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11.2 古典概型,考綱要求:1.理解古典概型及其概率計算公式. 2.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.,古典概型 (1)定義:具有以下兩個特征:(1)試驗的所有可能結果只有有限個,每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結果.(2)每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性相同.我們把具有這樣兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型. (2)古典概型的概率計算公式:如果試驗的所有可能結果(基本事件)數(shù)為n,隨機事件A包含的基本事件數(shù)為m,那么事件A的概率規(guī)定為,,,2,3,4,1,5,1.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”. (1)“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”. ( × ),(3)擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,這三個結果是等可能事件. ( × ),(5)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同. ( √ ),,,,,,2,3,4,1,5,答案,解析,2.(2015課標全國Ⅰ,文4)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為( ),2,3,4,1,5,3.集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各任意取一個數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是(C),答案,解析,2,3,4,1,5,答案,解析,4.(2015南京模擬)現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動,則甲被選中的概率為___________.,2,3,4,1,5,答案,解析,5.(2015浙江溫州十校聯(lián)考)記一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為A.若A是不超過5的奇數(shù),從這些兩位數(shù)中任取一個,其個位數(shù)為1的概率為___________.,2,3,4,1,5,自測點評 1.一個試驗只有具備古典概型的兩個特點——有限性和等可能性,才是古典概型. 2.古典概型中基本事件的探求方法: (1)列舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的. (2)列表法或樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求,注意在確定基本事件時(x,y)可以看成是有序的.,考點1,考點2,考點3,考點1古典概型的概率 例1(1)從正方形4個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為 ( ),(2)(2015廣州二模)有兩張卡片,一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1,另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3,將兩張卡片排在一起組成一個兩位數(shù),則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是( ),答案,解析,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,思考:求古典概型的概率的一般思路是怎樣的?,解題心得:1.求古典概型的概率的思路是:先求出試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù),然后代入古典概型的概率公式. 2.求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有:列舉法、列表法和樹狀圖法,具體應用時可根據(jù)需要靈活選擇.,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,答案,解析,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,考點2古典概型與其他知識的交匯問題(多維探究) 類型一 古典概型與平面向量的交匯 例2連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n,記向量a=(m,n)與向量b=(1,-1)的夾角為θ,則θ∈ 的概率是( ),思考:如何把兩個向量的夾角的范圍問題轉(zhuǎn)化成與求概率的基本事件有關的問題?,答案,解析,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,類型二 古典概型與解析幾何的交匯 例3(2015河南洛陽統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a,b,則直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點的概率為 . 思考:如何把直線與圓有公共點的問題轉(zhuǎn)化成與概率的基本事件有關的問題?,答案,解析,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,類型三 古典概型與函數(shù)的交匯 例4設a∈{2,4},b∈{1,3},函數(shù) (1)求f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù)的概率; (2)從f(x)中隨機抽取兩個,求它們在(1,f(1))處的切線互相平行的概率.,答案,知識方法,易錯易混,思考:如何把f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù)的問題轉(zhuǎn)換成與概率的基本事件有關的問題? 解題心得:1.由兩個向量的數(shù)量積公式,得出它們的夾角的余弦值的表達式,由夾角的范圍得出點數(shù)m和n的關系m≥n,然后分別求m=n和mn對應的事件個數(shù),從而也清楚了基本事件的個數(shù)就是點數(shù)m和n組成的點的坐標數(shù). 2.直線與圓有公共點,即圓心到直線的距離小于或等于半徑,由此得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了. 3.f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù)可轉(zhuǎn)化成f(x)的導函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1]上小于或等于0,從而得出b≤a.從而不難得出b≤a包含的基本事件數(shù).,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,對點訓練2 (1)(2015安徽亳州高三質(zhì)檢)已知集合M={1,2,3,4}, N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一點,O為坐標原點,則直線OA與函數(shù)y=x2+1的圖像有交點的概率是( C ),,,,,,,,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,考點3古典概型與統(tǒng)計的綜合問題 例5(2015福建,文18)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響力的綜合指標.根據(jù)相關報道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)進行分組統(tǒng)計,結果如表所示.,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,(1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調(diào)研,求至少有1家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的概率; (2)根據(jù)分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù). 思考:如何求解概率與統(tǒng)計相綜合的題目?,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,解題心得:有關古典概型與統(tǒng)計結合的題型,無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息,只需要能夠從題中提煉出需要的信息,此類問題即可解決.,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,對點訓練3 (2015河南洛陽統(tǒng)考)從某工廠抽取50名工人進行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)他們一天加工零件的個數(shù)在50至350個之間,現(xiàn)按生產(chǎn)的零件的個數(shù)將他們分成六組,第一組:[50,100),第二組:[100,150),第三組:[150,200),第四組:[200,250),第五組:[250,300),第六組:[300,350],相應的樣本頻率分布直方圖如圖所示:,(1)求頻率分布直方圖中的x的值; (2)設位于第六組的工人為拔尖工,位于第五組的工人為熟練工,現(xiàn)用分層抽樣的辦法在這兩類工人中抽取一個容量為6的樣本,從樣本中任意取2個,求至少有一個拔尖工的概率.,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,解:(1)根據(jù)題意,(0.002 4+0.003 6+x+0.004 4+0.002 4+0.001 2) ×50=1,解得x=0.006 0. (2)由題知拔尖工共有3人,熟練工共有6人.抽取容量為6的樣本,則其中拔尖工有2人,熟練工為4人.可設拔尖工為A1,A2,熟練工為B1,B2,B3,B4.則從樣本中任抽2個的可能有:A1A2,A1B1,A1B2,A1B3, A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,共15種,至少有一個是拔尖工的可能有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1, A2B2,A2B3,A2B4,共9種.,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,1.古典概型計算三步曲: 第一,試驗中每個基本事件是不是等可能的;第二,試驗的基本事件有多少個;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個. 2.較復雜事件的概率可靈活運用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式簡化運算. 3.解決與古典概型交匯命題的問題時,把相關的知識轉(zhuǎn)化為事件,列舉基本事件,求出基本事件和隨機事件的個數(shù),然后利用古典概型的概率計算公式進行計算.,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,古典概型的條件是事件發(fā)生的等可能性,一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時,它們是不是等可能的.,