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,第十章 計數(shù)原理,§10.2 排列與組合,,,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學習,題型分類 深度剖析,易錯警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,,基礎(chǔ)知識 自主學習,1.排列與組合的概念,一定的順序,,知識梳理,1,,答案,2.排列數(shù)與組合數(shù) (1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的 的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用 表示. (2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的 的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用 表示.,所有排列,所有組合,,答案,3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì),n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),n！,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.( ) (2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.( ) (3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.( ) (4)(n＋1)！－n?。絥·n！.( ),×,×,√,√,√,√,,答案,思考辨析,1.(教材改編)用數(shù)字1、2、3、4、5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為________.,48,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有________種.,,解析答案,1,2,3,4,5,方法二 從2本同樣的畫冊，3本同樣的集郵冊中取出4本有兩種取法： 第一種：從2本畫冊中取出1本，將3本集郵冊全部取出； 第二種：將2本畫冊全部取出，從3本集郵冊中取出2本.由于畫冊是相同的，集郵冊也是相同的， 因此第一種取法中只需從4位朋友中選出1人贈送畫冊，其余的贈送集郵冊，,,解析答案,1,2,3,4,5,第二種取法中只需從4位朋友中選取2人贈送畫冊，其余的贈送集郵冊，,因此共有4＋6＝10種贈送方法.,答案 10,,1,2,3,4,5,3.(2014·遼寧改編)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為________. 解析 “插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，,24,,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，其中男女生都有的選法種數(shù)為________. 解析 分兩類：男1女2或男2女1，,30,,解析答案,1,2,3,4,5,5.某市擬從4個重點項目和6個一般項目中各選2個項目作為本年度要啟動的項目，則重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法的種數(shù)是________. 解析 從4個重點項目和6個一般項目中各選2個項目作為本年度啟動的項目，,故重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是90－30＝60.,60,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,例1 (1)3名男生，4名女生，選其中5人排成一排，則有________種不同的排法. 解析 問題即為從7個元素中選出5個全排列，,2 520,,,題型一 排列問題,,解析答案,(2)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種.,,解析答案,若C排在第2位，A和B有C右邊的4個位置可以選，,若C排在第3位，則A，B可排C的左側(cè)或右側(cè)，,若C排在第4,5,6位時，其排法數(shù)與排在第3,2,1位相同， 故共有2×(120＋72＋48)＝480種排法. 答案 480,1.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“排成前后兩排，前排3人，后排4人”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？,引申探究,,解析答案,2.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排，男、女各站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？,,解析答案,3.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排，男生不能站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？,,解析答案,4.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？,,解析答案,思維升華,,思維升華,排列應(yīng)用問題的分類與解法 (1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法. (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.,用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字. (1)能組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)？ 解 符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：,跟蹤訓練1,,解析答案,(2)能組成多少個奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復數(shù)字)? 解 先排0,2,4，再讓1,3,5插空，,,解析答案,例2 某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？,∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.,,,題型二 組合問題,,解析答案,(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？,∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種.,,解析答案,(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？,∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種. (4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？,∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種.,,解析答案,(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？,∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種.,,解析答案,思維升華,,思維升華,組合問題常有以下兩類題型變化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.,從10位學生中選出5人參加數(shù)學競賽. (1)甲必須入選的有多少種不同的選法？ 解 學生甲入選，再從剩下的9人選4人，,(2)甲、乙、丙不能同時都入選的有多少種不同的選法？,故甲、乙、丙不能同時都入選的有252－21＝231種不同的選法.,跟蹤訓練2,,解析答案,命題點1 相鄰問題 例3 一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為________.(用式子表示) 解析 把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家， 所以有(3！)4種坐法.,(3！)4,,,題型三 排列與組合問題的綜合應(yīng)用,,解析答案,命題點2 相間問題 例4 (2014·重慶改編)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是________種.,,解析答案,解析 先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空. 安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”. 對于第一種情況，形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”，,,解析答案,同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“□小品1□相聲□小品2□”，,故共有36＋36＋48＝120種安排方法. 答案 120,命題點3 特殊元素(位置)問題 例5 (2014·四川改編)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有________種.,所以共有120＋96＝216種方法.,216,,解析答案,思維升華,,思維升華,排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略 (1)相鄰問題捆綁法.在特定條件下，將幾個相關(guān)元素視為一個元素來考慮，待整個問題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部”的排列. (2)相間問題插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當中，它與捆綁法有同等作用. (3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法.優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置. (4)多元問題分類法.將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計數(shù)原理求出排列總數(shù).,(1)某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_____.,方法二 先從6個班級中選2個班級有C ＝15種不同方法，,90,跟蹤訓練3,,解析答案,(2)(2014·浙江)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_____種.,60,,解析答案,返回,,易錯警示系列,典例 有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有________種.,,14.排列、組合問題計算重、漏致誤,,易錯警示系列,,解析答案,易錯分析,溫馨提醒,返回,解析 方法一 將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，,方法二 考慮其對立事件“3個都是二等品”，,答案 1 136,,溫馨提醒,,返回,溫馨提醒,,(1)排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素(位置)優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題. (2)“至少、至多”型問題不能直接利用分步計數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立事件求解.,,思想方法 感悟提高,1.對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； (3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù).,方法與技巧,2.排列、組合問題的求解方法與技巧： (1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價條件.,求解排列與組合問題的注意點： (1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，再利用兩個原理做最后處理. (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)或間接法(排除法)來解決，分類標準應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有________種. 解析 共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)， 則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，,66,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.10名同學合影，站成了前排3人，后排7人.現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答).,420,,解析答案,3.某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位.該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有________種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 42,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有______種.,∴由分步計數(shù)原理，實驗編排共有2×48＝96種方法.,96,,解析答案,5.(2014·安徽改編)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有________對. 解析 正方體中共有12條面對角線，任取兩條作為一對共有 ＝66對，12條對角線中的兩條所構(gòu)成的關(guān)系有平行、垂直、成60°角. 相對兩面上的4條對角線組成的 ＝6對組合中，平行有2對，垂直有4對，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,48,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.(2015·廣東)某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言. 解析 依題意知兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從40人中任選兩人的排列數(shù)， 所以全班共寫了 ＝40×39＝1 560條畢業(yè)留言.,1 560,,解析答案,7.(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種. 解析 先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A，B作為一個元素有 種方法，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,故滿足條件的擺法有48－12＝36種.,36,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有________種. 解析 把g、o、o、d 4個字母排一列，可分兩步進行，第一步：排g和d，共有 種排法； 第二步：排兩個o.共一種排法，所以總的排法種數(shù)為 ＝12.,11,,解析答案,9.2015年某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10 000個號碼中選擇.公司規(guī)定：凡卡號的后四位恰帶有兩個數(shù)字“6”或恰帶有兩個數(shù)字“8”的一律作為“金兔卡”，享受一定優(yōu)惠政策.如后四位數(shù)為“2663”，“8685”為“金兔卡”，求這組號碼中“金兔卡”的張數(shù). 解 ①當后四位數(shù)有2個6時，“金兔卡”共有C ×9×9＝486張； ②當后四位數(shù)有2個8時，“金兔卡”也共有C ×9×9＝486張. 但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由2個6和2個8組成的這種情況， 所以要減掉C ＝6，即“金兔卡”共有486×2－6＝966張.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.有9名學生，其中2名會下象棋但不會下圍棋，3名會下圍棋但不會下象棋，4名既會下圍棋又會下象棋.現(xiàn)在要從這9名學生中選出2名學生，一名參加象棋比賽，另一名參加圍棋比賽，共有多少種不同的選派方法？,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設(shè)2名會下象棋但不會下圍棋的同學組成集合A,3名會下圍棋但不會下象棋的同學組成集合B,4名既會下圍棋又會下象棋的同學組成集合C，則選派2名參賽同學的方法可以分為以下4類： 第一類：A中選1人參加象棋比賽，B中選1人參加圍棋比賽，方法數(shù)為 ＝6種；,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由分類計數(shù)原理，選派方法數(shù)共有6＋12＋8＋12＝38種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架艦載機準備著艦.如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有________種. 解析 丙、丁不能相鄰著艦， 則將剩余3機先排列，再將丙、丁進行“插空”. 由于甲、乙“捆綁”視作一整體，剩余3機實際排列方法共2×2＝4種.,由分步計數(shù)原理，共有4×6＝24種著艦方法.,24,,解析答案,12.(2014·廣東改編)設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個數(shù)為________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 在x1，x2，x3，x4，x5這五個數(shù)中， 因為xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5， 所以滿足條件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情況有“①一個1(或－1)，四個0，有C ×2種；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 130,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有________種不同的分派方法.,故6個畢業(yè)生平均分到3所學校，,90,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi). (1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？ 解 為保證“恰有1個盒不放球”， 先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”， 即把4個球分成2,1,1的三組， 然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？,解 “恰有1個盒內(nèi)有2個球”， 即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球， 也即另外3個盒子中恰有一個空盒， 因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事， 所以共有144種放法.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？,4個球放進2個盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，,,解析答案,15.7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有不同站法多少種？ (1)兩個女生必須相鄰而站； 解 ∵兩個女生必須相鄰而站， ∴把兩個女生看做一個元素， 則共有6個元素進行全排列，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(2)4名男生互不相鄰； 解 ∵4名男生互不相鄰， ∴應(yīng)用插空法， 對老師和女生先排列，形成四個空再排男生共有 ＝144種站法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)老師不站中間，女生甲不站左端.,當老師不站左端時，老師有5種站法，女生甲有5種站法，,根據(jù)分類計數(shù)原理知共有720＋3 000＝3 720種站法.,,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,