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1,§10.2 一階微分方程,一階微分方程的一般形式為,一階方程的初值問題的數學模型為,根據方程本身的特點，一階方程又可分為：,一階微分方程是最簡單的方程. 求解的方法主要是 采用初等解法, 即把微分方程的求解問題化為積分問題.,2,一. 變量可分離的方程,形如 f(y)dy = g(x)dx 的一階方程方程,,稱為變量已分,離的方程.,形如 y’= f(x)g(y) 的一階方程方程, 稱為變量可分離的,方程.,設 g(y) ≠ 0, 則方程 可寫成變量已分離的方程,若函數f與g連續(xù)，則兩邊分別對 x 與 y 積分, 得,就為變量可分離方程的通解.,其中c為任意常數.,3,,例2 求方程 y’= 2xy 的通解.,,解 分離變量, 得,兩邊積分，得,于是原方程的通解為,例3 求方程,的特解.,滿足初始條件,解 分離變量, 得,兩邊積分，得,于是原方程的通解為,4,又將初始條件,故滿足初始條件的特解為,代入通解中, 得,例4 已知需求價格彈性為 η = -1/Q2, 且當 Q = 0 時, p = 100 . 試求價格p與需求Q的函數關系 p = f(Q).,解 由需求價格彈性的定義, 有,這是變量可分離的方程,移項化簡，得,兩邊積分,得,5,即,又將初始條件Q = 0 時, p = 100代入上式, 得 c 1=100,故需求函數為,二. 可化為變量可分離的方程,1. 齊次方程,的一階方程，稱為齊次微分方程, 簡稱,形如,齊次方程.,引入新的變換,就可將齊次方程化為變量可分離的方程.,6,,分離變量, 得,若 u- f(u)≠0, 兩端積分, 得,于是, 得,將變量還原, 便可得原方程的通解.,例5 求方程,的通解.,解 令,代入原方程, 得,則得,7,,分離變量, 得,兩端積分, 得,例6 求方程,的通解.,解 將方程恒等變形,則得,8,,,代入原方程, 得,分離變量, 得,兩端積分, 得,9,三. 一階線性微分方程,,形如 y’+ p(x)y = q(x)的方程，稱為一階線性微分方程.,若 q(x) = 0 , 則稱方程 y’+ p(x)y = 0,為一階齊次線性微分方程,若 q(x) ≠ 0 , 則稱方程 y’+ p(x)y = q(x),為一階非齊次線性微分方程.,1.一階齊次線性微分方程的通解,方程 y’+ p(x)y = 0,是變量可分離的方程, 其通解為,其中c為任意常數.,10,2.一階非齊次線性微分方程的通解,的解, 但其中的 c 為 x 的待定函數.,將 y與y’代入方程 y’+ p(x)y = q(x), 并整理, 得,一階非齊次線性微分方程 y’+ p(x)y = q(x)是齊次方程,的一般情況. 我們可以設想非齊次線性微分方程有形如,兩端積分, 得,11,,于是, 一階非齊次線性微分方程的通解為,注1 此公式是求非齊次線性微分方程的通解公式. 它是由齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個 特解相加而成的. 這也是線性微分方程解的一個性質.,注2 把齊次線性方程通解中的任意常數 c 變易為 待定函數c(x), 使其滿足非齊次線性方程而求出的 c(x), 從而得到非齊次線性方程通解的方法稱為 “常數變易 法”. 是求解線性微分方程的一種常用的重要方法.,12,例7 求方程,解 將方程改寫為,,的通解.,先求齊方程,的通解,分離變量, 得,兩端積分并整理, 得齊方程的通解,用常數變易法求非齊次線性方程的通解,13,故原方程的通解為 y = (ex + c) (x+1)2,將 y與y’代入方程, 并整理, 得,兩端積分, 得,例8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及滿足初始 條件 y|x=1 = π / 2 的特解.,解 將方程改寫為,所以由非齊次線性方程的通解公式, 得,14,,,將初始條件 x = 1, y = π/2 代入上式, 得 c = 1,故滿足初始條件的特解為 x = siny(1-cosy),15,3.貝努里方程,(n≠0,1)的方程稱為貝努里方程.,這種方程，雖然不是線性的，但是采用變量變換的 方法，就可將其化為一階線性方程.,事實上, 在方程的兩端同除以 , 得,形如,利用微分的性質 , 方程也可寫成,16,,求出此方程的通解，并將變量代回 ，便可得 到貝努里方程的通解.,例9 求方程 y’= xy + x3y2 的通解.,解 將方程改寫為,所以由非齊次線性方程的通解公式, 得,17,,,18,*例10 設可微函數 f(x) 滿足,解 為了求 f(x) 在等式兩端同時求導, 得,,求 f(x).,這是關于未知函數 f(x)的一階方程，且 f(2)=1,令 y = f(x) ，得,所以由非齊次線性方程的通解公式, 得,19,,