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1、 《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì) 富源縣第一中學(xué) 李耀明 一、教材分析 1. 教材中的地位及作用 本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后，在此基礎(chǔ)上，反過來 利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)，是深入研究雙曲線，靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ)，更能使學(xué)生理解、體會(huì)解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。 2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù) 平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性

2、質(zhì)。教學(xué)參考書中明確要求：學(xué)生要掌握圓錐曲線的性質(zhì)，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。 （1）知識目標(biāo)： ①使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對稱性、 頂點(diǎn)、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)； ② 掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中 a, b, c 的幾何意義，理解雙曲線的漸近 線的概念及證明； ③能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。 （2）能力目標(biāo)： ①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察 能力，想象能力，數(shù)形結(jié)

3、合能力，分析、歸納能力和邏輯推 理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法； ②使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理解。 （3）德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神， 而且能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的，變化的觀點(diǎn)分析理解事物。 3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù) 對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證 明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了

4、雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點(diǎn)，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際水平和認(rèn)知能力，我把漸近線和離心率這兩個(gè)性質(zhì)作為本節(jié)課的重點(diǎn)。 4. 教學(xué)方法 這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、 研究雙曲線的性質(zhì)， 本節(jié)內(nèi)容類似于 “橢圓的簡單的幾何性質(zhì)” ，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不 大，經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)

5、積極性，同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。 漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，從已有知識出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。 例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論） ，訓(xùn)練學(xué)生一題多解， 開拓其解題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解

6、決問題能力。 二、教學(xué)程序 （一） . 設(shè)計(jì)思路 復(fù)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì) 類比 雙曲線的幾何性質(zhì) 特有的幾何性質(zhì)（從特殊到一般的規(guī)律探索） 雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明 加強(qiáng)應(yīng)用 深化知識、鞏固提高 （二） . 教學(xué)流程 1. 復(fù)習(xí)引入 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單的幾 何性質(zhì)，請同學(xué)們來回顧這些知識點(diǎn)，對學(xué)習(xí)的舊知識加以復(fù)習(xí)鞏固，同時(shí)為新知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，利用多媒體工具的先進(jìn)性，結(jié)合圖像來演示。 2．觀察、類比 這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲

7、線方程推導(dǎo)、 研究雙曲線的性質(zhì)， 本節(jié)內(nèi)容類似于 “橢圓的簡單的幾何性質(zhì)” ，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，首先觀察雙曲線的形狀，試著按照橢圓的幾何性質(zhì)，歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一 般學(xué)生能用類似于推導(dǎo)橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率，對知識的理解不能浮于表面只會(huì)看圖，也要會(huì)從方程的角度來解釋，抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示，加強(qiáng)學(xué)生對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點(diǎn)（實(shí)軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之后，比較雙曲線的這四個(gè)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別，這樣可以加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，借助于類 比方法，引

8、起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知欲。 3. 雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明（1）發(fā)現(xiàn) 由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾 何性質(zhì)，能否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線 x2 y 2 1 的圖形為引例，讓學(xué)生動(dòng)筆實(shí)踐，通 過列表描點(diǎn)，就能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)較準(zhǔn)確地畫出來，但雙曲線向遠(yuǎn)處 如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準(zhǔn)確的畫出雙曲線的圖形只有那四個(gè)性質(zhì) 是不行的。 從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)入手，而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù) y 1 的圖像，它的圖像是雙曲線，當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與

9、 x、y 軸無限接近， x 1 的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生 此時(shí) x、y 軸是 y x 猜想雙曲線 x2 y 2 1 有何特征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對稱性， 我們只須研究它的圖形在 第一象限 的情況即可。在研究雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn) 方程 x2 y 2 1 ，可解出 y 2 x2 1 ， y x2 1 ，當(dāng) x 無限增大時(shí)， y 也隨之增 大 ， 不 容 易 發(fā) 現(xiàn) 它 們 之 間 的 微 妙 關(guān) 系 。 但 是 如 果 將 式 子 變 形 為 y x2 2 1 1 12

10、 ，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng) x 無限增大， 12 逐漸減小、無限接近 x x x x 于 0，而 y 就逐漸增大、無限接近于 1( y 1) ；若將 y 變形為 y 0 ，即說明此時(shí) x x x x 0 雙曲線在第一象限，當(dāng) x 無限增大時(shí)，其上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率比 1 小，但與斜率為 1 的直線無限接近，且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線 y x 的下方。其它象限向 遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢就可以利用對稱性得到， 從而可知雙曲線 x2 y 2 1 的圖 形在遠(yuǎn)處與直線 y x

11、 無限接近，此時(shí)我們就稱直線 y x 叫做雙曲線 x 2 y 2 1 的漸近線。這樣從已有知識出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng) 學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。 利用由特殊到一般的規(guī)律， 就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線 x 2 y 2 1(a>0，b>0) a 2 b2 的 漸 近 線 ， 讓 學(xué) 生 同 樣 利 用 類 比 的 方 法 ， 將 其 變 形 為 y 2 x 2 1 ，

12、 b2 a 2 y 2 b2 ( x 2 a 2 ) ，由于雙曲線的對稱性，我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化 a 2 b 2 2 y b a2 a 2 趨勢，繼續(xù)變形為 y a x a ， x a 1 x2 ，可發(fā)現(xiàn)當(dāng) x 無限增大時(shí)， x 2 逐 漸減小、無限接近于 0， y 逐漸增大、無限接近于 b ，即說明對于雙曲線在第一象 x a 限遠(yuǎn)處的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜

13、率比 b 小，與斜率為 b 的直線無限接近，且 a a 此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線 y b x 下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢可以利用對 a 稱性得到，從而可知雙曲線 x2 y 2 1 (a>0，b>0)的圖形在遠(yuǎn)處與直線 y b x 無 a2 b2 a 限接近，直線 y b x 叫做雙曲線 x2 y 2 1(a>0，b>0)的漸近線。我就是這樣將 a a2 b 2

14、 漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、 分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲 透于其中，學(xué)生也易接受。 （2）證明 如何證明直線 y b x 是雙曲線 x 2 y2 1(a>0， b>0)的漸近線呢？ a a 2 b2 啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語言？（ x→∞,d→ 0） 啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進(jìn)行證明？ 啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎

15、樣利用 x 表示 d （工具是什么：點(diǎn)到直線的距離公式） 啟發(fā)思考④：讓學(xué)生設(shè)點(diǎn)，而 d 的表達(dá)式較復(fù)雜，能否將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化？ 分析：要證明直線 y b x 是雙曲線 x2 y 2 1(a>0，b>0)的漸近線，即要證 a a2 b2 明隨著 x 的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點(diǎn)到直線的距離 ｜MQ｜越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算｜ MQ｜。但因｜ MQ｜不好直接求得，因 此又可以把問題轉(zhuǎn)化為求｜ MN｜。 | MQ | | MN | b x b x2

16、a 2 y N a a B2 Q ＝ b ( x ab M x 2 a 2 ) a 2 A2x a x x2 A1 O B1 （ | MQ | x 0 ） 啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么？ （在其他象限，同理可證，或由對稱性可知有相似情況） 引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進(jìn)行探究，從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。 （

17、3）深化 再來研究實(shí)軸在 y 軸上的雙曲線 y 2 x 2 1(a>0，b>0)的漸近線方程就會(huì)變得 a 2 b2 容易很多，此時(shí)可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的 漸近線方程即為 y a x 。 b 這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確的畫出 雙曲線。但是如果仔細(xì)觀察漸近線實(shí)質(zhì)就是雙曲線過實(shí)軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)，作平 行與坐標(biāo)軸的直線 x a, y b 所成的矩形的兩條對角線，數(shù)形結(jié)合，來加強(qiáng)對 雙曲線的漸近線的理解。

18、 4. 離心率的幾何意義 橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得 到： e c ,c a, e 1，這是剛剛學(xué)生在類比橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)就可以得到的 a 簡單結(jié)論。通過對離心率的研究，同樣也可以使學(xué)生進(jìn)一步加深對漸近線的理解。 由等式 c2 a 2 b 2 ，可得： b c2 a 2 c2 1e2 1 ，不難發(fā)現(xiàn)： e a a a 2 越?。ㄔ浇咏? 1）， b 就越接近于 0，雙曲線開口越小； e 越大， b 就越大，雙曲 a

19、 a 線開口越大。所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質(zhì)的探究，就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系，更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。 5. 例題分析 為突出本節(jié)內(nèi)容，使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識。我選配了這樣的例題： 例 1. 求雙曲線 9x2－16y2=144 的實(shí)半軸長和虛半軸長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。 選題目的 在于拿到一個(gè)雙曲線的方程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式，要先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接根據(jù)漸近線方程寫出； （ 2）利用雙曲線的圖形中的矩形

20、框架的對角線得到。加強(qiáng)對于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解。 變 1：求雙曲線 9y2－ 16x2=144 的實(shí)半軸長和虛半軸長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。 選題目的 ：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量；但求漸近線時(shí)可直接求出，也可以利用對稱性 來求解。 關(guān)鍵在于對比：雙曲線的形狀不變，但在坐標(biāo)系中的位置改變，它的那些性質(zhì)改變，那些性質(zhì)不變？試歸納 雙曲線的幾何性質(zhì) 。（小結(jié)列表） 變 2：已知雙曲線的漸近線方程是  y  4 x 

21、 ，且經(jīng)過點(diǎn) (  15  ,3),  求雙曲線的標(biāo) 3  4 準(zhǔn)方程。 選題目的 ：在已知雙曲線的漸近線的前提下，如何利用已知信息求解雙 曲線的方程。方法 1：分焦點(diǎn)在 x 軸，焦點(diǎn)在 y 軸分別求解；方法 2：確定點(diǎn)所在的區(qū)域，定方程的形式，然后求 a、b。深化知識，加強(qiáng)應(yīng)用，使知識系統(tǒng)化。 例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論） ，訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。 6. 課堂練習(xí) 課本 P113 練習(xí) 1.2 ，讓學(xué)生自己練習(xí)，熟悉并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解題，加強(qiáng)應(yīng)用性。 7. 課堂小結(jié) （ 1）通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡單應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)； （ 2）雙曲線的幾何性質(zhì)總結(jié) ( 學(xué)生填表歸納 ) 。 8. 課后作業(yè) 課本 P113習(xí)題 1.2.3 ，鞏固并掌握課上所學(xué)的知識。 思考：雙曲線與其漸近線的方程之間有何內(nèi)在的變化規(guī)律？