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第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)函數的奇偶性:,f(-x)=f(x),y軸,f(-x)=-f(x),原點,(2)周期性: ①周期函數:對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定 義域內的任何值時,都有____________,那么就稱函數y=f(x)為周期 函數,稱T為這個函數的周期. ②最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個_____的 正數,那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.,f(x+T)=f(x),最小,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)函數奇偶性常用結論: ①如果函數f(x)是偶函數,那么f(x)=f(|x|). ②奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性;偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性. ③在公共定義內有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.,(2)函數周期性常用結論: 對f(x)定義域內任一自變量的值x: ①若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a0); ②若f(x+a)= ,則T=2a(a0); ③若f(x+a)= ,則T=2a(a0).,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:判斷函數奇偶性的方法,應用函數奇偶性、周期性的方法. (2)數學思想:數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)函數具備奇偶性的必要條件是函數的定義域在x軸上是關于坐標原點對稱的.( ) (2)若函數f(x)為奇函數,則一定有f(0)=0.( ) (3)若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)關于直線x=a對稱.( ) (4)若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)關于點(b,0)中心對稱.( ),【解析】(1)正確.根據函數奇偶性的定義,f(x),f(-x)必須同時有意 義,故具備奇偶性的函數首先其定義域關于坐標原點對稱,但定義域 關于坐標原點對稱的函數未必具有奇偶性. (2)錯誤.若函數f(x)在點x=0處沒有定義,如f(x)= ,則f(0)不存在.,(3)正確.函數y=f(x+a)關于直線x=0對稱,則函數y=f(x)關于直線x=a對稱. (4)正確.函數y=f(x+b)關于點(0,0)中心對稱,則函數y=f(x)關于點(b,0)中心對稱. 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修1P39B組T3改編)若f(x)是偶函數且在(0,+∞)上為增函數,則函數f(x)在(-∞,0)上為 . 【解析】因為f(x)是偶函數,所以f(x)關于y軸對稱,又因為f(x)在(0,+∞)上為增函數,結合圖象可知,函數f(x)在(-∞,0)上為減函數. 答案:減函數,(2)(必修1P39A組T6改編)設函數f(x)是定義在R上的奇函數,若當x∈(0,+∞)時,f(x)=lg x,則滿足f(x)0的x的取值范圍是 . 【解析】如圖所示, 由f(x)為奇函數知:f(x)0的x的取值范圍為(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞),(3)(必修1P39A組T6改編)設f(x)是周期為2的奇函數,當0≤x≤1時, f(x)=2x(1-x),則 = . 【解析】依題意,得 答案:,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·湖南高考)下列函數中,既是偶函數又在區(qū)間(-∞,0) 上單調遞增的是( ) A.f(x)= B.f(x)=x2+1 C.f(x)=x3 D.f(x)=2-x,【解析】選A.,(2)(2015·石家莊模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數,且對任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2),則f(2014)等于( ) A.0 B.3 C.4 D.6,【解析】選A.因為f(x)是定義在R上的偶函數, 所以f(-2)=f(2). 所以f(-2+4)=f(2)=f(-2)+f(2)=2f(2), 所以f(2)=0. f(2014)=f(4×503+2)=f(2)=0.,(3)(2014·新課標全國卷Ⅱ)已知偶函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,f(2)=0,若f(x-1)0,則x的取值范圍是 . 【解析】由題可知,當-20,f(x-1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個單位得到的,若f(x-1)0,則-1x3. 答案:(-1,3),考點1 函數奇偶性的判斷 【典例1】(1)(2014·廣東高考)下列函數為奇函數的是( ) (本題源于教材必修1P35例5) A.2x- B.x3sin x C.2cos x+1 D.x2+2x,(2)判斷下列函數的奇偶性 ①f(x)=|x+1|-|x-1|； ②f(x)= ③f(x)= ④f(x)=(x-1) ，x∈(-1,1).,【解題提示】(1)奇函數滿足函數關系式f(-x)=-f(x).當在原點處有定義時,f(0)=0. (2)先求出定義域,看定義域是否關于原點對稱,在定義域內,解析式帶絕對值號的先化簡,計算f(-x),再判斷f(-x)與f(x)之間的關系.,【規(guī)范解答】(1)選A.幾個函數的定義域都關于原點對稱,在原點處有 定義,故應滿足f(0)=0,此時2cos x+1和x2+2x不符合題意;又2x- 滿 足f(-x)=-f(x),但x3sin x滿足f(-x)=f(x),所以只有f(x)=2x- 是 奇函數.,(2)①函數的定義域x∈(-∞,+∞),關于原點對稱. 因為f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), 所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函數. ②由 得x=±3. 所以f(x)的定義域為{-3,3},關于原點對稱. 又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即f(x)=±f(-x). 所以f(x)既是奇函數,又是偶函數.,③去掉絕對值符號,根據定義判斷. 由 得 故f(x)的定義域為[-1,0)∪(0,1],關于原點對稱,且有x+20.從而有 f(x)= 這時有f(-x)= =-f(x), 故f(x)是奇函數.,④已知f(x)的定義域為(-1,1), 其定義域關于原點對稱. 因為f(x)= 所以f(-x)= =f(x). 即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數.,【易錯警示】解答本題(2)有三點容易出錯: (1)忽視函數的定義域. (2)對函數奇偶性概念把握不準. (3)存在既是奇函數,又是偶函數的情形,對②不知如何判斷.,【互動探究】本例(2)④題中若將條件“x∈(-1,1)”去掉,函數的奇 偶性如何? 【解析】要使f(x)有意義,則 ≥0,解得-1≤x1,顯然f(x)的定 義域不關于原點對稱,所以f(x)既不是奇函數,也不是偶函數.,【規(guī)律方法】判斷函數的奇偶性的兩種重要方法 (1)定義法: (2)圖象法:函數是奇(偶)函數的充要條件是它的圖象關于原點(y軸)對稱.,【變式訓練】下列函數: ①f(x)=x3-x; ②f(x)=ln(x+ ); ③f(x)= (a0且a≠1); ④f(x)= ⑤f(x)= 其中有 個奇函數.,【解析】①f(x)=x3-x的定義域為R, 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 所以f(x)=x3-x是奇函數. ②由x+ x+|x|≥0知f(x)=ln(x+ )的定義域為R, 又f(-x)= =-ln(x+ )=-f(x),所以f(x)為奇函數.,③f(x)定義域為R,且f(-x)= =-f(x), 所以f(x)為奇函數. ④由 0得-1x1, f(x)=lg 的定義域為(-1,1), 又f(-x)= 所以f(x)為奇函數.,⑤函數f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),其關于原點對稱,并且有當x0時,-x0, f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=f(x), 所以函數f(x)為偶函數.所以①②③④⑤中共有4個奇函數. 答案:4,【加固訓練】1.設Q為有理數集,函數f(x)= g(x)= ,則函數h(x)=f(x)·g(x)( ) A.是奇函數但不是偶函數 B.是偶函數但不是奇函數 C.既是奇函數也是偶函數 D.既不是偶函數也不是奇函數,【解析】選A.因為當x∈Q時,-x∈Q, 所以f(-x)=f(x)=1;當x∈?RQ時,-x∈?RQ, 所以f(-x)=f(x)=-1. 綜上,對任意x∈R,都有f(-x)=f(x), 故函數f(x)為偶函數. 因為g(-x)= 所以函數g(x)為奇函數.,所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)·[-g(x)] =-f(x)g(x)=-h(x), 所以函數h(x)=f(x)·g(x)是奇函數. 所以h(1)=f(1)·g(1)= ,h(-1)=f(-1)·g(-1)= 1× h(-1)≠h(1), 所以函數h(x)不是偶函數.,2.函數f(x)的定義域為R,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數,則( ) A.f(x)是偶函數 B.f(x)是奇函數 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數,【解析】選D.f(x+1)是奇函數,則有f(-x+1)=-f(x+1); ① f(x-1)是奇函數,則有f(-x-1)=-f(x-1); ② 在①式中用x+1代替x,則有f[-(x+1)+1]=-f[(x+1)+1], 即f(-x)=-f(x+2); 在②式中用x-1代替x,則有f[-(x-1)-1]=-f[(x-1)-1], 即f(-x)=-f(x-2),,則f(x-2)=f(x+2),可知周期為4, 則f(x-1)=f(x+3),f(-x-1)=f(-x+3). 由②式:f(-x-1)=-f(x-1),可得f(-x+3)=-f(x+3), 所以f(x+3)是奇函數.,考點2 函數周期性及其應用 【典例2】(1)(2015·南陽模擬)函數f(x)是周期為4的偶函數,當 x∈[0,2]時,f(x)=x-1,則不等式xf(x)0在[-1,3]上的解集為( ) A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1) (2)(2014·四川高考)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數,當x∈ [-1,1)時,f(x)= 則 = .,【解題提示】(1)根據函數的周期性、奇偶性及在x∈[0,2]上的解析 式畫出函數的圖象,結合函數圖象求解. (2)利用周期得 再求值即得.,【規(guī)范解答】(1)選C.f(x)的圖象如圖. 當x∈[-1,0)時,由xf(x)0得x∈(-1,0); 當x∈[0,1)時,由xf(x)0得x∈?. 當x∈[1,3]時,由xf(x)0得x∈(1,3). 故x∈(-1,0)∪(1,3).,(2)因為函數f(x)是定義在R上的周期為2的函數， 所以 答案：1,【規(guī)律方法】函數周期性的判定與應用 (1)判定:判斷函數的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數,且周期為T. (2)應用:根據函數的周期性,可以由函數局部的性質得到函數的整體性質,在解決具體問題時,要注意結論:若T是函數的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期.,【變式訓練】(2015·南京模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數,并 且f(x+2)= ,當2≤x≤3時,f(x)=x,則f(105.5)= . 【解析】由已知,可得f(x+4)=f((x+2)+2) 故函數的周期為4. 所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).,因為2.5∈[2,3],由題意,得f(2.5)=2.5. 所以f(105.5)=2.5. 答案:2.5,【加固訓練】1.若f(x)是R上周期為5的奇函數,且滿足f(1)=1,f(2)=2,則f(3)-f(4)等于( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【解析】選A.由f(x)是R上周期為5的奇函數知 f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, 所以f(3)-f(4)=-1.,2.定義在R上的函數f(x)滿足f(x+6)=f(x),當-3≤x-1時,f(x)= -(x+2)2;當-1≤x3時,f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)等 于( ) A.335 B.336 C.1678 D.2012,【解析】選B.因為f(x+6)=f(x),所以f(x)是以6為周期的函數. 因為當-3≤x-1時,f(x)=-(x+2)2; 當-1≤x3時,f(x)=x, 所以f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0,,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1, 所以f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=… =f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1, 所以f(1)+f(2)+…+f(2010)=1× =335. 而f(2011)+f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+2-1+0-1=1. 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=335+1=336.,3.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+2)·f(x)=1對于x∈R恒成立, 且f(x)0,則f(119)= . 【解析】因為f(x+2)= ,所以f(x+4)=f(x+2+2)= =f(x), 所以f(x)為周期函數,且周期為4, 又因為f(x)為偶函數,所以f(-x)=f(x),所以f(119)=f(29×4+3)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1),,又因為f(-1+2)= 所以f(1)·f(-1)=1 即f2(1)=1,因為f(x)0, 所以f(1)=1,所以f(119)=1. 答案:1,考點3 函數奇偶性的應用 知·考情 函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質,在高考中常常將它們綜合在一起命制試題,其中奇偶性多與單調性相結合,而周期性常與抽象函數相結合,并以結合奇偶性求函數值為主.多以選擇題、填空題形式出現.,明·角度 命題角度1:已知函數的奇偶性求函數的值 【典例3】(2014·湖南高考)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶 函數和奇函數,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解題提示】由奇函數和偶函數的定義,把x=-1代入即可. 【規(guī)范解答】選C.把x=-1代入已知,得f(-1)-g(-1)=1, 所以f(1)+g(1)=1.,命題角度2:奇函數、偶函數圖象對稱性的應用 【典例4】(2015·杭州模擬)已知定義在R上的奇函數f(x)和偶函數 g(x),當x0時,f(x)=- ,當x≥0時,g(x)=2x,則f(x)和g(x)圖象的公 共點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解題提示】根據奇函數、偶函數圖象的對稱性分別作出f(x)與g(x)的圖象,數形結合求解. 【規(guī)范解答】選B.根據奇函數、偶函數圖象的對稱性分別作出f(x)與g(x)的圖象如圖所示, 由圖象知公共點在第二象限.,命題角度3:已知函數的奇偶性,求參數 【典例5】(2014·湖南高考)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數,則a= . 【解題提示】利用偶函數的定義求解.,【規(guī)范解答】方法一:由偶函數的定義得f(-x)=f(x), 即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,-3x=2ax, a= 方法二:因為函數f(x)為偶函數,所以f(1)=f(-1), 即ln(e3+1)+a=ln(e-3+1)-a, 即2a= =ln e-3=-3,所以a= 答案:,悟·技法 函數奇偶性的問題類型及解題思路 (1)已知函數的奇偶性,求函數值:將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解. (2)已知函數的奇偶性,求函數解析式中參數的值,常常利用待定系數法:利用f(x)±f(-x)=0得到關于待求參數的恒等式,由系數的對等性得參數的值或方程求解.,(3)應用奇偶性畫圖象和判斷單調性:利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一對稱區(qū)間上的單調性.,通·一類 1.(2015·福州模擬)已知f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,且f(-1) +g(1)=2,f(1)+g(-1)=4.則g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】選B.由已知條件變形得 解得g(1)=3.,2.(2015·西安模擬)設f(x)= 是奇函數且在原點處有定義, 則使f(x)0的x的取值范圍是( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞),【解析】選A.因為函數f(x)= 為奇函數,且在x=0處有定義, 故f(0)=0, 即lg(2+a)=0,所以a=-1. 故函數f(x)= 令f(x)0,得0 1,解得-1x0, 即x∈(-1,0).,3.(2015·煙臺模擬)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且對任意 的x∈R,都有f(x+2)=f(x).當0≤x≤1時,f(x)=x2.若直線y=x+a與函 數y=f(x)的圖象在[0,2]內恰有兩個不同的公共點,則實數a的值是 ( ) A.0 B.0或- C.- 或- D.0或-,【解析】選D.因為f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為2. 又0≤x≤1時,f(x)=x2,可畫出函數y=f(x)在一個周期內的圖象如圖. 顯然a=0時,y=x與y=f(x)在[0,2]內恰有兩個不同的公共點.,另當直線y=x+a與y=x2(0≤x≤1)相切時也恰有兩個不同公共點,由題 意知y′=(x2)′=2x=1,所以x= 所以A 又A點在y=x+a上,所以a= 綜上可知a=0或,4.(2015·邯鄲模擬)若f(x)是奇函數,且在(0,+∞)內是增函數,又 有f(-3)=0,則xf(x)0的解集是 . 【解析】由題意可得,函數f(x)在(-∞,0)上是增函數,且f(-3)= -f(3)=0,函數的單調性示意圖如圖所示, 由不等式xf(x)0可得,x與f(x)的符號相 反,結合函數f(x)的圖象可得,不等式的解 集為(-3,0)∪(0,3). 答案:(-3,0)∪(0,3),巧思妙解1 妙用奇偶性求函數解析式中的參數值 【典例】(2015·金華模擬)若函數f(x)= 為奇函數, 則a=( ),【常規(guī)解法】選A.因為f(x)是奇函數，所以f(-x)=-f(x)， 因為f(x)= 所以 所以-(1-2a)=1-2a，所以1-2a=0，所以a=,【巧妙解法】選A.方法一:由已知f(x)為奇函數, 得f(-1)=-f(1)， 即 所以a+1=3(1-a)，解得a=,,方法二：因為 f(x)的分子是奇函數， 所以要使f(x)為奇函數， 則它的分母必為偶函數， 所以1-2a=0，所以a= 方法三：因為 f(x)為奇函數，且 不在f(x)的定義域內， 故 也不在f(x)的定義域內， 所以 -a=0，所以a=,,,【方法指導】利用函數的奇偶性求參數的思路:利用函數的奇偶性的定義轉化為f(-x)=±f(x),建立方程,使問題得到解決,但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩,為了使解題更快,可采用特殊值法求解.,【類題試解】(2015·煙臺模擬)已知定義域為R的函數f(x)= 是奇函數,則a= ,b= .,【常規(guī)解法】因為f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x), 又f(x)= 所以 即 左、右對照得a=2,b=1. 答案:2 1,【巧妙解法】由f(0)=0,得b=1,再由f(-1)=-f(1),得 解得a=2. 答案:2 1,