《《機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)》課件第1章》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)》課件第1章（106頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 一 章 信 號 及 描 述第 一 節(jié) 信 號 的 分 類 與 描 述第 三 節(jié) 瞬 變 非 周 期 信 號 與 連 續(xù) 頻 譜第 二 節(jié) 周 期 信 號 與 離 散 頻 譜 1 第 一 節(jié) 信 號 的 分 類 與 描 述 概 述 信 號 的 分 類 信 號 的 時 域 和 頻 域 描 述 2 交 通 信 號 燈 信 息信 號 信 息 的 載 體 是 光 信 號紅 燈亮黃 燈亮綠 燈亮 停 止通 行注 意一 、 概 述 3 信 號 的 定 義 ： 物 理 角 度 ， 數(shù) 學(xué) 角 度 ， 工 程 角 度 。信 號 就 是 承 載 某 種 或 某 些 信 息 的 物 理 量 的 變 化 歷 程

2、。信 號 就 是 函 數(shù) ， 就 是 某 一 變 量 隨 時 間 或 頻 率 或 其 他 變量 而 變 化 的 函 數(shù) 。信 號 表 現(xiàn) 為 一 組 數(shù) 據(jù) 或 波 形 ， 這 組 數(shù) 據(jù) 通 常 是 由 某 一檢 測 儀 器 ， 如 傳 感 器 ， 從 某 一 物 理 系 統(tǒng) 上 檢 測 得 到 的 ，以 數(shù) 據(jù) 的 形 式 記 錄 在 紙 上 ， 或 存 儲 在 某 種 磁 性 介 質(zhì) 上 ，或 以 波 形 形 式 顯 示 在 儀 器 的 顯 示 屏 上 。 4 簡 諧 振 動 信 號 測 試 系 統(tǒng) 結(jié) 構(gòu) 框 圖 5 n 如 心 電 圖 ， 就 是 利 用 儀 器 從 人 體 上 獲

3、得 的 心 臟 跳動 的 數(shù) 據(jù) ， 通 常 顯 示 在 儀 器 上 供 醫(yī) 生 診 斷 之 用 ，或 記 錄 在 紙 上 作 為 病 人 病 例 記 錄 。 6 信 號 的 分 類 主 要 是 依 據(jù) 信 號 波 形 特 征 來 劃 分的 ， 在 介 紹 信 號 分 類 前 ， 先 建 立 信 號 波 形 的 概 念 。 信 號 波 形 ： 被 測 信 號 的 幅 度 隨 時 間 的 變 化 的 歷程 稱 為 信 號 波 形 。 信 號 波 形電 容 傳 聲 器齒 輪 嚙 合 振 動二 、 信 號 的 分 類 9 常 見 標(biāo) 準(zhǔn) 信 號 波 形0 10 信 號 波 形 圖 ： 用 被 測 物

4、 理 量 的 強 度 作 為 縱 坐 標(biāo) ，用 時 間 做 橫 坐 標(biāo) ， 記 錄 被 測 物 理 量 隨 時 間 的 變 化 情況 。 11 為 深 入 了 解 信 號 的 物 理 實 質(zhì) ， 將 其 進 行 分 類 研 究是 非 常 必 要 的 ， 從 不 同 角 度 觀 察 信 號 ， 可 分 為 ：n從 信 號 描 述 上 ： 確 定 性 信 號 與 非 確 定 性 信 號 ；n從 信 號 幅 值 和 能 量 ： 能 量 信 號 與 功 率 信 號 ；n從 分 析 域 ： 時 域 與 頻 域 ；n從 連 續(xù) 性 ： 連 續(xù) 時 間 信 號 與 離 散 時 間 信 號 ；n從 可 實 現(xiàn)

5、 性 ： 物 理 可 實 現(xiàn) 信 號 與 物 理 不 可實 現(xiàn) 信 號 。 12 1 、 確 定 性 信 號 與 非 確 定 性 信 號 可 以 用 明 確 數(shù) 學(xué) 關(guān) 系 式 描 述 的 信 號 稱 為 確 定 性 信 號 。 不 能 用 數(shù) 學(xué) 關(guān) 系 式 描 述 的 信 號 稱 為 非 確 定 性 信 號 。信 號 非 確 定 性 信 號確 定 性 信 號 非 平 穩(wěn) 隨 機 信 號平 穩(wěn) 隨 機 信 號非 周 期 信 號周 期 信 號 簡 單 周 期 信 號一 般 周 期 信 號準(zhǔn) 周 期 信 號瞬 態(tài) 信 號 13 周 期 信 號 ： 按 一 定 時 間 間 隔 周 而 復(fù) 始 出

6、現(xiàn) 的 信 號 x ( t ) = x ( t + nT ) 簡 單 周 期 信 號一 般 周 期 信 號 14 00sin tmkXtx 諧 波 信 號頻 率 單 一 的 正 弦 或 余 弦 信 號 。簡 單 周 期 信 號 ： 信 號 的“ 波 形 ”15 +=x1(t)=A1Sin(1t+1) =A1Sin(21t+1) =10Sin(23t+/6) x2(t)=A2Sin(2t+2) =A2Sin(2 2t+2) =5Sin(22t+/3) x3(t)=10Sin(23t+/6) +5Sin(22t+/3) += 由 多 個 乃 至 無 窮 多 個 頻 率 成 分 疊 加 而 成 ，疊

7、 加 后 存 在 公 共 周 期 的 信 號一 般 周 期 信 號 : 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10-50510 (a)mm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-505 (b)mm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10010 (c)mm t t t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10-50510mm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5 0 5 (b) mm t t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10 -5 0 5 10 (a) mm t16 周 期 性 三 角 波 周 期 性 方 波 17 b) 非 周 期 信 號 ： 再 不 會 重 復(fù)

8、 出 現(xiàn) 的 信 號 。 準(zhǔn) 周 期 信 號 :由 多 個 周 期 信 號 合 成 ， 其 中 至 少 有 一 對 頻 率比 不 是 有 理 數(shù) 。 )3sin( )2sin()( 22 11 tA tAtx 18 瞬 態(tài) 信 號 :在 有 限 時 間 段 內(nèi) 存 在 ， 或 隨 著 時 間 的 增 加 而 幅 值衰 減 至 零 的 信 號 。 00 sin tmkxetx t 0 19 (a)錘 擊 物 體 的 力 信 號 (b)T段 為 汽 車 加 速 過 程 信 號(c)半 個 正 弦 信 號 (d)矩 形 窗 信 號 20 c)非 確 定 性 信 號 ： 不 能 用 數(shù) 學(xué) 式 描 述

9、 ， 其 幅 值 、 相 位 變 化不 可 預(yù) 知 ， 所 描 述 物 理 現(xiàn) 象 是 一 種 隨 機 過 程 。 平 穩(wěn) 與 非 平 穩(wěn)噪 聲 信 號 (平 穩(wěn) )噪 聲 信 號 (非 平 穩(wěn) ) 統(tǒng) 計 特 性 變 異 21 )( )( )( )( 均 離 散信 號 的 幅 值 和 獨 立 變 量數(shù) 字 信 號 獨 立 變 量 離 散一 般 離 散 信 號離 散 信 號 獨 立 變 量 連 續(xù)一 般 連 續(xù) 信 號 均 連 續(xù)信 號 的 幅 值 與 獨 立 變 量模 擬 信 號連 續(xù) 信 號信 號2.連 續(xù) 信 號 與 離 散 信 號時 間 幅 值連 續(xù)離 散 被 采 樣 信 號模 擬 信

10、 號連 續(xù) 離 散量 化 信 號數(shù) 字 信 號 22 (a)汽 車 速 度 連 續(xù) 信 號 (b)開 水 房 鍋 爐 水 溫 度 的 變化 連 續(xù) 信 號 23 (c)每 日 股 市 的 指 數(shù) 變 化 （ 離 散 信 號 ） (d)某 地 每 日 的 平 均 氣 溫 變 化（ 離 散 信 號 ）(e)每 隔 5分 鐘 測 定 開 水 房 鍋爐 水 的 溫 度 變 化 （ 離 散 信 號 ） (f)每 隔 2微 妙 對 正 弦 信 號 采 樣 獲得 的 離 散 信 號 24 3.能 量 信 號 與 功 率 信 號 a)能 量 信 號 當(dāng) 信 號 x(t)在 所 分 析 的 區(qū) 間 （ -， ）

11、 ， 能 量 為 有 限值 的 信 號 稱 為 能 量 信 號 ， 滿 足 條 件 ： 一 般 持 續(xù) 時 間 有 限 的 瞬 態(tài) 信 號 是 能 量 信 號 。 dttx )(2 25 b)功 率 信 號 當(dāng) 信 號 x(t)在 所 分 析 的 區(qū) 間 （ -， ） ， 能 量。 此 時 ， 在 有 限 區(qū) 間 (t1,t2)內(nèi) 的 平 均 功 率 是 有 限 的 。一 般 持 續(xù) 時 間 無 限 的 信 號 都 屬 于 功 率 信 號 。噪 聲 信 號一 般 周 期 信 號 dttx )(2 21 )(1 212 tt dttxtt 26 )3102sin(10)2sin()sin()(

12、0000 tftAtAtxl信 號 的 時 域 描 述 ： 以時 間 為 獨 立 變 量 ， 其 強調(diào) 信 號 的 幅 值 隨 時 間 變化 的 特 征 。 l信 號 的 頻 域 描 述 ： 以 角頻 率 或 頻 率 為 獨 立 變 量 ，其 強 調(diào) 信 號 的 幅 值 和 相位 隨 頻 率 變 化 的 特 征 。三 、 信 號 的 時 域 和 頻 域 描 述 信 號 的 “ 域 ”時 域 頻 域 27 02 20)( )()( 0 00 tTA TtAtx nTtxtx時 域 描 述 ： 直 接 觀 測 或 記 錄 到 的 信 號 ， 以 時間 為 獨 立 變 量 的 ， 稱 其 為 信 號

13、 的 時 域 描 述 。 28 頻 域 描 述 ： 以 頻 率 作 為 變 量 的 ， 稱 其 為 信 號 的 頻 域描 述 。 周 期 信 號 的 頻 域 描 述 29 第 二 節(jié) 周 期 信 號 與 離 散 頻 譜傅 立 葉 級 數(shù) 三 角 展 開傅 立 葉 級 數(shù) 復(fù) 指 數(shù) 展 開 30 時 域 分 析 反 映 信 號 的 幅 值 隨 時 間 的 變 化 情 況 ，頻 域 分 析 反 映 信 號 的 頻 率 組 成 和 各 頻 率 分 量 大 小 。 圖 例 ： 受 噪 聲 干 擾 的 多 頻 率 成 分 信 號 31 信 號 頻 域 分 析 是 采 用 傅 立 葉 變 換 將 時 域

14、 信 號 x(t)變換 為 頻 域 信 號 X(f)， 從 另 一 個 角 度 來 了 解 信 號 的 特 征 。 8563A SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz 傅 里 葉變 換一 . 周 期 信 號 的 頻 譜 分 析 傅 立 葉 級 數(shù) 三 角 展 開 32 時 間幅 值 頻 率時 域 分 析 頻 域 分 析 信 號 的 頻 譜 X(f)代 表 了 信 號 在 不同 頻 率 分 量 處 信號 成 分 的 大 小 ，它 能 夠 提 供 比 時域 信 號 波 形 更 直觀 ， 豐 富 的 信 息 。 u時 域 分 析 與 頻 域 分 析 的 關(guān) 系譜 線 3

15、3 在 有 限 區(qū) 間 上 ， 一 個 周 期 信 號 x（ t） 當(dāng) 滿 足狄 里 赫 利 條 件 時 可 展 開 正 交 函 數(shù) 線 性 組 合 的 無 窮級 數(shù) ， 如 三 角 函 數(shù) 集 的 傅 里 葉 級 數(shù) 。式 中 ，T周 期 ， 0基 波 圓 頻 率 ， 。 v 注 意 ： an是 n或 n 0的 偶 函 數(shù) ， a-n=an；v bn是 n或 n 0的 奇 函 數(shù) ， b-n=-bn 。 0 0 01( ) ( cos sin )n nnx t a a n t b n t 2/ 2/ 0cos)(2 TTn tdtntxTa 2/ 2/ 0sin)(2 TTn tdtntxT

16、b / 20 / 21 ( )TTa x t d tT 02 /T 狄 里 赫 利 條 件 :（ 1） 函 數(shù) 在 一 周 期 內(nèi) 極 大 值 與 極 小 值 為 有 限 個 。（ 2） 函 數(shù) 在 一 周 期 內(nèi) 間 斷 點 為 有 限 個 。（ 3） 在 一 周 期 內(nèi) 函 數(shù) 絕 對 值 積 分 為 有 限 值 。 dttf T0 )(即 信 號 x（ t） 的 另 一 種 形 式 的 傅 里 葉 級 數(shù) 表 達 式 ： 式 中 ， An稱 信 號 頻 率 成 分 的 幅 值 ， n稱 初 相 角 。v注 意 ： An是 n或 n 0的 偶 函 數(shù) ， A-n=An；v bn是 n或 n

17、 0的 奇 函 數(shù) ， -n=- n 。v 并 可 知 ： 0 01( ) cos( )n nnx t a A n t )( 22 nnn nnn abarctg baA n 1,2, nnn nnn Ab Aa sincos n 1,2, 小 結(jié) 與 討 論 式 中 第 一 項 a0為 周 期 信 號 中 的 常 值 或 直 流分 量 ； 從 第 二 項 依 次 向 下 分 別 稱 信 號 的 基 波 或 一次 諧 波 、 二 次 諧 波 、 三 次 諧 波 、 、 n次 諧 波 ； 將 信 號 的 角 頻 率 0作 為 橫 坐 標(biāo) ， 可 分 別 畫出 信 號 幅 值 An和 相 角 n隨

18、 頻 率 0變 化 的圖 形 ， 分 別 稱 之 為 信 號 的 幅 頻 譜 和 相 頻 譜圖 。 例 1 求 圖 所 示 的 周 期 方 波 信 號 x（ t） 的 傅 里 葉 級 數(shù)及 其 頻 譜 。解 ： 信 號 x（ t） 在 它 的 一 個 周 期 中 的 表 達 式 為 ： 有 ： 圖 周 期 方 波 信 號 20,1 02,1)( Tt tTtx 2/ 2/ 0 0cos)(2 TTn tdtntxTa 注 意 ： 本 例 中 x(t)為 一 奇 函 數(shù) ， 而 cosn 0t為 偶 函 數(shù) ， 兩者 的 積 x(t)cosn 0t也 為 奇 函 數(shù) ， 而 一 個 奇 函 數(shù)

19、在 上 、 下限 對 稱 區(qū) 間 上 的 積 分 值 等 于 零 。 ;sin)( ;cos)( ;)(2/ 2/ 02 2/ 2/ 02 2/ 2/10 000 000 000 TTTn TTTn TTT tdtntxb tdtntxa dttxa 可 得 周 期 方 波 信 號 的 傅里 葉 級 數(shù) 表 達 式 為 ： 6,4,2,0 ,5,3,1,4 cos12 )cos(1cos12 sinsin)1(2 sin)(2 2/0000 2/00 2/0 00 2/ 02/ 2/ 0nnn nn tnntnnT tdtntdtnT tdtntxTb TT TTTTn )5sin513sin

20、31(sin4)( 000 ttttx 周 期 方 波 信 號 的 頻 譜 圖 ;sin)( ;cos)( ;)(2/ 2/ 02 2/ 2/ 02 2/ 2/10 000 000 000 TTTn TTTn TTT tdtntxb tdtntxa dttxa 周 期 函 數(shù) 的 奇 偶 特 性 若 周 期 函 數(shù) x(t)為 奇 函 數(shù) ， 即 x(t)=-x(-t) 0 /24 000;0; ( )sin ;n Tn Taab x t n tdt 1 000 sincos)( n nn tnbtnaatx 1 0sin)( n n tnbtx 1 00 cos)( n n tnaatx 若

21、 周 期 函 數(shù) x(t)偶 函 數(shù) ， 即 x(t)=x(-t) /220 0 /24 00 ( ) ;( )cos ;0 TT Tn Tna x t dta x t n tdtb ;sin)( ;cos)( ;)(2/ 2/ 02 2/ 2/ 02 2/ 2/10 000 000 000 TTTn TTTn TTT tdtntxb tdtntxa dttxa 40 )(tx 0 t A 20T 20T0T周 期 性 三 角 波 作 業(yè) :周 期 性 三 角 波 的 三 角 頻 譜 41 周 期 信 號頻 譜 特點 1、 由 于 為 整 數(shù) ， 各 頻 率 分 量 僅 在 的 頻 率 處 取

22、 值 ， 因而 得 到 的 是 關(guān) 于 幅 值 和 相 角 的 離 散 譜 線 2、 諸 分 量 頻 率 都 是 基 波 頻 率 的 整 數(shù) 倍 3、 各 頻 率 分 量 的 譜 線 高 度 表 示 該 諧 波 的 幅 值 和 相 位 角 ， 工 程上 常 見 的 信 號 ， 其 諧 波 幅 值 總 的 趨 勢 是 隨 諧 波 次 數(shù) 的 增 高 而減 小 的 。 n nA 0nn 42 1 00 01 00 )sin()( )sincos()( n nn nn n tnAatx tnbtnaatx 周 期 信 號 的 頻 譜 具 有 離 散 性 、 諧 波 性 和 收 斂 性 三 個 特 點

23、 。 n 歐 拉 公 式 )1(sincos 000 jtnjtne tjn )(21cos 000 tjntjn eetn )(2sin 000 tjntjn eejtn 10 )(2)(2 0000n tjntjnntjntjnn eebjeeaa 10 00 22n tjnnntjnnn ejbaejbaa 00 aC )(21 nnn jbaC )(21 nnn jbaC tjnn ntjnn n eCeCCtx 00 110)( 則那 么令 1 000 sincos)( n nn tnbtnaatx tjnn ntjnn ntjnn n eCeCeC 000 110 二 、 傅 里

24、葉 級 數(shù) 的 復(fù) 指 數(shù) 函 數(shù) 展 開 式 ： an是 n的 偶 函 數(shù) ， a-n=an；bn是 n的 奇 函 數(shù) ， b-n=-bn 。 即 ,2,1,0)( 0 neCtx tjnn n )(21 nnn jbaC 2/ 2/ 00 00 cos)(2 TTn tdtntxTa 2/ 2/ 00 0 0 sin)(2 TTn tdtntxTb 2/ 2/ 002/ 2/ 00 0000 sin)(2cos)(2212 TTTTnnn tdtntxTjtdtntxTjbaC 2/ 2/0 00 0)(1 TT tjnn dtetxTC 由 所 以即 2/ 2/ 000 00 sinco

25、s)(1 TT dttnjtntxT 44tnjtne tjn 00 sincos0 一 般 情 況 下 ， Cn是 復(fù) 數(shù) njnnInRn eCjCCC | 22 nInRn CCC nRnIn CCarctgCn與 C-n共 軛 *nn CC nn 把 周 期 函 數(shù) x(t)展 開 為 傅 立 葉 級 數(shù) 以 后 ， 作 關(guān) 系 圖 CnR0稱 為 實 頻 圖 CnI0稱 為 虛 頻 圖 |Cn|0稱 為 雙 邊 幅 頻 圖 ， n=-+， n=-+， n0稱 為 雙 邊 相 頻 圖 2/ 2/0 00 0)(1 TT tjnn dtetxTC 45 例 2:畫 出 正 弦 函 數(shù) s

26、in0t的 頻 譜 圖 。 0 nRC)(2sin 000 tjtj eejt ,2,1,0)( 0 neCtx tjnn n tjtjtjnn n ejejeCt 000 1)1(0 2121sin 在 0 處 ： 0nRC 21nIC 21nC 2 n0nRC 21nIC 21nC 2 n在 0 處 ： 2jCn 2jCn 46 一 般 周 期 函 數(shù) 實 頻 譜 總 是 偶 對 稱 的 ， 虛 頻 譜 總 是 奇 對 稱 的 。 實 頻 圖 虛 頻 圖雙 邊 幅 頻 圖雙 邊 相 頻 圖 單 邊 幅 頻 圖 47 )(21)(212cos2sin)( 0000 222200 tftftf

27、tf eeeejtftftx 21 nRC 21nIC22nC 4 n21 nRC 21nIC22nC 4 n 0f 處 ： 在 0f 處 ： 在 實 頻 圖 虛 頻 圖雙 邊 幅 頻 圖 雙 邊 相 頻 圖 0 02 ( ) 21 12 2f t f tj e j e （ 1 ） （ 1 ） 48 例 3： 畫 出 的 雙 邊 頻 譜 。)42sin(2)( 0 tftx 作 業(yè) .畫 出 x3(t)=10Sin(23t+/6) +5Sin(22t+/3)的 頻 譜 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -10 0 10 mm t 49 解 ： 有 圖 周 期 矩 形 脈 沖 0 0 00

28、 0 /2 /2/2 /2 /2/2/2 /2 0 00 0 0 00 0 1 1 1 1()sin sin sin1 2 22 2 2 0, 1, 2,2jn t jn jnT jn t jn tn T e e eC x t e dt e dtT T T jn T jnn n n nnT j jn T n T 由 于 0=2 /T， 代 入 上 式 得定 義則 上 式 變 為可 得 到 周 期 矩 形 脈 沖 信 號 的 傅 里 葉 級 數(shù) 展 開 式 為 ,2,1,0,sin nTn TnTC n sinsin ( )defc ,2,1,0,2sinsin 0 nncTTncTCn n t

29、jnn tjnn eTncTeCtx 00 sin)( 的 圖 像 : 52 sin)(sin C 周 期 矩 形 脈 沖 的 頻 譜 （ T=4） 信 號 的 脈 沖 寬 度 相 同 而 周 期 不 同 時 ， 其 頻 譜 變 化 情 形 ： 圖 信 號 周 期 與 頻 譜 的 關(guān) 系 傅 里 葉 變 換 傅 里 葉 變 換 的 主 要 性 質(zhì) 幾 種 典 型 信 號 的 頻 譜第 三 節(jié) 瞬 變 非 周 期 信 號 與 連 續(xù) 頻 譜 55 非周期信號 準(zhǔn) 周 期 信 號 信 號 中 各 簡 諧 成 分 的 頻 率 比 為 無 理 數(shù) 具 有 離 散 頻 譜瞬 變 信 號 在 一 定 時

30、間 區(qū) 間 內(nèi) 存 在 或 隨 時 間 的 增 長 衰 減 至 零 準(zhǔn) 周 期 信 號x(t)0 tx(t)0 t瞬 變 信 號 I 0 tx(t)瞬 變 信 號 IItAtAtx 31sin9sin)( ttx t sine)( 56 57 周 期 信 號 x(t)， 在 -T/2, T/2區(qū) 間 內(nèi) ,2,1,0)( 0 neCtx tjnn n 式 中 ，當(dāng) T時 ， 積 分 區(qū) 間 由 -T/2,T/2變 為 (-,)； 0lim ( ) j tnT C T x t e dt 0=2/T 0， 離 散 頻 率 n0連 續(xù) 變 量 。 一 .瞬 變 非 周 期 信 號 頻 譜 的 求 取

31、 方 法 0/2/21 ( )T jn tn TC x t e dtT 58 X()為 單 位 頻 寬 上 的 諧 波 幅 值 ， 具 有 “ 密 度 ” 的含 義 ， 故 把 X()稱 為 瞬 態(tài) 信 號 的 “ 頻 譜 密 度 函 數(shù) ” ，或 簡 稱 “ 頻 譜 函 數(shù) ” 。 0( ) lim lim nnT f CX C T f 一 般 為 復(fù) 數(shù) ， 用 X()表 示 為 ：X()稱 為 信 號 x(t)的 傅 立 葉 變 換 。 ( ) ( ) j tX x t e dt lim ( ) j tnT C T x t e dt 59 u傅 立 葉 逆 變 換 當(dāng) T時 ， 0=2/

32、T0 ， 0=d 離 散 頻 率 n0連 續(xù) 變 量 求 和 積 分 。 則 ： ,2,1,0)( 0 neCtx tjnn n 0 001( ) lim lim 2jn t jn tn nT Tn nx t TC e TC eT 1( ) ( )2 j tx t X e d x(t)為 X()的 傅 立 葉 逆 變 換 （ 反 變 換 ） ( ) ( ) j tX x t e dt 0/2/21 ( )T jn tn TC x t e dtT 周 期 信 號瞬 變 非 周 期 信 號 u傅 立 葉 變 換 對 由 于 =2 ( ) ( ) j tX x t e dt 1( ) ( )2 j

33、tx t X e d ( ) ( )FTIFTx t X 2( ) ( ) j ftX f x t e dt 2( ) ( ) j ftx t X f e df ( )( ) ( ) j fX f X f e 2 2( ) Re ( ) Im ( )Im ( )( ) Re ( )X f X f X fX ff arctg X f -f 連 續(xù) 幅 值 譜-f 連 續(xù) 相 位 譜 fX f 2 21 1( ) ( ) (2 ) 2 ( )2 2j t j ft j ftx t X e d X f e d f X f e df 61 矩 形 窗 函 數(shù) fTfTTeefj fTjfTj sin)

34、(21 2( ) ( ) j ftX f x t e dt 0 ( 2)( ) 1 ( 2 2)0 ( 2)R t Tw t T t Tt T 矩 形 窗 函 數(shù) 2( ) ( ) j ftR RW f w t e dt 22222 2 211 TTftjTT ftj efjdte )(sin fTCT 例 :矩 形 窗 函 數(shù) 的 頻 譜 f 62( )Rw t ( )Rw t 矩 形 窗 函 數(shù) 頻 譜( )RW f 例 ： 單 邊 指 數(shù) 衰 減 函 數(shù) 的 頻 譜 64 2( ) ( ) j ftX f x t e dt u周 期 和 非 周 期 信 號 幅 值 譜 的 區(qū) 別 |X

35、()|為 連 續(xù) 頻 譜 ， 而 |Cn|為 離 散 頻 譜 ； |Cn|的 量 綱 和 信 號 幅 值 的 量 綱 一 致 ， 即振 幅 ， 而 |X ()|的 量 綱 相 當(dāng) 于 |Cn|/， 為 單位 頻 寬 上 的 幅 值 ， 即 “ 頻 譜 密 度 函 數(shù) ” ，振 幅 /頻 率 （ 如 cm/Hz） 。 非 周 期 信 號 幅 值 譜 |X ()|與 周 期 信 號 幅 值 譜 |Cn|之 間 的 區(qū) 別 ： 65 二 .傅 立 葉 變 換 的 性 質(zhì) a.若 x(t)是 實 函 數(shù) a1.若 x(t)為 實 偶 函 數(shù) ， 則 ImX()=0， 而 X()是 實 偶 函 數(shù) ；

36、a2.若 x(t)為 實 奇 函 數(shù) ， 則 ReX()=0， 而 X()是 虛 奇 函 數(shù) ； b.若 x(t)是 虛 函 數(shù) b1.若 x(t)為 虛 偶 函 數(shù) ， 則 ReX()=0， 而 X()是 虛 偶 函 數(shù) ； b2.若 x(t)為 虛 奇 函 數(shù) ， 則 ImX()=0， 而 X()是 實 奇 函 數(shù) 。2( ) ( )( )cos2 ( )sin2( )+ ( )j fte mX f x t e dtx t ftdt j x t ftdtR X f jI X f 1.奇 偶 虛 實 性 66( )cos2 ( ) ( )sin2 ( )e mx t ftdt R X f j

37、 x t ftdt jI X f ( )cos2 ( ) ( )sin2 ( )m ex t ftdt jI X f j x t ftdt R X f 如 果 有 則 1 1( ) ( )x t X f 2 2( ) ( )x t X f1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )c x t c x t c X f c X f 2.線 性 疊 加 性證 明 2 1 1 2 22 21 1 2 21 1 2 2( ) ( )( ) ( )( ) ( ) j ftj ft j ftc x t c x t e dtc x t e dt c x t e dtc X f c X f 例

38、子 ： 求 下 圖 波 形 的 頻 譜+ X1(f)X2(f)用 線 性 疊 加 定 理 簡 化 3.對 稱 性 若 :(時 域 信 號 ) x(t) X() (頻 域 信 號 )， 則 X (t) x (-) 69 ( )X f( )X t TT2T 2T 1T 1T1T 1T 2T 2T 對 稱 性 ： X(t) x(-f )證 明 ： 互 換 t 和 f從 而 ： X(t) x(-f) ffXtx ftj de)()( 2 fefXtx ftd)()( 2j ttXfx ftj de)()( 2 70 2( ) ( ) j ftX f x t e dt 4.時 間 尺 度 改 變 特 性

39、 若 ， 則 對 于 實 常 數(shù) ， 有 71 () ( )xt X f 1( ) fx kt Xk k k 當(dāng) 時 域 尺 度 壓 縮 ( 1)時 ， 對 應(yīng) 的 頻 域 展 寬 且幅 頻 譜 譜 線 高 度 減 小 ； 當(dāng) 時 域 尺 度 展 寬 ( 1)， 則 信 號 的 頻 寬 壓 縮 k倍 ， 而 幅 值 變 為 原來 的 k倍 。 sin( )( )R fTW f T fTk=1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 0 1 2 3 t mm (a)窗函數(shù)頻譜圖(T=3) -10 -9 -8 -7 -6 -5

40、 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5 0 0.5 1 t mm (b)窗函數(shù)頻譜圖(T=1) -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 0 1 2 3 t mm (a)窗函數(shù)頻譜圖(T=3) -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5 0 0.5 1 t mm (b)窗函數(shù)頻譜圖(T=1) 7213k 時 間 尺 度 改 變 性 證 明 ： j2 j2 ( ) ( ) ( )e d1 1( ) d( ) ( )f

41、t f ktkF x kt x kt t fx kt e kt Xk k k 2j 2j1( ) ( )e d1 1( )e dfk fkF x kt xk fx Xk k k （ k 0）（ k 1， 變 化 速度 加 快 ） 等 效 于 在 頻 域 擴 展 （ 頻 帶 加 寬 ） ； 反 之 亦 然 。 73 5.時 移 性若 ， 則 在 時 域 中 信 號 沿 時 間 軸 平 移 一 常 值 t0（ 時移 ） ， 則 020( ) ( )j ftx t t e X f 對 應(yīng)如 果 信 號 在 時 域 中 延 遲 了 時 間 t0， 其 頻 譜 幅 值 不 會 改 變 ， 而相 頻 譜

42、中 各 次 諧 波 的 相 移 -2t0， 與 頻 率 成 正 比 。 74 ( ) ( )x t X f例 求 圖 所 示 矩 形 脈 沖 函 數(shù) 的 頻 譜 。解 ： 該 函 數(shù) 可 視 為 一 個 中 心 位 于 坐 標(biāo) 原 點 的 矩 形 脈 沖 時 移 至 t0點 位 置所 形 成 ， 則 其 傅 里 葉 變 換 及 幅 頻 譜 和 相 頻 譜 分 別 為 02( ) sin ( ) j ftX f T c fT e 00( ) sin ( )2 , sin ( ) 0( ) 2 , sin ( ) 0X f T c fTt f c fTf t f c fT 證 明 ： 若 t0為

43、常 數(shù) 則 時 移 結(jié) 果 只 改 變 信 號 的 相 頻 譜 ， 不 改 變 信 號 的 幅 頻 譜時 移 性 質(zhì) 02j0 e)()( ftfXttx 0 00 j20 0 j2 ( ) j20 0j2 ( ) ( )e d( )e e d( )( )e ft f t t ftftF x t t x t t tx t t t tX f 0j20 1 ( ) ( )e f tafF x at t Xa a 75 ( ) ( )x t X f 圖 x(t)cos 0t的 頻 譜 6.頻 移 性若 ， 在 頻 域 中 信 號 沿 頻 率 軸 平 移 一常 值 0（ 頻 移 ） ， 則 tfjet

44、xffX 020 )()( 證 明 ： 若 f0為 常 數(shù) 則 頻 移 性 質(zhì) 1 0 010 1 0 1 0 j20 1 0j2( )1 1j2j21 1 j2 j21 1j2 ( )( )e d ( )( )e d( )e e de ( )e de ( ) ftf f tf tf t f t f tf t F X f fX f f f f f fX f fX f fX f fx t 令 77 tfjetxffX 020 )()( 時 域 表 達 式例 :求 被 截 取 的 余 弦 信 號 的 頻 譜 函 數(shù) 000 |0 |cos)( Tt Ttttx 78 7.卷 積 定 理對 于 任

45、意 兩 個 函 數(shù) x1(t)和 x2(t)， 定 義 它 們 的 卷 積 為 ： dtxxtxtx )()()(*)( 2121若 x1(t) X1()， x2(t) X2()， 則1.兩 個 函 數(shù) 在 時 域 中 的 卷 積 ， 對 應(yīng) 于 頻 域 中 的 乘 積2.兩 個 函 數(shù) 在 時 域 中 的 乘 積 ， 對 應(yīng) 于 頻 域 中 的 卷 積 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2() 79 時 域 卷 積 特 性 證 明 對 于 x1(t)和 x2(t)， 定 義 它 們 的 卷 積 為 ： dtxxtxtx )()()(*)( 212

46、1若 x 1(t) X1()， x2(t) X2()， 則x1(t)* x2(t) X1()X2() )()( )()( )()( )()( )()()(*)( 21 221 2)(221 221 22121 fXfX defXx ddteetxx ddtetxx dtedtxxtxtxF fj fjtfj ftj ftj 801X（ f） 頻 域 卷 積 特 性 證 明 對 于 和 ， 定 義 它 們 的 卷 積 為 ： 1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )X f X f X X f d 若 x 1(t) X1()， x2(t) X2()， 則x1(t) x2(t) X1()*X2

47、() 1 21 2 1 2 21 2 2 ( ) 21 2 2 21 2 2 11 2( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) j ftj ftj f t j tj t j tF X f X f X X f d e dfX X f e df dX X f e e df dX x t e d x t X e dx t x t 81 1( )X f 2 ( )X f nn t txd )(d )(2j fXf n ffXtx ftde)()( 2j ffXfttx ftde)()2j(d )(d 2jd ( ) (j2 ) (

48、)dx tF f X ft d ( ) (j2 ) ( )dn nnx tF f X ft 8.微 分 特 性 ： 證 明 ：同 理 ： 82 83 84 能 量 信 號 和 功 率 信 號 n 能 量 (energy)信 號 ： 例 如 ： 在 右 圖 所 示 的 單 自 由 度 振 動 系 統(tǒng) 中：由 彈 簧 所 積 蓄 的 彈 性 勢 能 為 x2(t);若 x(t)表 達 為 運 動 速 度 ， 則 x2(t)反映 的 是 系 統(tǒng) 的 運 動 中 的 動 能 。 定 義 ： 當(dāng) x（ t） 滿 足 關(guān) 系 式 則 稱 信 號 x（ t） 為 有 限 能 量 信 號 ， 簡 稱 能 量

49、信 號 。 矩 形 脈 沖 、 衰 減 指 數(shù) 信 號 等 均 屬這 類 信 號 。 dttx 2)( 圖 單 自 由 度 振 動 系 統(tǒng) n 功 率 (power)信 號 ：當(dāng) 信 號 滿 足 條 件 亦 即 信 號 具 有 有 限 的 （ 非 零 ） 平 均 功 率 ， 則 稱信 號 為 有 限 平 均 功 率 信 號 ， 簡 稱 功 率 信 號 。 2/ 2/ 2)(1lim0 TTT dttxT 功 率 信 號 的 傅 里 葉 變 換 只 有 滿 足 狄 里 赫 利 條 件 的 信 號 才 具 有 傅 里 葉變 換 ， 即 。有 限 平 均 功 率 信 號 ， 它 們 在 (- , )

50、區(qū) 域 上的 能 量 可 能 趨 近 于 無 窮 ， 但 它 們 的 功 率 是 有 限 的， 即 滿 足利 用 函 數(shù) 和 某 些 高 階 奇 異 函 數(shù) 的 傅 立 葉 變換 來 實 現(xiàn) 這 些 函 數(shù) 的 傅 立 葉 變 換 。0)( dttx 2/ 2/ 2 )(1lim TTT dttxTP 三 、 幾 種 典 型 信 號 的 頻 譜 在 時 間 內(nèi) 激 發(fā) 矩 形 脈 沖 （ 或 三 角 脈 沖 、 雙 邊 指數(shù) 脈 沖 ， 鐘 形 脈 沖 ） 所 包 含 的 面 積 為 1；1.單 位 脈 沖 函 數(shù) (t)及 其 頻 譜 0lim ( ) ( )t t 0 t )(tS 單 位

51、 面 積 1 0 t 0 t2 1 1 )(t)(tS 1各 種 單 位 面 積 為 1的 脈 沖 矩 形 脈 沖 到 函 數(shù) 當(dāng) 0時 ， 的 極 限 就 稱 為 單 位 脈 沖 函 數(shù) ， 記 作 (t)，即 （ 單 位 脈 沖 函 數(shù) ） 。 (1)(t)的 定 義 88 ( )t( )t( )t ( )t 從 極 限 角 度 : (2)(t)的 特 性 00 0)( ttt從 面 積 角 度 : 1)(lim)( 0 dttSdtt 0 t 0 t2 1 1 )(t )(tS 1矩 形 脈 沖 到 函 數(shù) 89 ( )t (3)(t)乘 積 性 0( ) ( ) (0) ( )( )

52、( )x t t x tx t t t 00 0)( ttt 0 0( ) ( )x t t t 0( ) lim ( ) 1t dt t dt 90 )0()()0()()0()()( xdttxdttxdtttx (4)(t)的 篩 選 性 )( tx t0 t)( t 0 - 1+ 1 )( tx t0 - 1+ 1)( tx t0 t)( t 0 - 1+ 1 )( tx t0 - 1+ 1t 0 t 0 0 0 0 0 0 0() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t t dt x t t t dt x t t t dt x t )( tx t 0 t)( t 0

53、 - 1+ 1 )( tx t0 - 1+ 1)( tx t0 t)( t 0 - 1+ 1 )( tx t0 - 1+ 1t 0 t 0 0( ) lim ( ) 1t dt t dt 91 n 令 t-=t， 則 =t- t， d=-d t， 代 入 則)()0( dtttx )()()()(*)( txdtxttx )()()()( )()()(*)( dttttxdttttx dtxttx 結(jié) 果 ： x(t)與 (t)的 卷 積 等 于 x(t)。 函 數(shù) 的 卷 積 特 性 (5)(t)與 其 它 信 號 的 卷 積 92 )()()()(*)( 000 ttxdttxtttx 結(jié)

54、 果 ： (t t0)時 卷 積 ， 就 是 將 函 數(shù) x(t)在 發(fā) 生 脈沖 函 數(shù) 的 坐 標(biāo) 位 置 上 重 新 作 圖 當(dāng) 脈 沖 函 數(shù) 為 (t t0)時 ， 與 函 數(shù) x(t)的 卷 積 函 數(shù) 的 卷 積 特 性 2 93 (6)(t)的 頻 譜 2( ) ( ) j ftf t e dt 逆 變 換 ： dfet ftj 21)(t) 1 據(jù) 對 稱 性 ： 1() 0 t)(t 0 )( f1 函 數(shù) 的 頻 譜 10 e 直 流 分 量 的 頻 譜 94 (t) 1 1() 根 據(jù) 時 移 特 性 ： 020 )()( ftjefXttx 對 應(yīng) tfjetxffX

55、 020 )()( 95020( ) j ftt t e 02 0( )j f te f f 根 據(jù) 頻 移 特 性 ： 2.諧 波 函 數(shù)余 弦 函 數(shù) 的 頻 譜 ： 0 0 01cos2 ( ) ( )2f t f f f f 0 02 20cos2 2j f tt j f te ef t eR 0 02 20 ( )sin2 2j f t j f ttj e ef t 正 弦 函 數(shù) 的 頻 譜 ： 0 0 01sin 2 ( ) ( )2f t j f f f f 3.周 期 函 數(shù) 的 頻 譜 周 期 函 數(shù) x(t) 的 傅 里 葉 級 數(shù) 形 式 ：式 中x(t)的 傅 立 葉

56、 變 換 為 ：v一 個 周 期 函 數(shù) 的 傅 里 葉 變 換 由 無 窮 多 個 位 于 各 諧波 頻 率 上 的 單 位 脈 沖 函 數(shù) 組 成 。 n tjnn eCtx 0)( dtetxTC tjnTTn 0)(1 22 0 0 22 0( ) ( ) ( )jn f tnnjn f tn nn nX f F x t F C eC F e C f nf 4.周 期 單 位 脈 沖 序 列 的 頻 譜 相 等 間 隔 的 周 期 單 位 脈 沖 序 列 ， 常 稱 為 梳 狀 函 數(shù) )()( n snTttg 式 中 ， Ts周 期 ， n整 數(shù) ，n=0, 1, 2, 3,。 n

57、 tnfjn seCtg 2)(該 函 數(shù) 為 周 期 函 數(shù) ， s=1/Ts，用 傅 立 葉 級 數(shù) 的 復(fù) 指 數(shù) 形 式 表 示 ： 22 222 2 )(1)(1 ss sss s TT tnfjsTT tnfjsn dtetTdtetgTC sT1 時 域 中 ， 序 列 的 周 期 為 Ts， 頻 域 中 ， 序 列 的 周 期 為 1/Ts。 時 域 中 ， 幅 值 為 1 ， 頻 域 中 ， 幅 值 為 1/Ts n tnfjs seTtg 21)( 1 1( ) ( ) ( )sn ns s snG f f nf fT T T 對 進 行 傅 立 葉 變 換 ： s=1/T

58、s， 100 n tnfjn seCtg 2)(02 0( )j f te f f ( )g t u頻 譜 分 析 的 應(yīng) 用 頻 譜 分 析 主 要 用 于 識 別 信 號 中 的 周 期 分 量 ， 是 信 號 分析 中 最 常 用 的 一 種 手 段 。案 例 ： 在 齒 輪 箱 故 障 診 斷 通 過 齒 輪 箱 振 動 信 號 頻 譜 分 析 ， 確 定 各 頻 率 分 量 ， 然 后 根據(jù) 機 床 轉(zhuǎn) 速 和 傳 動 鏈 ， 找 出 故障 齒 輪 。 案 例 ： 螺 旋 漿 設(shè) 計 可 以 通 過 頻 譜 分 析 確 定 螺旋 漿 的 固 有 頻 率 和 臨 界 轉(zhuǎn) 速 ，確 定

59、螺 旋 漿 轉(zhuǎn) 速 工 作 范 圍 。 101 n 有 一 齒 輪 傳 動 系 統(tǒng) ， 大 齒 輪 為 輸 入 軸 ， 轉(zhuǎn) 速 為600r/min， 大 、 中 、 小 齒 輪 的 齒 數(shù) 分 別 為40,20,10。 下 面 是 在 齒 輪 箱 機 殼 上 測 得 的 振 動 信 號 功 率 譜 ： n 請 根 據(jù) 所 學(xué) 的 頻 譜 分 析 知 識 ， 判 斷 是 哪 一 個 齒 輪軸 存 在 故 障 齒 輪 ？ 第 一 章 知 識 總 結(jié)n 機 械 量 測 量 系 統(tǒng) 經(jīng) 常 產(chǎn) 生 時 變 輸 出 信 號 。 即 使 很 復(fù) 雜 的信 號 也 能 分 解 和 分 析 成 諧 波 分 量

60、 的 合 成 ， 每 個 分 量 都 有不 同 的 幅 值 、 相 位 和 頻 率 。 所 有 的 確 定 性 信 號 實 際 上 都是 如 積 木 一 般 的 簡 單 正 弦 波 的 合 成 。n 簡 單 正 弦 波 是 最 基 本 的 信 號 形 式 ， 無 論 是 在 機 械 工 程 領(lǐng)域 還 是 在 電 氣 工 程 領(lǐng) 域 ， 都 可 常 見 這 種 形 式 的 變 量 。 當(dāng)一 個 函 數(shù) 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) 與 該 函 數(shù) 成 比 例 但 符 號 相 反 時 ， 則被 稱 為 一 個 變 量 的 簡 諧 函 數(shù) 。 這 種 信 號 的 頻 率 可 以 用 線頻 率 或 圓 頻 率

61、來 描 述 。 n 有 周 期 性 方 波 、 三 角 波 兩 個 周 期 信 號 ， 設(shè)它 們 的 頻 率 均 為 1000Hz。 對 這 兩 個 信 號 進行 測 量 時 ， 后 續(xù) 設(shè) 備 通 頻 帶 的 截 止 頻 率 上限 各 應(yīng) 是 多 少 ？ （ 設(shè) 某 次 諧 波 的 幅 值 降 低到 基 波 的 1/10以 下 ， 則 可 以 不 考 慮 ） 第 一 章 知 識 總 結(jié)n 復(fù) 雜 周 期 信 號 可 用 具 有 不 同 頻 率 和 幅 值 的 簡 諧 分量 之 和 來 表 示 ， 這 些 和 稱 為 傅 里 葉 級 數(shù) 。n 瞬 變 非 周 期 信 號 也 可 用 具 有 不

62、 同 頻 率 和 幅 值 的 簡諧 分 量 之 和 來 表 示 ， 這 些 和 稱 為 該 信 號 的 傅 里 葉逆 變 換 。n 盡 管 分 解 出 的 所 有 的 諧 波 分 量 都 存 在 于 信 號 中 ，但 實 際 上 所 有 的 測 量 系 統(tǒng) 都 有 一 定 的 上 下 限 ， 超過 這 些 界 限 的 諧 波 就 會 給 削 弱 。 換 言 之 ， 沒 有 一個 測 試 系 統(tǒng) 能 對 無 限 的 頻 率 范 圍 有 響 應(yīng) 。 第 一 章 知 識 總 結(jié)n 如 果 要 獲 得 精 確 波 形 ， 無 窮 級 數(shù) 中 的 所 有項 都 是 必 需 的 。 當(dāng) 然 ， 隨 著 諧 波 階 次 的 增加 ， 它 們 對 總 合 的 影 響 越 來 越 小 ， 小 到 可以 忽 略 不 計 。n 頻 譜 圖 非 常 有 用 ， 因 為 它 讓 我 們 可 以 一 眼就 看 出 信 號 中 的 頻 率 成 分 。