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1、二次根式及其化簡 公開課教案 教案 2．7 二次根式 第1課時 二次根式及其化簡 1．了解二次根式的定義及最簡二次根式；(重點) 2．運用二次根式有意義的條件解決相關(guān)問題．(難點) 一、情境導(dǎo)入 問題：(1)如圖，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，∠C ＝90，那么AB 邊的長是多少？(2)面積為S 的正方形的邊長是多少？(3)要修建一個面積為6.28平方米的圓形水池，它的半徑是多少米？(π取3.14) 上述結(jié)果有什么共同特征？ 二、合作探究 探究點一：二次根式的相關(guān)概念 【類型一】 二次根式的定義 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二

2、次根式？ (1)2；(2)4；(3)3 3；(4)1x ＋y ； (5)x ＋y (x≥0，y ≥0)；(6)3a 2 ＋8； (7)－x 2 －12. 解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是． 方法總結(jié)：在判斷一個代數(shù)式是不是二次根式時，應(yīng)該在原始形式的基礎(chǔ)上進行判斷，不能先化簡再作判斷，如本題4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式． 【類型二】 二次根式有意義的條件 當(dāng)x________，x ＋3＋ 1 x ＋1 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義． 解析：要使x ＋3＋1 x ＋1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足被開方數(shù)x ＋3≥0和分母 x ＋1

3、≠0，解得x ≥－3且x≠－1. 方法總結(jié)：使一個代數(shù)式有意義的未知數(shù)的取值范圍通常要考慮三種情況：一是分母不 為零，二是偶次方根的被開方數(shù)是非負數(shù)，三是零次冪的底數(shù)不為零．探究點二：二次根式的性質(zhì)及化簡 化簡下列二次根式． (1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)； (3)（－36）169（－9）. 解析：本題主要考查運用 ab＝ab(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)進行化簡．解：(1)48＝163＝163＝43； (2)8a3b＝22a22ab＝（2a）22ab＝2a2ab； (3)（－36）169（－9）＝361699＝6133＝234. 方法總結(jié)：(1)若被

4、開方數(shù)中含有負因數(shù)，則應(yīng)先化成正因數(shù)，如(3)題．(2)將二次根式盡量化簡，使被開方數(shù)(式)中不含能開得盡方的因數(shù)(因式)，即化為最簡二次根式(后面學(xué)到)． 探究點三：最簡二次根式 在二次根式8a， c 9 ，a2＋b2，a2 中，最簡二次根式共有( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：8a中有因數(shù)4； c 9 中有分母9；a3中有因式a2.故最簡二次根式只有a2＋b2.故選A. 方法總結(jié)：只需檢驗被開方數(shù)是否還有分母，是否還有能開得盡方的因數(shù)或因式． 三、板書設(shè)計 二次根式 ?? ? ??定義???形如a（a≥0）的式子 有意義的條件：a≥0

5、 性質(zhì)：（a）2＝a（a≥0），a2＝a（a≥0） 最簡二次根式 本節(jié)經(jīng)歷從具體實例到一般規(guī)律的探究過程，運用類比的方法，得出實數(shù)運算律和運算法則，使學(xué)生清楚新舊知識的區(qū)別和聯(lián)系，加深學(xué)生對運算法則的理解，能否根據(jù)問題的特點，選擇合理、簡便的算法，能否確認結(jié)果的合理性等等． 4．4一次函數(shù)的應(yīng)用 第1課時確定一次函數(shù)的表達式 1．會確定正比例函數(shù)的表達式；(重點) 2．會確定一次函數(shù)的表達式．(重點) 一、情境導(dǎo)入 某農(nóng)場租用播種機播種小麥，在甲播種機播種2天后，又調(diào)來乙播種機參與播種，直至完成800畝的播種任務(wù)，播種畝數(shù)與天數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如圖．你能通

6、過圖象提供的信息求出y 與x 之間的關(guān)系式嗎？你知道乙播種機參與播種的天數(shù)是多少呢？學(xué)習(xí)了本節(jié)的內(nèi)容，你就知道了． 二、合作探究 探究點一：確定正比例函數(shù)的表達式 求正比例函數(shù)y ＝(m －4)m 2 －15的表達式． 解析：本題是利用正比例函數(shù)的定義來確定表達式的，即自變量的指數(shù)為1，系數(shù)不為0，這種類型簡稱為定義式． 解：由正比例函數(shù)的定義知m 2 －15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x. 方法總結(jié)：利用正比例函數(shù)的定義確定表達式：自變量的指數(shù)為1，系數(shù)不為0. 探究點二：確定一次函數(shù)的表達式 【類型一】 根據(jù)給定的點確定一次函數(shù)的表達式 已知一

7、次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0，5)、(2，－5)兩點，求一次函數(shù)的表達式． 解析：先設(shè)一次函數(shù)的表達式為y ＝kx ＋b ，因為它的圖象經(jīng)過(0，5)、(2，－5)兩點，所以當(dāng)x ＝0時，y ＝5；當(dāng)x ＝2時，y ＝－5.由此可以得到兩個關(guān)于k 、b 的方程，通過解方程即可求出待定系數(shù)k 和b 的值，再代回原設(shè)即可． 解：設(shè)一次函數(shù)的表達式為y ＝kx ＋b ，根據(jù)題意得， ∴?????5＝b ，－5＝2k ＋b.解得? ????k ＝－5，b ＝5.∴一次函數(shù)的表達式為y ＝－5x ＋5. 方法總結(jié)：“兩點式”是求一次函數(shù)表達式的基本題型．二次函數(shù)y ＝kx ＋b 中有兩個待定系數(shù)k 、b

8、 ，因而需要知道兩個點的坐標才能確定函數(shù)的關(guān)系式． 【類型二】 根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達式 正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，它們的交點為A(4，3)，B 為一次函數(shù)的 圖象與y 軸的交點，且OA ＝2OB.求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式． 解析：根據(jù)A(4，3)可以求出正比例函數(shù)表達式，利用勾股定理可以求出OA 的長，從而可以求出點B 的坐標，根據(jù)A 、B 兩點的坐標可以求出一次函數(shù)的表達式． 解：設(shè)正比例函數(shù)的表達式為y 1＝k 1x ，一次函數(shù)的表達式為y 2＝k 2x ＋b.∵點A(4，3)是它們的交點，∴代入上述表達式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b

9、.∴k 1＝3 4，即正比例函數(shù)的表達 式為y ＝34x.∵OA ＝32＋42 ＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵點B 在y 軸的負半軸上，∴B 點的 坐標為(0，－52)．又∵點B 在一次函數(shù)y 2＝k 2x ＋b 的圖象上，∴－5 2＝b ，代入3＝4k 2＋b 中， 得k 2＝118.∴一次函數(shù)的表達式為y 2＝118x －5 2 . 方法總結(jié)：根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達式的方法：從圖象上選取兩個已知點的坐標， 然后運用待定系數(shù)法將兩點的橫、縱坐標代入所設(shè)表達式中求出待定系數(shù)，從而求出函數(shù)的表達式． 【類型三】 根據(jù)實際問題確定一次函數(shù)的表達式

10、某商店售貨時，在進價的基礎(chǔ)上加一定利潤，其數(shù)量x 與售價y 的關(guān)系如下表所 示，請你根據(jù)表中所提供的信息，列出售價y(元)與數(shù)量x(千克)的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)數(shù)量是2.5 解析：從圖表中可以看出售價由8＋0.4依次向下擴大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售價y 與數(shù)量x 的函數(shù)關(guān)系式為y ＝8.4x.當(dāng)x ＝2.5時，y ＝8.42.5＝21.所以數(shù)量是2.5千克時的售價是21元． 方法總結(jié)：解此類題要根據(jù)所給的條件建立數(shù)學(xué)模型，得出變化關(guān)系，并求出函數(shù)的表達式，根據(jù)函數(shù)的表達式作答． 三、板書設(shè)計 確定一次函數(shù)表達式???? ?正比

11、例函數(shù)y ＝kx （k≠0）一次函數(shù)y ＝kx ＋b （k≠0） 經(jīng)歷對正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的探求過程，掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式，進一步使用數(shù)形結(jié)合的思想方法；經(jīng)歷從不同信息中獲取一次函數(shù)表達式的過程，體會到解決問題的多樣性，拓展學(xué)生的思維． 2．2 平方根 第1課時 算術(shù)平方根 1．了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根；(重點) 2．根據(jù)算術(shù)平方根的概念求出非負數(shù)的算術(shù)平方根；(重點) 3．了解算術(shù)平方根的性質(zhì)．(難點) 一、情境導(dǎo)入 上一節(jié)課我們做過：由兩個邊長為1的小正方形，通過剪一剪，拼一拼，得到一個邊長 為a

12、 的大正方形，那么有a 2 ＝2，a ＝________，2是有理數(shù)，而a 是無理數(shù)．在前面我們學(xué) 過若x 2 ＝a ，則a 叫做x 的平方，反過來x 叫做a 的什么呢？ 二、合作探究 探究點一：算術(shù)平方根的概念 【類型一】 求一個數(shù)的算術(shù)平方根 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： (1)64；(2)214 ；(3)0.36；(4)412－402 . 解析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義求非負數(shù)的算術(shù)平方根，只要找到一個非負數(shù)的平方等于這個非負數(shù)即可． 解：(1)∵82 ＝64，∴64的算術(shù)平方根是8； (2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算術(shù)平方根是32； (3)∵

13、0.62 ＝0.36，∴0.36的算術(shù)平方根是0.6； (4)∵412 －402 ＝81，又92 ＝81，∴81＝9，而32 ＝9，∴412 －402 的算術(shù)平方根是3. 方法總結(jié)：(1)求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，首先要弄清是求哪個數(shù)的算術(shù)平方根，分清求81與81的算術(shù)平方根的不同意義，不要被表面現(xiàn)象迷惑． (2)求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根常借助平方運算，因此熟記常用平方數(shù)對求一個數(shù)的算術(shù)平方根十分有用． 【類型二】 利用算術(shù)平方根的定義求值 3＋a 的算術(shù)平方根是5，求a 的值． 解析：先根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求出3＋a 的值，再求a. 解：因為52 ＝25

14、，所以25的算術(shù)平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 方法總結(jié)：已知一個數(shù)的算術(shù)平方根，可以根據(jù)平方運算來解題． 探究點二：算術(shù)平方根的性質(zhì) 【類型一】 解析：首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義進行開方運算，再進行加減運算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3. 方法總結(jié)：解題時容易出現(xiàn)如9＋16＝9＋16的錯誤． 【類型二】 已知x 3(y －2)2 ＝0，求x －y 的值． 解析：算術(shù)平方根和完全平方式都具有非負性，即a ≥0，a 2 ≥0，由幾個非負數(shù)相加和為0，可得每一個非負數(shù)都為0，由此可求出x 和y 的值，進而求得答案． 解：由題意可得x －

15、1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1. 方法總結(jié)：算術(shù)平方根、絕對值和完全平方式都具有非負性，即a ≥0，|a|≥0，a 2 ≥0，當(dāng)幾個非負數(shù)的和為0時，各數(shù)均為0. 三、板書設(shè)計 算術(shù)平方根???概念：非負數(shù)a 的算術(shù)平方根記作 a 性質(zhì)：雙重非負性???a≥0， a ≥0 讓學(xué)生正確、深刻地理解算術(shù)平方根的概念，需要由淺入深、不斷深化．概念的形成 過程也是思維過程，加強概念形成過程的教學(xué)，對提高學(xué)生的思維水平是很有幫助的．概念教學(xué)過程中要做到：講清概念，加強訓(xùn)練，逐步深化． 4．4 一次函數(shù)的應(yīng)用 第1課時 確定一次函

16、數(shù)的表達式 1．會確定正比例函數(shù)的表達式；(重點) 2．會確定一次函數(shù)的表達式．(重點) 一、情境導(dǎo)入 某農(nóng)場租用播種機播種小麥，在甲播種機播種2天后，又調(diào)來乙播種機參與播種，直至完成800畝的播種任務(wù)，播種畝數(shù)與天數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如圖．你能通過圖象提供的信息求出y 與x 之間的關(guān)系式嗎？你知道乙播種機參與播種的天數(shù)是多少呢？學(xué)習(xí)了本節(jié)的內(nèi)容，你就知道了． 二、合作探究 探究點一：確定正比例函數(shù)的表達式 求正比例函數(shù)y ＝(m －4)m 2 －15的表達式． 解析：本題是利用正比例函數(shù)的定義來確定表達式的，即自變量的指數(shù)為1，系數(shù)不為0，這種類

17、型簡稱為定義式． 解：由正比例函數(shù)的定義知m 2 －15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x. 方法總結(jié)：利用正比例函數(shù)的定義確定表達式：自變量的指數(shù)為1，系數(shù)不為0. 探究點二：確定一次函數(shù)的表達式 【類型一】 根據(jù)給定的點確定一次函數(shù)的表達式 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0，5)、(2，－5)兩點，求一次函數(shù)的表達式． 解析：先設(shè)一次函數(shù)的表達式為y ＝kx ＋b ，因為它的圖象經(jīng)過(0，5)、(2，－5)兩點，所以當(dāng)x ＝0時，y ＝5；當(dāng)x ＝2時，y ＝－5.由此可以得到兩個關(guān)于k 、b 的方程，通過解方程即可求出待定系數(shù)k 和b 的值，再代回原設(shè)即可． 解：設(shè)

18、一次函數(shù)的表達式為y ＝kx ＋b ，根據(jù)題意得， ∴?????5＝b ，－5＝2k ＋b.解得?????k ＝－5，b ＝5. ∴一次函數(shù)的表達式為y ＝－5x ＋5. 方法總結(jié)：“兩點式”是求一次函數(shù)表達式的基本題型．二次函數(shù)y ＝kx ＋b 中有兩個待定系數(shù)k 、b ，因而需要知道兩個點的坐標才能確定函數(shù)的關(guān)系式． 【類型二】 根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達式 正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，它們的交點為A(4，3)，B 為一次函數(shù)的 圖象與y 軸的交點，且OA ＝2OB.求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式． 解析：根據(jù)A(4，3)可以求出正比例函數(shù)表達式，利

19、用勾股定理可以求出OA 的長，從而可以求出點B 的坐標，根據(jù)A 、B 兩點的坐標可以求出一次函數(shù)的表達式． 解：設(shè)正比例函數(shù)的表達式為y 1＝k 1x ，一次函數(shù)的表達式為y 2＝k 2x ＋b.∵點A(4，3)是它們的交點，∴代入上述表達式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝3 4，即正比例函數(shù)的表達 式為y ＝34x.∵OA ＝32＋42 ＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵點B 在y 軸的負半軸上，∴B 點的 坐標為(0，－52)．又∵點B 在一次函數(shù)y 2＝k 2x ＋b 的圖象上，∴－5 2＝b ，代入3＝4k 2＋b 中， 得k 2＝118.∴一次

20、函數(shù)的表達式為y 2＝118x －5 2 . 方法總結(jié)：根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達式的方法：從圖象上選取兩個已知點的坐標， 然后運用待定系數(shù)法將兩點的橫、縱坐標代入所設(shè)表達式中求出待定系數(shù)，從而求出函數(shù)的表達式． 【類型三】 根據(jù)實際問題確定一次函數(shù)的表達式 某商店售貨時，在進價的基礎(chǔ)上加一定利潤，其數(shù)量x 與售價y 的關(guān)系如下表所 示，請你根據(jù)表中所提供的信息，列出售價y(元)與數(shù)量x(千克)的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)數(shù)量是2.5千克時的售價. 解析：從圖表中可以看出售價由8＋0.4依次向下擴大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售價y 與數(shù)量x 的函數(shù)關(guān)系式為y ＝8.4x.當(dāng)x ＝2.5時，y ＝8.42.5＝21.所以數(shù)量是2.5千克時的售價是21元． 方法總結(jié)：解此類題要根據(jù)所給的條件建立數(shù)學(xué)模型，得出變化關(guān)系，并求出函數(shù)的表達式，根據(jù)函數(shù)的表達式作答． 三、板書設(shè)計 確定一次函數(shù)表達式?????正比例函數(shù)y ＝kx （k≠0） 一次函數(shù)y ＝kx ＋b （k≠0） 經(jīng)歷對正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的探求過程，掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達 式，進一步使用數(shù)形結(jié)合的思想方法；經(jīng)歷從不同信息中獲取一次函數(shù)表達式的過程，體會到解決問題的多樣性，拓展學(xué)生的思維．