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第十章 計數原理、概率、隨機變量 及其分布 第一節(jié) 分類加法計數原理 與分步乘法計數原理,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)分類加法計數原理: 完成一件事有_______________,在第1類方案中有m種不同的方法, 在第2類方案中有n種不同的方法,完成這件事共有N=____種方法. (2)分步乘法計數原理: 完成一件事需要_________,做第1步有m種不同的方法,做第2步有 n種不同的方法,完成這件事共有N=___種方法.,兩類不同的方案,m+n,兩個步驟,mn,2.必備結論 教材提煉 記一記 分步用乘法、分類用加法. 3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:直接法、間接法. (2)數學思想:分類討論、數形結合.,(3)記憶口訣: 排組分清,加乘分明, 有序排列,無序組合, 分類相加,分步相乘.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)在分類加法計數原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分類加法計數原理中,兩類不同方案中的方法都能直接完成這件事.( ) (3)在分步乘法計數原理中,各種方法中完成某個步驟的方法是各不相同的.( ) (4)在分步乘法計數原理中,事件是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.( ),【解析】(1)錯誤.在分類加法計數原理中,兩類不同的方案中,方法是不相同的. (2)正確.在分類加法計數原理中,每類中的各種方法必須能完成這件事. (3)錯誤.在分步乘法計數原理中,各種方法中完成某個步驟的方法可以相同. (4)錯誤.如果單獨的步驟能完成這件事,這就不是某一步了,而是一類. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-3P10T1改編)乘積(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展開后共有 項. 【解析】由(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展開式各項都是從每個因式中選一個字母的乘積,由分步乘法計數原理可得:其展開式共有3×4×5=60項. 答案:60,(2)(選修2-3P12T5改編)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},從M,N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標,則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內不同的點的個數是 . 【解析】分兩類:第一類,第一象限內的點,有2×2=4(個);第二類,第二象限內的點,有1×2=2(個).由分類加法計數原理可得:共有4+2=6個. 答案:6,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015·濱州模擬)甲、乙兩人從4門課程中選修2門,則甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法有( ) A.6種 B.12種 C.24種 D.30種,【解析】選C.分步完成,首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門,有4種方法,其次是甲從剩下的3門課程中任選1門,有3種方法,最后乙從剩下的2門課程中任選1門,有2種方法.于是,甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2=24(種).,(2)(2015·成都模擬)某城市有3個演習點同時進行消防演習,現將4個消防隊分配到這3個演習點,若每個演習點至少安排1個消防隊,則不同的分配方案種數為( ) A.12 B.36 C.72 D.108,【解析】選B.先從4個消防隊中選出2個作為一個整體,有 種選法; 再將三個整體進行全排列,有 種方法;根據分步乘法計數原理得不 同的分配方案種數為 =36.,(3)(2015·長春模擬)直線Ax+By=0,若從集合E={0,1,3,5,7,8}中每次取出兩個不同的數作為A,B的值,則可表示 條不同的直線. 【解析】若A或B中有一個為零時,有2條;若AB≠0時,有5×4=20條,由分類加法計數原理可知:共有2+20=22條不同的直線. 答案:22,考點1 分類加法計數原理 【典例1】(1)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解的有序數對(a,b)的個數為( ) A.14 B.13 C.12 D.9 (2)三邊長均為正整數,且最大邊長為11的三角形的個數是 . 【解題提示】(1)方程ax2+2x+b=0可能是一次方程,也可能是二次方程. (2)構成三角形的條件為兩邊之和大于第三邊.,【規(guī)范解答】(1)選B.由于a,b∈{-1,0,1,2}, ①當a=0時,有x=- 為實根,則b可取-1,0,1,2,有4種可能; ②當a≠0時,方程有實根, 所以Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.(*) 當a=-1時,滿足(*)式的b可取-1,0,1,2,有4種可能. 當a=1時,b可取-1,0,1,有3種可能. 當a=2時,b可取-1,0,有2種可能. 所以由分類加法計數原理,有序數對(a,b)共有4+4+3+2=13(個).,(2)另兩邊長用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨設1≤x≤y≤11,要構成三角形,必須x+y≥12.當y取11時,x可取1,2,3,…,11,有11個三角形;當y取10時,x可取2,3,…,10,有9個三角形;…;當y取6時,x只能取6,只有1個三角形. 所以所求三角形的個數為11+9+7+5+3+1=36. 答案:36,【易錯警示】解答本例題(1)有三點容易出錯: (1)將方程ax2+2x+b=0誤認為二次方程,沒有討論當a=0時的情況. (2)容易漏掉a與b相等的情況. (3)不能分清是分步還是分類,造成結論錯誤.,【互動探究】本題(2)條件不變,則構成鈍角三角形的個數是多少? 【解析】另兩邊長用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨設1≤x≤y≤11,要構成三角形,必須x+y≥12,由余弦定理可知:x2+y2-1120,滿足以上條件的x,y有:當y=10時,x可取2,3,4;當y=9時,x可取3,4,5,6;當y=8時,x可取4,5,6,7;當y=7時,x可取5,6,7;當y=6時,x可取6.由分類加法計數原理可知:共有3+4+4+3+1=15個.,【規(guī)律方法】 1.分類加法計數原理的實質 分類加法計數原理針對的是“分類”問題,完成一件事要分為若干類,各類的方法相互獨立,每類中的各種方法也相對獨立,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.,2.使用分類加法計數原理遵循的原則 有時分類的劃分標準有多個,但不論是以哪一個為標準,都應遵循“標準要明確,不重不漏”的原則. 提醒:對于分類問題所含類型較多時也可以考慮使用間接法.,【變式訓練】在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有 個. 【解析】分兩類:①有一條公共邊的三角形共有8×4=32(個);②有兩條公共邊的三角形共有8個.故共有32+8=40(個). 答案:40,【加固訓練】1.某學生去書店,發(fā)現3本好書,決定至少買其中1本,則購買方式共有( ) A.3種 B.6種 C.7種 D.9種 【解析】選C.分3類:買1本書,買2本書和買3本書,各類的購買方式依次有3種、3種和1種,故購買方式共有3+3+1=7(種).,2.若x,y∈N*,且x+y≤6,則有序數對(x,y)共有 個. 【解析】當x=1時,y可取的值為5,4,3,2,1,共5個; 當x=2時,y可取的值為4,3,2,1,共4個; 當x=3時,y可取的值為3,2,1,共3個; 當x=4時,y可取的值為2,1,共2個; 當x=5時,y可取的值為1,共1個; 由分類加法計數原理,不同的數對(x,y)共有5+4+3+2+1=15(個). 答案:15,考點2 分步乘法計數原理 【典例2】(1)教學大樓共有五層,每層均有兩個樓梯,由一層到五層的走法有( ) A.10種 B.25種 C.52種 D.24種 (2)用0,1,…,9十個數字,可以組成有重復數字的三位數的個數為 . 【解題提示】(1)從一層到五層可分步來完成,每一步有2種走法. (2)可用間接法來完成此事.,【規(guī)范解答】(1)選D.共分4步:一層到二層2種,二層到三層2種,三層到四層2種,四層到五層2種,一共有24種. (2)能夠組成三位數的個數是9×10×10=900,能夠組成無重復數字的三位數的個數是9×9×8=648,故能夠組成有重復數字的三位數的個數是900-648=252. 答案:252,【規(guī)律方法】 1.分步乘法計數原理的實質 分步乘法計數原理針對的是“分步”問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟相互依存,完成其中的任何一步都不能單獨完成該件事,只有當各個步驟都完成后,才算完成這件事.,2.使用分步乘法計數原理的關注點 (1)明確題目中的“完成這件事”是什么,確定完成這件事需要幾個步驟,且每步都是獨立的. (2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成,各步驟之間有一定的連續(xù)性,只有當所有步驟都完成了,整個事件才算完成,這是分步的基礎,也是關鍵.從計數上來看,各步的方法數的積就是完成事件的方法總數.,【變式訓練】1.(2015·臨沂模擬)如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成,我們稱這樣的圖案為L型(每次旋轉90°仍為L型圖案),那么在由4×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L型圖案的個數是( ) A.16 B.32 C.48 D.64,【解析】選C.每四個小方格(2×2型)中有L型圖案4個,共有2×2型小方格12個,所以共有L型圖案4×12=48(個).故選C.,2.從6個人中選4個人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽,要求每個城市至少有一人游覽,每人只游覽一個城市,且這6個人中,甲、乙兩人不去巴黎游覽,則不同的選擇方案共有 種. 【解析】分步完成此事,第一步選1人去巴黎有4種方法,第二步選1人去倫敦有5種方法,第三步選1人去悉尼有4種方法,第四步選1人去莫斯科有3種方法,由分步乘法計數原理可知:共有4×5×4×3=240(種). 答案:240,【加固訓練】1.設集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定義A*B= {(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},則A*B中元素的個數是( ) A.7 B.10 C.25 D.52 【解析】選B.由題意知本題是一個分步乘法計數原理,因為集合A= {-1,0,1},集合B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},所以x有2種取法,y有5種取法,所以根據分步乘法計數原理得2×5=10.,2.如圖,要給地圖A,B,C,D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種?,【解析】按地圖A,B,C,D四個區(qū)域依次分四步完成,第一步,m1=3種,第二步,m2=2種,第三步,m3=1種,第四步,m4=1種,所以根據分步乘法計數原理,得到不同的涂色方案共有N=3×2×1×1=6(種).,考點3 兩個計數原理的綜合應用 知·考情 利用兩個計數原理,求解有關實際問題,是高考考查兩個計數原理的一個重要考向,常與涂色問題、組數問題、排隊問題、種植問題等交匯考查,一般以選擇題、填空題的形式出現.,明·角度 命題角度1:涂色問題 【典例3】(2015·汕頭模擬)如圖,用6種不同的顏色把 圖中A,B,C,D四塊區(qū)域分開,若相鄰區(qū)域不能涂同一種 顏色,則不同的涂法共有( ) A.400種 B.460種 C.480種 D.496種,【解題提示】可按使用顏色的種數分類來完成此事. 【規(guī)范解答】選C.完成此事可能使用4種顏色,也可能使用3種顏色.當使用4種顏色時:從A開始,有6種方法,B有5種,C有4種,D有3種,完成此事共有6×5×4×3=360(種)方法;當使用3種顏色時:A,D使用同一種顏色,從A,D開始,有6種方法,B有5種,C有4種,完成此事共有6×5×4 =120(種)方法.由加法計數原理可知:不同涂法有360+120= 480(種).,命題角度2:重復元素的計數問題 【典例4】(2014·福建高考)用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球,而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是( ),A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 【解題提示】對于信息題,要善于運用邏輯思維去推導,同時明確材料給我們傳達的信息.,【規(guī)范解答】選A.因為無區(qū)別,所以取紅球的方法數為1+a+a2+a3+a4 +a5;因為藍球要都取出,或都不取出,所以方法為1+b5,因為黑球有區(qū)別,因此,取黑球的方法數為(1+c)5,所以所有取法數為(1+a+a2+a3+ a4+a5)(1+b5)(1+c)5.,悟·技法 利用兩個計數原理解決應用問題的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)確定是先分類后分步,還是先分步后分類. (3)弄清分步、分類的標準是什么. (4)利用兩個計數原理求解.,通·一類 1.(2015·銀川模擬)集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3, …,9},且P?Q.把滿足上述條件的一個有序整數對(x,y)作為一個點的坐標,則這樣的點的個數是( ) A.9 B.14 C.15 D.21 【解析】選B.當x=2時,x≠y,點的個數為1×7=7(個);當x≠2時,x=y,點的個數為7×1=7(個),則共有14個點.,2.(2015·張掖模擬)用6種不同顏色為如圖所示的廣 告牌著色,要求有公共邊界的區(qū)域不能用同一種顏色, 則共有 種不同的方法著色. 【解析】由分步乘法計數原理知:第一步,涂①區(qū)有6種方法;第二步,涂②區(qū)有5種方法;第三步,涂③區(qū)有4種方法;第四步,涂④區(qū)有4種方法.由分步乘法計數原理知,共有6×5×4×4=480種方法. 答案:480,3.(2015·鄭州模擬)用數字2,3組成四位數,且數字2,3至少都出現一次,這樣的四位數共有 個.(用數字作答) 【解析】數字2,3至少都出現一次,包括以下情況: “2”出現1次,共有4種方法,“3”出現3次,共有1種方法,共可組成4×1=4(個)四位數.,“2”出現2次,共有 =6種方法,“3”出現2次,共有1種方法,共可組成6×1=6(個)四位數. “2”出現3次,共有 =4種方法,“3”出現1次,共有1種方法,共可組成4×1=4(個)四位數. 綜上所述,共可組成4+6+4=14個四位數. 答案:14,巧思妙解10 巧用間接法求解計數問題 【典例】(2014·安徽高考)從正方體六個面的對角線中任取兩條作 為一對,其中所成的角為60°的共有( ) A.24對 B.30對 C.48對 D.60對 【常規(guī)解法】選C.與正方體的一個面上的一條對角線成60°角的對 角線有8條,故共有8對,正方體的12條面對角線共有96對,且每對均 重復計算一次,故共有 =48對.,【巧妙解法】選C.正方體的面對角線共有12條,兩條為一對, 共有12×11÷2=66對. 同一面上的對角線不滿足題意,對面的面對角線也不 滿足題意,一組平行平面共有6對不滿足題意的對角 線對數,不滿足題意的共有:3×6=18.從正方體六個 面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60°的共有: 66-18=48.,,【方法指導】 1.間接法的解題思路 (1)將問題所包含的所有情景一一列舉出來并得出其數值. (2)找出不合題設要求的情況. (3)刪除不合題意的部分,得出結論.,2.間接法的應用條件 “間接法”求解計數問題其應用條件是該問題包含兩種或兩種以上的情況,而要求計數的情況較復雜不易得出結論,而問題的反面(對立面)計數比較容易,此時可采用間接法求解.,【類題試解】高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參加社會 實踐,但去何工廠可自由選擇,甲工廠必須有班級要去,則不同的分配 方案有( ) A.16種 B.18種 C.37種 D.48種 【常規(guī)解法】選C.有一個班去甲工廠,其余兩個班去其他工廠, 共有 ·32=27種方法;有兩個班去甲工廠,另一個班去其他工廠,共有 3×3=9種方法;若三個班都去甲工廠,共有1種方法.由分類加法計數 原理知,共有27+9+1=37種方法.,【巧妙解法】選C.三個班去四個工廠不同的分配方案共43種,甲工廠沒有班級去的分配方案共33種,因此滿足條件的不同的分配方案共有43-33=37(種).,