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1、;, 00 MxSxM 使S無 上 界：;, 00 LxSxL 使S無 下 界：.,0 00 MxSxM 使S無界： S無上界或S無下界f(x)在 D上 無 界 ： .)(,0 00 MxfDxM 使 的有限個點。之外至多有在有),(0,(2) .,0)1(lim nnnn aaU aaNnNaa 第二章習題課數列極限的定義的無限個點。之外有在有不存在),(0,(2) .,0,)1( 00 000 0lim nnnn aaUa aaNnNaa .limlimlim .lim,lim 122 aaaaa aaaaa kkkknn nknnn kk 有數列極限的等價命題 收斂數列的性質 1、唯一性

2、；2、有界性； 3、保號性；4、保不等式性； 5、迫斂性；6、子列收斂性； 7、四則運算性。 數列極限存在的條件單調有界定理。 Cauchy收斂準則。這兩個定理都只是在實數系內成立。 求數列an極限的方法：1、 恒 等 變 形 （ 通 分 、 約 分 、 分 子 或 分 母 有 理 化 等 ） ；2、 極 限 的 四 則 運 算 ；4、 利 用 單 調 有 界 定 理 ；3、 利 用 重 要 極 限 en nn )11(lim5、 證 明 奇 偶 子 列 收 斂 于 同 一 個 數 。6、 憑 直 覺 估 計 極 限 值 ， 再 用 極 限 定 義 證 明 。7、 利 用 迫 斂 性 。 幾個

3、常用數列的極限).0(,01lim nn ).1|(|,0lim qqnn).0(,1lim aann .1lim nn nkkk mmmn bnbnb anana 110 110lim . , ; ,0 ; ,00 mk mk mkba e)n1(1lim nn 解題方面注意點：1、 -N定義求極限，N的找法。 naan | )1(中解出直接從 *不再含有n n nnaan )(),(| )2(解出中則從適當放大法，若*取整后取作N 2、證明數列an單調的方法。比較，與0 )1( 1 nn aa 比較，與 1 )2( 1nnaa 數學歸納法。 )3( 例 1下列數列是否存在極限，若存在，求出

4、其值。.)1(1lim )1( 2 nn n .1lim )2( n nnn.65 6)4(lim )3( 11 nn nnn .3lim )4( nn n答（1） 發(fā)散。（2） 1。（3） 1/6。（4） 0。.)32(323n0 )4( nnn n由迫斂性即得。.72 1lim )5( 22 nnnn （5） 1/2。 例 2 .lim 23 , 2 11 nnnn xxxx 的極限存在并求證明數列證 ,30 1 x則設,30 kxkk xx 230 1 ,363 .30 nx由歸納法知：nnnn xxxx 231又nn nn xx xx 23 23 2nn nn xx xx 23 )1)

5、(3( .0.1 nn xx 故。單調有界，從而有極限所以 nx ，兩邊取極限，得由nn xx 23 1 ,lim axnn 設,23 aa .1 ,3 （舍）解之得 aa 例 3 ).1()1)(1)(1(lim ,1 242 nxxxxxn 求時當解將分子、分母同乘以因子(1-x), 則x xxxxx nn 1 )1()1)(1)(1)(1(lim 242 原式x xxxx nn 1 )1()1)(1)(1(lim 2422 x xx nnn 1 )1)(1(lim 22 xx nn 11lim 12.1 1x .)0lim,1( 12 nxx n時當 例 4 下 面 極 限 是 否 存

6、在 ？ 若 存 在 ， 求 之 。解 ).( )1)(1)(21 babannbax nn )(2 12)(212 bannbax n )()(21 baba ,a)(2 12)(21 12 bannbax n )()(21 baba ,b不存在。 lim nn x 解 .0,)(lim 21121 nnnmnnn aaaaaa ，其中求，則記),max( 21 maaaa 例 5 nnmnn aaa 121 )( nna 1)(a nnma 1)( n ma1n m nnmnnn aaa 121 )(lim .a 例 6收斂。證明滿足：設,3,2 ,10|,| 11n nnnnn xn kx

7、xkxxx 證 | 11 nnnn xxkxx | 212 nn xxk| 121 xxkn | npn xx 則| 1211 nnpnpnpnpn xxxxxx | 121123122 xxkxxkxxk npnpn |1 )1( 1221 xxkkk pn |1 121 xxkkn ,01 nkn時，當.|,0,0 npn xxpNnN有，故由Cauchy準則，xn收斂。|1 121 xxkkn | npn xx 例 7 證 明收斂。!1!21!111 nxn 證 121321 1!1 nnn |)!( 1)!2( 1)!1( 1| pnnnxx npn 11 2 12121 pnnn 2

8、11 )211(21 pn 由Cauchy準則，xn收斂。.|,0,0 npn xxpNnN有，故11 2 121 pnn 121 n ).(,0 n211 )211(21 pn| npn xx 例 8 斐 波 那 契 （ Fibonaci ,1170-1250,意 大 利 數 學 家 ）斐 波 那 契 數 列 ： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， ).3(,1 2121 nuuuuu nnn后 人 求 出 了 它 的 通 項 ： )2 51()2 51(51 nnnu 一 個 正 整 數 數 列 竟 然 要 用 無 理 數 來 表 示 ！更 令 人 叫 絕 的 是 618.

9、02 15lim 1 nnn uu 黃 金 分 割 數 ！ 解例 9（用單調有界定理）均為正數，、知由 3 30 111 xxx )3(0 112 xxx 故，則設)1(230 kx k 11 3 xx )3()(21 2121 xx 23 ,23)3()(21)3(0 221 kkkkk xxxxx ).1( 230 nxn . ),3,2,1( )3(30 11限的極限存在，并求此極證明，設n nnnx nxxxx 例 9（接著證單調性）nnnnn xxxxxn )3( 1 1 時，當 nnn nn xxx xx )3( )23( ，0 nnn nnnnnn xxx xxxxxx )3(

10、)3()( )3( .單調（增）nx.的極限存在nx . ),3,2,1( )3(30 11限的極限存在，并求此極證明，設n nnnx nxxxx . ),3,2,1( )3(30 11限的極限存在，并求此極證明，設n nnnx nxxxx 例 9（接著求極限）,lim axnn 記,)3(1 nnn xxx 由),3(2 1 nnn xxx 有得令 , n ),3(2 aaa 023 aa，解得.（舍去）.23lim nn x . 0 1且單調增）時，（nxn 作業(yè)中的問題P39 3(1)極限存在，并求其值。證明設,2,2 11 nnn aaaa 證 ,221 a ,2na設,22221 n

11、n aa則。有上界故2 na nnnn aaaa 21 )2( nn aa ,0單調減。故 na則存在，設其值為故,lim aann aa 2 .2 0，解之a .2 0,22 aaan不合題意，從而故由于 P39 3(2)證單調增加。顯然 na ,121 cca ,12 can設1121 cccaca nn則,12 c。有上界故12 can則存在，設其值為故,lim aann aca .2 411 ca 解之.2 411 02 411,0 cacaan 不合題意，從而故由于極限存在，并求其值。證明設,),0( 11 nnn aacacca P39 6.解 .lim ,lim: Axx Axxx nnn nknn kk 收斂且試證單調且有收斂子列若，單調，不妨設為單調增 nx , Mxx pk ,無上界若nx , , Mxxp kn pnk k ，若ABxnn lim ，則任意子列有ABx knk lim .lim Axnn 與已知矛盾！, MxpM p 使則有單調增，由, pkxn 收斂矛盾！這與 knx單調有界，從而收斂。 nx