dāng) a=2時 ,A=2， 4， 5,B=1,3,2,5,25,此 時 A B=2，5 滿 足 題 設(shè)故 a=2為 所 求 例 6已 知 集 合 A=a,a b,a 2b， B=a,ac,ac2.若 A=B， 求 c的 值 分 析 ： 要 解 決 c的

7、求 值 問 題 ， 關(guān) 鍵 是 要 有 方 程的 數(shù) 學(xué) 思 想 ， 此 題 應(yīng) 根 據(jù) 相 等 的 兩 個 集 合 元素 完 全 相 同 及 集 合 中 元 素 的 確 定 性 、 互 異 性 ，無 序 性 建 立 關(guān) 系 式 解 ： 分 兩 種 情 況 進(jìn) 行 討 論 (1)若 a b=ac且 a 2b=ac2,消 去 b得 :a ac22ac=0， a=0時 ， 集 合 B中 的 三 元 素 均 為 零 ， 和 元 素的 互 異 性 相 矛 盾 ， 故 a 0 c2 2c 1=0， 即 c=1,但 c=1時 ， B中 的 三 元 素 又相 同 ,此 時 無 解 (2)若 a b=ac2且

8、 a 2b=ac,消 去 b得 :2ac2 aca=0, a 0, 2c 2 c 1=0,即 (c 1)(2c 1)=0，又 c 1， 故 c= 1/2 例 7已 知 集 合 A=x|x2 3x 2=0,B=x|x2 ax a 1=0， 且 A B=A， 則 a的 值 為 _ 分 析 ： 由 A B=A 而 推 出 B有 四 種 可能 ， 進(jìn) 而 求 出 a的 值 B A 解 ： A B=A， A=1， 2, B= 或 B=1或 B=2或 B=1， 2若 B= ,則 令 0得 a R且 a 2,把 x=1代 入 方 程 得 a R，把 x=2代 入 方 程 得 a=3，綜 上 a的 值 為 2

9、或 3 B A (三 )要 注 意 掌 握 好 證 明 、 判 斷 兩 集 合 關(guān) 系 的 方 法例 8設(shè) 集 合 A=a|a=3n 2,n Z， 集 合 B=b|b=3k 1,k Z,試 判 斷 集 合 A、 B的 關(guān) 系 解 ： 任 設(shè) a A， 則 a=3n 2=3(n 1) 1(n Z)， n Z, n 1 Z a B,故 又 任 設(shè) b B,則 b=3k 1=3(k 1) 2(k Z), k Z, k 1 Z b A， 故 由 、 知 A=B B AA B點 評 :這 里 說 明 a B或 b A的 過 程 中 ,關(guān) 鍵 是 先 要 變 (或 湊 )出 形 式 ,然 后 再 推 理

10、例 9 設(shè) 集 合 A=a|a=n2 1,n N*， 集 合 B= b|b=k2 4k 5,k N*， 試 證 ： A BB A證 明 ： 任 設(shè) a A, 則 a=n2 1=(n 2)2 4(n 2) 5(n N*), n N*， n 2 N* a B故 顯 然 ， ， 而 由 B=b|b=k2 4k 5,k N* =b|b=(k 2)2 1,k N* 知 1 B， 于 是 A B 由 、 得 A B 21 | 1,A a a n n N （ 四 ） 、 要 注 意 空 集 的 特 殊 性 和 特 殊 作 用例 10 已 知 A=x|x2 3x 2=0,B=x|ax 2=0 且 A B=A，

11、 求 實 數(shù) a組 成 的 集 合 C解 ： 由 x2 3x 2=0得 x=1或 2 當(dāng) x=1時 ,a=2; 當(dāng) x=2時 ， a=1 這 個 結(jié) 果 是 不 完 整 的 ， 上 述 解 答 只 注 意 了 B為 非 空 集 合 ， 實 際 上 ， B= 時 ， 仍 滿 足 A B=A， 當(dāng) a=0時 ， B= ,符 合 題 設(shè) 應(yīng) 補 上 ,故 正 確 答 案 為 C=0， 1， 2 例 11 已 知 集 合 A=x|x2 (m 2)x 1=0,x R， 若 A R = ， 則 實 數(shù) m的 取 值 范 圍 是_解 ： 由 A R = 又 方 程 x2 (m 2)x 1=0無 零 根 ，

12、所 以 該 方 程 只 有 兩 個 負(fù) 根 或 無 實 數(shù) 根 ， 2 4 02 02mm 即 : 或 =(m 2)2 40解 得 m 0或 4m 4 例 12已 知 集 合 A=x|x2 3x 10 0,集 合 B=x|p 1 x 2p 1.若 B A,求 實 數(shù) p的 取 值 范圍 解 : 當(dāng) B 時 ,即 p 12p 1得 p2. 由 BA得 ： 2 p 1且 2p 1 5. 得 : 3 p 3. 2 p 3. 當(dāng) B= 時 ， 即 p 12p 1p 2綜 上 所 述 ,知 :p 3 (五 )要 注 意 集 合 語 言 與 其 它 數(shù) 學(xué) 語 言 互 譯 的 準(zhǔn) 確 性例 13 已 知

13、集 合 有 唯 一 元 素 ， 用 列 舉法 表 示 a的 值 構(gòu) 成 的 集 合 A2 12x aB x x 解 ： 集 合 A表 示 方 程 有 等 根 ,即 方 程 x2 x a 2=0 有 等 根 時 a的 取 值 集 合 方 程 有 等 根 的 條 件 是 =( 1)2 4( a 2)=0,解 得 a= 因 此 A= 2 12x ax 9 4 94以 上 解 法 對 嗎 ？ 不 難 看 出 ， 將 B有 唯 一 元 素 譯 為 方 程 有等 根 時 a的 取 值 集 合 是 不 準(zhǔn) 確 的 轉(zhuǎn) 譯 時 忽 視 了 x2 20，即 |x| 這 一 隱 含 條 件 2解 ： 正 確 解

14、法 是 :方 程 等 價 于 混 合 組 ( ) 1當(dāng) (2)有 等 根 時 ， 解 得 a= ， 此 時 ， 適 合 (3)； 2當(dāng) (2)有 兩 個 不 等 的 實 根 時 ， 由 0可 得 a 當(dāng) 為 的 增 根 時 ， 由 (2)得 ； 當(dāng) 為 的 增 根 時 ， 由 (2)得 ； 22 2 0(1)2 0(2)x x ax 49 12x 2x 2a 2x 2a 例 14設(shè) a,b R,A=(x,y)|x=n,y=na b,n Z,B=(x,y)|x=m,y=3(m2 5),m Z,C=(x,y)|x2 y2 144是 平 面xoy內(nèi) 的 點 集 ， 問 是 否 存 在 實 數(shù) a和

15、b使 得 (1)A B ,(2)(a,b) C同 時 成 立 ？解 :A B 成 立 .即 na b=3n2 15 又 (a,b) C a2 b2 144 若 滿 足 和 的 a,b存 在 ,則 關(guān) 于 a,b的 方 程 組 有 解 從 而 在 直 角 坐標(biāo) 系 ao b中 ,直 線 L :na b 3(n2 5)=0與 a2 b2 144表示 的 區(qū) 域 應(yīng) 有 公 共 點 .于 是 圓 心 O (0， 0)到 直 線 L的 距 離不 大 于 半 徑 12， 即 n 2=3而 n Z,這 是 不 可 能 的 .故 滿 足 的 a,b不 存 在 23 15n mna b m 轉(zhuǎn) 譯 成轉(zhuǎn) 譯

16、成 22 2 3( 5)144na b ma b （ 六 ） 要 注 意 數(shù) 形 結(jié) 合 解 集 合 問 題例 15設(shè) 全 集 U=x|0 x0， 求 A B和 AB 解 : A=x|x2 5x 6 0=x| 6 x 1，B=x|x2 3x0=x|x0如 右 圖 所 示 ， A B=x| 6 x 1 x|x0=R，AB=x| 6x1x|x0=x| 6x 3， 或 0 x1 例 17設(shè) A=x| 2x1,B=x|x2 ax b0,已 知 A B=x|x 2,AB=x|1x3， 試 求 a、 b的 值 解 :如 圖 所 示 ,設(shè) 想 集 合 B所表 示 的 范 圍 在 數(shù) 軸 上 移 動 ， 顯 然 當(dāng) 且 僅 當(dāng) B覆 蓋 住 集 合 x| 1x 2， 且 A B=x|12使 命 題 乙 成 立 的 條 件 是 : 2=16(m 2)2 160， 1 m3 集 合 B=m|1m2 m|m 1或 m 3=m|m 3 若 為 (2),則 有 ： B CRA=m|1m3 m|m 2=m|1m 2綜 合 (1)(2)可 知 所 求 m的 取 值 范 圍 是 m|1m 2， 或 m 3 211 2 4 0 20m mx x m