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最新考綱 1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會 畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解他們各自的 特點；2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標 準差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標 準差)，并作出合理的解釋；4.會用樣本的頻率分布估計總體 分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征， 理解用樣本估計總體的思想；5.會用隨機抽樣的基本方法和 樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題．,第2講 用樣本估計總體,1．用樣本的頻率分布估計總體分布 (1)頻率分布：樣本中所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的_____，所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做__________． (2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的_______與_______的差；②決定__________；③將_________；④列___________；⑤畫頻率分布直方圖．,知 識 梳 理,頻率,頻率分布,最大值,最小值,組距與組數(shù),數(shù)據(jù)分組,頻率分布表,在頻率分布直方圖中，縱軸表示______，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用_________________表示，各小長方形的面積總和等于__. (3)總體密度曲線 ①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖． ②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線．,各小長方形的面積,1,(4)莖葉圖：統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是指中間一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)． 當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便． 2．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． (2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．,(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即 ＝ _________________． (4)樣本方差、標準差 標準差s＝__________________________________________． 其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)． 標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標準差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差．,1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率． ( ) (2)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢． ( ) (3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了． ( ) (4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的順序?qū)懀覀鹊娜~按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次． ( ),診 斷 自 測,×,√,×,√,2. 對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了 統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則 該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是( ) A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 解析 由題意知各數(shù)為12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位數(shù)是46，眾數(shù)是45，最大數(shù)為68，最小數(shù)為12，極差為68－12＝56. 答案 A,3．(2014·山東卷)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組．下圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為 ( ),A．6 B．8 C．12 D．18,所以第三組有志愿者：0.36×1×50＝18(人)， ∵第三組中沒有療效的有6人， ∴有療效的有18－6＝12(人)，故選C. 答案 C,4．由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標準差等于1，則這組數(shù)據(jù)為________(從小到大排列)． 解析 不妨設x1≤x2≤x3≤x4，由中位數(shù)及平均數(shù)均為2，得x1＋x4＝x2＋x3＝4，故這四個數(shù)只可能為1，1，3，3或1，2，2，3或2，2，2，2，由標準差為1可得這四個數(shù)只能為1，1，3，3. 答案 1，1，3，3,5．(人教A必修3P82A6改編)甲乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數(shù)分別是： 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 則機床性能較好的為________． 答案 乙,考點一 頻率分布直方圖 【例1】 (2014·新課標全國Ⅰ卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結果得如下頻數(shù)分布表：,(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：,(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； (3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？,解 (1),(2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為 所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104.,(3)質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為 0．38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定．,【訓練1】 某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]．已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是 ( ),A．90 B．75 C．60 D．45 答案 A,考點二 莖葉圖 【例2】 (2014·廣東卷)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：,(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 解 (1)由題意可知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差是40－19＝21. (2)這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示：,,規(guī)律方法 (1)莖葉圖的繪制需注意：①“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；②重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．(2)莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)．通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等．,【訓練2】 (2015·?？谡{(diào)研)某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為85，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________． 答案 85.3,考點三 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 【例3】 甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖．,(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價． 解 (1)由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分．,從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高． 規(guī)律方法 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小．,【訓練3】 (1)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示： 則7個剩余分數(shù)的方差為 ( ),(2)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則 ( ) A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差,,答案 (1)B (2)C,[思想方法] 1．用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用．在計數(shù)和計算時一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致．通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計．,2．莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的．莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作．,[易錯防范] 1．在使用莖葉圖時，一定要注意看清楚所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個圖中的數(shù)字特點，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義． 2．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，應注意這三者的區(qū)分：(1)最高的矩形的中點即眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．,3．直方圖與條形圖不要搞混 (1)條形圖是用條形的長度表示各類別頻數(shù)的多少，其寬度(表示類別)是固定的；直方圖是用面積表示各組頻率的多少，矩形的高度表示每一組的頻率除以組距，寬度則表示各組的組距，因此其高度與寬度均有意義． (2)由于分組數(shù)據(jù)具有連續(xù)性，直方圖的各矩形通常是連續(xù)排列，而條形圖則是分開排列.,