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第十二節(jié) 導數(shù)的綜合應用,最新考綱展示 1．會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)． 2.會利用導數(shù)解決某些實際問題．,一、函數(shù)的最值與導數(shù) 1．函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都 f(x0)． 2．函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最小值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都 f(x0)．,不超過,不小于,二、生活中的優(yōu)化問題 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟,1．極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值． 2．求函數(shù)在某個閉區(qū)間[a，b]上的最值，只需求出函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的極值及在區(qū)間端點處的函數(shù)值，大的是最大值，小的是最小值．,1．函數(shù)f(x)＝x4－4x＋3在區(qū)間[－2,3]上的最小值為( ) A．72 B．27 C．－2 D．0 解析：f ′(x)＝4x3－4＝0?x＝1，當x1時f ′(x)0，x1時f ′(x)0，故f(x)在[－2,3]上的最小值為f(1)，f(1)＝1－4＋3＝0，故選D. 答案：D,解析：由y′＝x2－39x－40＝0， 得x＝－1或x＝40， 由于040時，y′0. 所以當x＝40時，y有最小值． 答案：40,函數(shù)的最值與導數(shù)(師生共研),規(guī)律方法 (1)求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值時，方法是不同的．求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值． (2)分類討論時，標準必須統(tǒng)一，分類后要做到無遺漏、不重復，還要注意不越級討論，層次分明，能避免分類的題目不要分類． (3)分類討論的步驟： ①確定分類討論的對象和分類標準． ②合理分類，逐類討論． ③歸納總結，得出結論．,解析：(1)f ′(x)＝3x2－6ax＝3x(x－2a)， 令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a. ①當a0時，02a，當x變化時，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表： 所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(－∞，0)和(2a，＋∞)，減區(qū)間是(0,2a)．,②當a0時，2a0，當x變化時，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表： 所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(－∞，2a)和(0，＋∞)，減區(qū)間是(2a,0)．,例2 某開發(fā)商用9 000萬元在市區(qū)購買一塊土地，用于建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2 000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4 000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元． (1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費用為y萬元，求函數(shù)y＝f(x)的表達式；(總開發(fā)費用＝總建筑費用＋購地費用) (2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費用最低，該寫字樓應建為多少層？,生活中的優(yōu)化問題(師生共研),解析： (1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費用為4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(萬元)， 從第二層開始，每層的建筑總費用比其下面一層多 100×2 000＝200 000(元)＝20(萬元)， 寫字樓從下到上各層的總建筑費用構成以800為首項，20為公差的等差數(shù)列， 所以函數(shù)表達式為 y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000 ＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．,規(guī)律方法 (1)解決實際問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情景”轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，抽象為數(shù)學問題，選擇合適的求解方法，而最值問題的應用題，寫出目標函數(shù)利用導數(shù)求最值是首選的方法，若在函數(shù)的定義域內(nèi)函數(shù)只有一個極值點，該極值點即為函數(shù)的最值點． (2)利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟： ①審題，設未知數(shù)．②結合題意列出函數(shù)關系式．③確定函數(shù)的定義域．④在定義域內(nèi)求極值、最值．⑤下結論．,(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)． 令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9， 顯然，當x∈(6,9)時，y ′0； 當x∈(9,11)時，y ′0. ∴函數(shù)y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是遞增的，在(9,11)上是遞減的． ∴當x＝9時，y取最大值，且ymax＝135， ∴售價為9元時，年利潤最大，最大年利潤為135萬元．,導數(shù)在不等式中的應用(師生共研),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3a，a)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3a)，(a，＋∞)．,當a0時，f ′(x)，f(x)隨著x的變化如下表： 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(a，－3a)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，a)，(－3a，＋∞)．,規(guī)律方法 利用導數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0，其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口．,3．(2013年高考新課標全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值； (2)若x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．,